Product rule · Rate of change, tangent and derivative · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד כאן גזרנו סכומים, ושם הכול היה פשוט: גוזרים איבר-איבר. במכפלה זה נשבר, וכדאי לראות את זה לפני שלומדים את הכלל.

הניחוש הטבעי — ולמה הוא נכשל

נבדוק על מכפלה שאנחנו כבר יודעים לגזור: $x^2 \cdot x^3$ . זה פשוט $x^5$ , ולכן הנגזרת היא $5x^4$ .

2x \cdot 3x^2 = 6x^3

מה שנותן הניחוש — לגזור כל גורם בנפרד ולכפול.

5x^4

מה שהתשובה באמת.

חשבו את שתי הנוסחאות בנקודה $x = 1$ . איזו מתאימה לשיפוע $5$ שהווידג׳ט מודד שם?

Show the answer and the solution

הניחוש נותן $6 \cdot 1^3 = 6$ , והכלל נותן $5 \cdot 1^4 = 5$ . רק הכלל מתאים. וב- $x = 2$ הפער גדל: $48$ מול $80$ .

הכלל, ומאיפה הוא בא

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

גוזרים את הראשון ומשאירים את השני, ואז להפך — ומחברים. שני איברים, תמיד. ההוכחה משתמשת בהגדרה ובתכסיס אחד: מוסיפים ומחסרים את אותו ביטוי.

הוכחה: כלל המכפלה

נתון $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ , ו- $f$ ו- $g$ גזירות.

p(x + h) - p(x) = f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)

השינוי במכפלה

= f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x + h) + f(x)g(x + h) - f(x)g(x)

מחסרים ומוסיפים $f(x)g(x + h)$ — סכום אפס

= [f(x + h) - f(x)] \cdot g(x + h) + f(x) \cdot [g(x + h) - g(x)]

מוציאים גורם משותף מכל זוג

\frac{p(x + h) - p(x)}{h} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \cdot g(x + h) + f(x) \cdot \frac{g(x + h) - g(x)}{h}

מחלקים ב- $h$

h \to 0 \ \Rightarrow \ p'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

המנות שואפות לנגזרות, ו- $g(x + h) \to g(x)$

על אותה מכפלה

גזרו $f(x) = x^2 \cdot x^3$ בעזרת הכלל.

\begin{aligned}(x^2)' &= 2x \\ \quad (x^3)' &= 3x^2\end{aligned}

הנגזרת של כל גורם

2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2

מציבים בכלל

2x^4 + 3x^4 = 5x^4

מכנסים — בדיוק כמו $(x^5)'$

מתי הכלל באמת חוסך

נתון $f(x) = (x^2 + 3x)(x^3 - 1)$ . חשבו את $f'(1)$ .

f'(x) = (2x + 3)(x^3 - 1) + (x^2 + 3x) \cdot 3x^2

כלל המכפלה, בלי לפתוח סוגריים

f'(1) = 5 \cdot 0 + 4 \cdot 3

מציבים ישר

f'(1) = 12

הגורם $x^3 - 1$ מתאפס ב- $1$ וחוסך חצי מהחישוב

נתון $f(x) = x \cdot g(x)$ , כאשר $g(3) = 2$ ו- $g'(3) = -1$ . מהו $f'(3)$ ?

Show the answer and the solution

$f'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x)$ , ולכן $f'(3) = 2 + 3 \cdot (-1) = -1$ . את $g$ עצמה לא צריך להכיר — מספיקים הערך והנגזרת בנקודה.

כשאפשר לפתוח סוגריים בקלות, זו בדיקה מצוינת לתוצאה של הכלל. כשהמכפלה ארוכה, או כשנתונים רק ערכים בנקודה — הכלל הוא הדרך.

שתי הטעויות של כלל המכפלה.

(f \cdot g)' = f' \cdot g'

(f \cdot g)' = f'g + fg'

זו הטעות המרכזית בפרק. היא נראית סבירה כי בסכום זה כן עובד — אבל מכפלה אינה סכום.

(f \cdot g)' = f' \cdot g

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

מי שרושם רק $f'g$ עצר באמצע הכלל. התוצאה היא תמיד סכום של שתי מכפלות.

Exercises

Exercise 1

גזרו: $f(x) = (x + 1)(x - 3)$

$x - 2$
$1$
$2x - 2$
$2x + 2$

Show the answer and the solution

Answer: C $2x - 2$

Worked solution:

1 \cdot (x - 3) + (x + 1) \cdot 1

כלל המכפלה

x - 3 + x + 1 = 2x - 2

מכנסים

(x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2

בדיקה בפתיחת סוגריים

הנכונה: $2x - 2$ . $1$ הוא הניחוש $f' \cdot g' = 1 \cdot 1$ ; $2x + 2$ מאבד את הסימן של $-3$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון $f(x) = (2x + 1) \cdot x^2$ . חשבו את $f'(2)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 28

Worked solution:

f'(x) = 2 \cdot x^2 + (2x + 1) \cdot 2x

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(2) &= 2 \cdot 4 + 5 \cdot 4 \\ &= 28\end{aligned}

מציבים

הניחוש $f' \cdot g' = 2 \cdot 2x$ נותן $8$ . בדיקה: $2x^3 + x^2$ נגזרתו $6x^2 + 2x$ , וב- $2$ זה $28$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

גזרו: $f(x) = (x^2 + 1)(x - 2)$

$2x$
$3x^2 - 4x + 1$
$2x^2 - 4x$
$3x^2 + 1$

Show the answer and the solution

Answer: B $3x^2 - 4x + 1$

Worked solution:

2x(x - 2) + (x^2 + 1) \cdot 1

הכלל

2x^2 - 4x + x^2 + 1

פותחים

3x^2 - 4x + 1

מכנסים

הנכונה: $3x^2 - 4x + 1$ . $2x$ הוא הניחוש $2x \cdot 1$ ; $2x^2 - 4x$ הוא רק האיבר הראשון של הכלל.

Check the answer on elev

Exercise 4

$f(x) = x \cdot g(x)$ , ונתון $g(2) = 5$ ו- $g'(2) = 3$ . מהו $f'(2)$ ?

$8$
$11$
$3$
$15$

Show the answer and the solution

Answer: B $11$

Worked solution:

f'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x)

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(2) &= 5 + 2 \cdot 3 \\ &= 11\end{aligned}

מציבים

הנכונה: $11$ . $3$ הוא $1 \cdot g'(2)$ , הניחוש; $8$ מחבר $g(2) + g'(2)$ ושוכח את הגורם $x = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון: $f(1) = 2$ , $f'(1) = -1$ , $g(1) = 3$ , $g'(1) = 4$ . חשבו את הנגזרת של $f \cdot g$ בנקודה $x = 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

(f \cdot g)'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1)

כלל המכפלה בנקודה

= (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 5

מציבים

הניחוש $f'(1) \cdot g'(1) = -4$ שגוי. בכלל יש ארבעה מספרים, וכל אחד מופיע פעם אחת.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון $f(x) = (x^2 + 3x)(x^3 - 1)$ . חשבו את $f'(1)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

f'(x) = (2x + 3)(x^3 - 1) + (x^2 + 3x) \cdot 3x^2

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(1) &= 5 \cdot 0 + 4 \cdot 3 \\ &= 12\end{aligned}

מציבים

הגורם $x^3 - 1$ מתאפס ב- $1$ , ולכן האיבר הראשון של הכלל נעלם — אבל האיבר השני, $4 \cdot 3$ , נשאר. מי שמסיק מהאפס ש- $f'(1) = 0$ שכח את חצי הכלל.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: לכל שתי פונקציות גזירות מתקיים $(f \cdot g)' = f' \cdot g'$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= g(x) \\ &= x\end{aligned}

דוגמה נגדית

\begin{aligned}(x \cdot x)' &= (x^2)' \\ &= 2x\end{aligned}

הנגזרת האמיתית

\begin{aligned}f' \cdot g' &= 1 \cdot 1 \\ &= 1 \neq 2x\end{aligned}

הנוסחה המוצעת

הטענה לא נכונה — ומספיקה דוגמה נגדית אחת. אפילו $x \cdot x$ מפיל אותה.

Check the answer on elev

Exercise 8

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x) = (3x - 2)(x^2 + 4)

f'(x) = 3 \cdot 2x

f'(x) = 6x

Show the answer and the solution

Answer: $f'(x) = 3 \cdot 2x$ → $f'(x) = 3(x^2 + 4) + (3x - 2) \cdot 2x$

Worked solution:

f'(x) = 3(x^2 + 4) + (3x - 2) \cdot 2x

כלל המכפלה

= 9x^2 - 4x + 12

פותחים ומכנסים

השורה השנייה כופלת את הנגזרות זו בזו. בדיקה: $(3x - 2)(x^2 + 4) = 3x^3 - 2x^2 + 12x - 8$ , ונגזרתו $9x^2 - 4x + 12$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

$f$ ו- $g$ גזירות. הוכיחו ש- $\left[x \cdot g(x)\right]' = g(x) + x \cdot g'(x)$ .

כלל המכפלה: $(f \cdot g)' = f'g + fg'$
$f(x) = x$

$\left[x \cdot g(x)\right]' = g(x) + x g'(x)$

Show the answer and the solution

$\left[x \cdot g(x)\right]' = (x)' \cdot g(x) + x \cdot g'(x)$ — הצבה בכלל המכפלה עם $f(x) = x$
$(x)' = 1$ — כלל החזקה: $x = x^1$
$\left[x \cdot g(x)\right]' = 1 \cdot g(x) + x g'(x)$ — הצבת הנגזרת שחישבנו
$\left[x \cdot g(x)\right]' = g(x) + x g'(x)$ — כפל ב- $1$ אינו משנה

Worked solution:

\left[x \cdot g(x)\right]' = (x)' \cdot g(x) + x \cdot g'(x)

הצבה בכלל המכפלה עם $f(x) = x$

(x)' = 1

כלל החזקה: $x = x^1$

\left[x \cdot g(x)\right]' = 1 \cdot g(x) + x g'(x)

הצבת הנגזרת שחישבנו

\left[x \cdot g(x)\right]' = g(x) + x g'(x)

כפל ב- $1$ אינו משנה

הנגזרת של הגורם $x$ היא $1$ , ולכן האיבר הראשון הוא $g(x)$ עצמה. מי שכותב $x \cdot g'(x)$ בלבד שכח את חצי הכלל.

Check the answer on elev

Exercise 10

$f$ פונקציה גזירה. הוכיחו בעזרת כלל המכפלה ש- $\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x)$ .

$f$ גזירה
כלל המכפלה: $(f \cdot g)' = f'g + fg'$

$\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x)$

Show the answer and the solution

$\left([f(x)]^2\right)' = \left(f(x) \cdot f(x)\right)'$ — ריבוע הוא מכפלה של הפונקציה בעצמה
$\left(f(x) \cdot f(x)\right)' = f'(x)f(x) + f(x)f'(x)$ — כלל המכפלה, עם $g = f$
$\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x)$ — כינוס שני איברים זהים

Worked solution:

\left([f(x)]^2\right)' = \left(f(x) \cdot f(x)\right)'

ריבוע הוא מכפלה של הפונקציה בעצמה

\left(f(x) \cdot f(x)\right)' = f'(x)f(x) + f(x)f'(x)

כלל המכפלה, עם $g = f$

\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x)

כינוס שני איברים זהים

הטעות הצפויה: $\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)$ — כאילו $f$ היא $x$ . הגורם $f'(x)$ חייב להופיע, וזה בדיוק הרעיון של היחידה הבאה.

Check the answer on elev

הניחוש הטבעי — ולמה הוא נכשל

הכלל, ומאיפה הוא בא

Exercises

Keep practising on elev