Composition of functions · Introduction to the analysis of functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

דמיינו שתי מכונות בשורה. המכונה הראשונה, $g$ , מקבלת מספר ומוסיפה לו $3$ . המכונה השנייה, $f$ , מעלה בריבוע את מה שהגיע אליה. מכניסים $2$ :

כתבנו שתי פעולות בשורה, והתוצאה $25$ היא $f(g(2))$ . פונקציה שבנויה כך נקראת פונקציה מורכבת, ו- $g$ היא הפונקציה הפנימית — היא פועלת ראשונה.

(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)

קוראים מבפנים החוצה

עם אותן $f(x) = x^2$ ו- $g(x) = x + 3$ : חשבו $f(g(1))$ ואחר כך $g(f(1))$ . יצא אותו מספר?

Show the answer and the solution

$f(g(1)) = f(4) = 16$ , אבל $g(f(1)) = g(1) = 4$ . סדר ההרכבה משנה: פעם מוסיפים ואז מעלים בריבוע, פעם להפך.

מציבים ביטוי במקום מספר

Interactive activity

בונים את $f(g(x))$ ואת $g(f(x))$

נתון $f(x) = x^2$ ו- $g(x) = x + 3$ . מצאו את $f(g(x))$ ואת $g(f(x))$ .

$f(g(x)) = (x+3)^2$ ו- $g(f(x)) = x^2 + 3$

שתיהן שוות $x^2 + 3$

שתיהן שוות $(x+3)^2$

$f(g(x)) = x^2(x+3)$

ב- $f(g(x))$ , מה נכנס ל- $f$ ?

כל הביטוי $g(x) = x + 3$

Show the answer and the solution

נכון: $f$ מקבלת את התוצאה של $g$ .

רק $x$ , ואחר כך מוסיפים $3$

Show the answer and the solution

זה הסדר ההפוך — זו $g(f(x))$ .

כופלים $f(x) \cdot g(x)$

Show the answer and the solution

הרכבה אינה כפל. $f(x) \cdot g(x) = x^2(x+3)$ היא פונקציה אחרת.

\begin{aligned}f(g(x)) &= f(x+3) \\ &= (x+3)^2\end{aligned}

בכל מקום שכתוב $x$ בנוסחה של $f$ , כותבים $(x+3)$ — בסוגריים.

ועכשיו $g(f(x))$ : מה נכנס ל- $g$ ?

$x^2$

Show the answer and the solution

נכון: הפנימית עכשיו היא $f$ .

$x + 3$

Show the answer and the solution

זו הייתה הפנימית בהרכבה הקודמת. כאן $f$ פועלת ראשונה.

\begin{aligned}g(f(x)) &= g(x^2) \\ &= x^2 + 3\end{aligned}

מוסיפים $3$ לתוצאה של $f$ .

שתי התוצאות שוות?

כן, תמיד

Show the answer and the solution

הציבו $x = 1$ : $16$ מול $4$ .

לא: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Show the answer and the solution

הביטויים שונים, ומספיקה הצבה אחת כדי לראות.

(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \neq x^2 + 3

שתי פונקציות שונות.

Show the answer and the solution

$f(g(x)) = (x+3)^2$ ו- $g(f(x)) = x^2 + 3$ . קוראים מבפנים החוצה, ומציבים ביטוי שלם בסוגריים.

Do the activity on elev

תחום ההגדרה של פונקציה מורכבת

$x$ צריך לעבור את שתי המכונות. קודם הוא חייב להיות בתחום של $g$ , ואחר כך התוצאה $g(x)$ חייבת להיות בתחום של $f$ .

$f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = 5 - x$

שתי ההרכבות, ושני תחומים שונים.

f(g(x)) = \sqrt{5 - x}

השורש מקבל את $5 - x$

5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5

התחום של $f(g(x))$

g(f(x)) = 5 - \sqrt{x}

עכשיו השורש פנימי

x \geq 0

התחום של $g(f(x))$ — נקבע על ידי השורש שבפנים

$\sqrt{x^2}$ — הרכבה עם הפתעה

הרכבה של «מעלים בריבוע» ואחריה «שורש» נראית כאילו היא מחזירה את $x$ . בדקו עם $x = -3$ : $(-3)^2 = 9$ , ו- $\sqrt{9} = 3$ . חזרנו ל- $3$ , לא ל- $-3$ .

y = √(x²) — איזו צורה יוצאת?

\sqrt{x^2} = |x|

לכל $x$

חשבו $(\sqrt{x})^2$ ו- $\sqrt{x^2}$ עבור $x = -4$ . מה יוצא?

Show the answer and the solution

$\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = |-4|$ . ואילו $(\sqrt{-4})^2$ לא מוגדר — אי אפשר להוציא שורש מ- $-4$ . שתי ההרכבות שוות רק ל- $x \geq 0$ .

כדי לפרק פונקציה להרכבה, שואלים: «מה אני מחשב ראשון כשאני מציב מספר?» זו הפנימית. למשל ב- $\sqrt{3x + 1}$ מחשבים קודם $3x + 1$ , ולכן $g(x) = 3x + 1$ ו- $f(x) = \sqrt{x}$ .

הטעויות של ההרכבה.

f(g(x)) = f(x) \cdot g(x)

f(g(x)) = f\big(g(x)\big)

הרכבה היא הצבה, לא כפל. עם $f(x) = x^2$ ו- $g(x) = x + 3$ : $(x+3)^2$ ולא $x^2(x+3)$ .

\sqrt{x^2} = x

\sqrt{x^2} = |x|

השורש תמיד אי-שלילי. ל- $x = -5$ יוצא $5$ .

\begin{aligned}f(x) &= 2x \\ \ f(x+1) &= 2x + 1\end{aligned}

\begin{aligned}f(x+1) &= 2(x+1) \\ &= 2x + 2\end{aligned}

בלי סוגריים המספר $2$ כופל רק את ה- $x$ ולא את כל הביטוי שהוצב.

Exercises

Exercise 1

נתון $f(x) = 2x - 1$ ו- $g(x) = x^2$ . חשבו $f(g(3))$ .

Show the answer and the solution

Answer: 17

Worked solution:

g(3) = 9

קודם הפנימית

\begin{aligned}f(9) &= 2 \cdot 9 - 1 \\ &= 17\end{aligned}

ואז החיצונית

מתחילים מבפנים. מי שחישב קודם $f(3) = 5$ ואז $g(5) = 25$ חישב את $g(f(3))$ — התרגיל הבא.

Check the answer on elev

Exercise 2

עם אותן $f(x) = 2x - 1$ ו- $g(x) = x^2$ , חשבו $g(f(3))$ .

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

f(3) = 5

עכשיו $f$ פנימית

g(5) = 25

ואז מעלים בריבוע

$17$ מול $25$ — אותן פונקציות, אותו מספר, סדר אחר.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון $f(x) = x^2$ ו- $g(x) = x - 4$ . מהי $f(g(x))$ ?

$x^2 - 16$
$x^2 - 4$
$(x-4)^2$
$x^2(x-4)$

Show the answer and the solution

Answer: C $(x-4)^2$

Worked solution:

f(g(x)) = f(x - 4)

מציבים את $g$ בתוך $f$

= (x-4)^2 = x^2 - 8x + 16

בסוגריים

התשובה $(x-4)^2$ . $x^2 - 4$ היא $g(f(x))$ , $x^2(x-4)$ היא מכפלה, ו- $x^2 - 16$ היא פתיחת סוגריים שגויה של $(x-4)^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = x - 7$ . מהו תחום ההגדרה של $f(g(x))$ ?

כל $x$
$x \geq 0$
$x \geq 7$
$x \geq -7$

Show the answer and the solution

Answer: C $x \geq 7$

Worked solution:

f(g(x)) = \sqrt{x - 7}

מרכיבים

x - 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq 7

תנאי השורש על הביטוי שבפנים

התשובה $x \geq 7$ . המלכודת היא $x \geq 0$ : זה התחום של $f$ לבדה, אבל לתוך השורש נכנס $x - 7$ , לא $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

לכל שתי פונקציות $f$ ו- $g$ מתקיים $f(g(x)) = g(f(x))$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \ g(x) &= x + 3\end{aligned}

דוגמה נגדית

\begin{aligned}f(g(1)) &= 16 \neq 4 \\ &= g(f(1))\end{aligned}

מספיקה נקודה אחת

הטענה שגויה. לפעמים הסדר לא משנה (למשל $f(x) = x + 1$ ו- $g(x) = x + 2$ ), אבל «לכל» מופרך בדוגמה נגדית אחת.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון $f(x) = \frac{1}{x}$ ו- $g(x) = x - 2$ . עבור איזה $x$ הפונקציה $f(g(x))$ אינה מוגדרת?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f(g(x)) = \frac{1}{x - 2}

מרכיבים

\begin{aligned}x - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

שם המכנה מתאפס

המלכודת: לענות $0$ , כי $f$ לבדה אינה מוגדרת ב- $0$ . אבל האפס האסור הוא של $g(x)$ , וזה קורה כש- $x = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

כל פונקציה כתובה כ- $f(g(x))$ . התאימו לה את הפנימית $g$

$\sqrt{3x+1}$
$(x^2 + 1)^5$
$\frac{1}{x^3}$
$|2x - 6|$

$g(x) = 2x - 6$
$g(x) = 3x + 1$
$g(x) = x^2 + 1$
$g(x) = x^3$

Show the answer and the solution

Answer: $\sqrt{3x+1}$ — $g(x) = 3x + 1$ · $(x^2 + 1)^5$ — $g(x) = x^2 + 1$ · $\frac{1}{x^3}$ — $g(x) = x^3$ · $|2x - 6|$ — $g(x) = 2x - 6$

Worked solution:

\sqrt{3x+1}:\ \ 3x+1 \ \rightarrow\ \sqrt{\ }

מה מחשבים ראשון?

(x^2+1)^5:\ \ x^2+1 \ \rightarrow\ (\ )^5

הסוגריים לפני החזקה

הפנימית היא מה שמחשבים ראשון כשמציבים מספר, גם כשהיא כתובה «בתוך» הנוסחה.

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו $\sqrt{x^2}$ עבור $x = -6$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

(-6)^2 = 36

קודם הריבוע

\sqrt{36} = 6

השורש אי-שלילי

= |-6|

$\sqrt{x^2} = |x|$

התשובה $6$ , לא $-6$ . «השורש מבטל את הריבוע» נכון רק ל- $x \geq 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

בכל $x$ שבו שני הצדדים מוגדרים, מתקיים $(\sqrt{x})^2 = \sqrt{x^2}$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(\sqrt{x})^2 \ \text{מוגדר} \iff x \geq 0

השורש שבפנים

x \geq 0:\ (\sqrt{x})^2 = x

\begin{aligned}x \geq 0:\ \sqrt{x^2} &= |x| \\ &= x\end{aligned}

שני הצדדים שווים

הטענה נכונה — וזו בדיוק הנקודה העדינה. $\sqrt{x^2} = |x|$ מוגדרת לכל $x$ , אבל $(\sqrt{x})^2$ רק ל- $x \geq 0$ , ושם $|x| = x$ . ההבדל בין השתיים הוא התחום, לא הערך.

Check the answer on elev

Exercise 10

השלימו

נתון $f(x) = ax + 1$ , וידוע ש- $f(f(x)) = 4x + 3$ לכל $x$ . לכן $a =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: נתון $f(x) = ax + 1$ , וידוע ש- $f(f(x)) = 4x + 3$ לכל $x$ . לכן $a =$ 2

Worked solution:

\begin{aligned}f(f(x)) &= a(ax + 1) + 1 \\ &= a^2x + a + 1\end{aligned}

מציבים את $f$ בתוך עצמה

\begin{aligned}a^2 &= 4 \\ \quad a + 1 &= 3\end{aligned}

משווים מקדמים

a = 2

רק $a = 2$ מקיים את שתיהן

המלכודת: מ- $a^2 = 4$ לענות גם $a = -2$ . אבל אז $a + 1 = -1 \neq 3$ . צריך לקיים את שתי המשוואות.

Check the answer on elev

מציבים ביטוי במקום מספר

תחום ההגדרה של פונקציה מורכבת

x2\sqrt{x^2}x2​ — הרכבה עם הפתעה

Exercises

Keep practising on elev

$\sqrt{x^2}$ — הרכבה עם הפתעה