Root multiplicity

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כשפולינום כתוב כמכפלה של גורמים, אפשר לשרטט אותו כמעט בלי חישוב. אבל כדאי להסתכל קודם על גרף אחד ולשים לב למשהו מוזר בשורשים שלו.

בגרף של f(x)=(x−1)2(x+2)f(x) = (x-1)^2(x+2) יש שני שורשים. מה ההבדל בין מה שהגרף עושה ב-x=−2x = -2 לבין מה שהוא עושה ב-x=1x = 1?

Show the answer and the solution

ב-x=−2x = -2 הגרף חוצה את ציר ה-xx: עובר מתחתיו אל מעליו. ב-x=1x = 1 הוא רק נוגע בציר וחוזר למעלה. ההבדל בא מהחזקה: (x+2)(x+2) מופיע פעם אחת, (x−1)(x-1) מופיע פעמיים.

ריבוי של שורש

אם הגורם (x−a)(x-a) מופיע בפירוק kk פעמים, כלומר (x−a)k(x-a)^k, אומרים ש-aa הוא שורש מריבוי kk. הריבוי קובע מה הגרף עושה בשורש:

k=1k = 1

חוצה את הציר, כמו ישר.

k=2 4 …\begin{aligned}k &= 2 \\ \ 4 \\ \ \dots\end{aligned}

זוגי — נוגע בציר ולא עובר לצד השני, כמו פרבולה בקדקוד.

k=3 5 …\begin{aligned}k &= 3 \\ \ 5 \\ \ \dots\end{aligned}

אי-זוגי — חוצה, אבל «משתטח» לרגע ליד השורש, כמו x3x^3 בראשית.

הסיבה פשוטה: ליד x=ax = a כל שאר הגורמים שומרים על הסימן שלהם. רק (x−a)k(x-a)^k יכול להחליף סימן — והוא מחליף רק כש-kk אי-זוגי. (x−1)2(x-1)^2 חיובי משני צדי 11, ולכן הגרף חוזר לאותו צד.

שרטוט סקיצה מפירוק

y = (x + 1)²(x − 3)
-3-113-12-10-8-6-4-2246xy

סימן הפונקציה בלי טבלת ערכים: f(x)=x2(x−2)(x+3)f(x) = x^2(x-2)(x+3)

מעלה 44, מקדם מוביל חיובי, ושלושה שורשים.

x>2:  f>0x > 2:\ \ f > 0

מעלה זוגית, מקדם חיובי: הקצה הימני למעלה

x=2 (k=1):  0<x<2⇒f<0x = 2\ (k=1):\ \ 0 < x < 2 \Rightarrow f < 0

חוצה — הסימן מתחלף

x=0 (k=2):  −3<x<0⇒f<0x = 0\ (k=2):\ \ -3 < x < 0 \Rightarrow f < 0

נוגע — הסימן נשאר

x=−3 (k=1):  x<−3⇒f>0x = -3\ (k=1):\ \ x < -3 \Rightarrow f > 0

חוצה שוב — והקצה השמאלי למעלה, כמצופה ממעלה זוגית

f(1)=1⋅(−1)⋅4=−4<0\begin{aligned}f(1) &= 1 \cdot (-1) \cdot 4 \\ &= -4 < 0\end{aligned}

בדיקה במספר

פולינום ממעלה 44 ומקדם מוביל 11. ידוע שהשורש x=1x = 1 שלו הוא מריבוי 33, ויש לו עוד שורש x=5x = 5. מה הריבוי של 55, ומהו הפולינום?

Show the answer and the solution

סכום הריבויים לא עולה על המעלה: 3+k=43 + k = 4, ולכן k=1k = 1. הפולינום: f(x)=(x−1)3(x−5)f(x) = (x-1)^3(x-5).

סכום כל הריבויים לא גדול מהמעלה. אם הוא קטן ממנה, יש בפירוק גורם בלי שורש, כמו x2+1x^2 + 1.

הטעויות של הריבוי.

(x+3)2=0⇒x=±3\begin{aligned}(x+3)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}
(x+3)2=0⇒x=−3\begin{aligned}(x+3)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

שורש כפול הוא נקודה אחת שנספרת פעמיים, לא שני שורשים. מי שכותב ±\pm מתבלבל עם x2=9x^2 = 9.

−x2(x−1):  x→∞⇒f→∞-x^2(x-1):\ \ x \to \infty \Rightarrow f \to \infty
−x2(x−1):  x→∞⇒f→−∞-x^2(x-1):\ \ x \to \infty \Rightarrow f \to -\infty

את המקדם המוביל מחשבים מכל הגורמים יחד, כולל המינוס שלפני הסוגריים: −x2⋅x=−x3-x^2 \cdot x = -x^3.

Exercises

Exercise 1

מהו הריבוי של השורש x=2x = 2 בפונקציה f(x)=(x−2)3(x+1)f(x) = (x-2)^3(x+1)?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

(x−2)3(x-2)^3

הגורם של השורש 22

k=3k = 3

החזקה שלו

הריבוי הוא החזקה של הגורם, לא מספר השורשים ולא המעלה (44). ריבוי 33 אי-זוגי — הגרף חוצה שם.

Check the answer on elev

Exercise 2

באילו שורשים הגרף של f(x)=(x+4)(x−1)2(x−6)3f(x) = (x+4)(x-1)^2(x-6)^3 נוגע בציר ה-xx בלי לחצות אותו?

  1. רק ב-x=6x = 6
  2. בכל שלושת השורשים
  3. רק ב-x=1x = 1
  4. ב-x=1x = 1 וב-x=6x = 6
Show the answer and the solution

Answer: C רק ב-x=1x = 1

Worked solution:

x=−4: k=1\begin{aligned}x &= -4:\ k \\ &= 1\end{aligned}

אי-זוגי — חוצה

x=1: k=2\begin{aligned}x &= 1:\ k \\ &= 2\end{aligned}

זוגי — נוגע

x=6: k=3\begin{aligned}x &= 6:\ k \\ &= 3\end{aligned}

אי-זוגי — חוצה

התשובה «רק ב-x=1x = 1». המלכודת היא x=6x = 6: חזקה גבוהה אינה «נגיעה». הזוגיות של הריבוי קובעת, לא הגודל שלו.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=x3(x+2)2(x−5)(x−7)4f(x) = x^3(x+2)^2(x-5)(x-7)^4. מיינו את השורשים שלה

  • הגרף חוצה
  • הגרף נוגע
  • x=−2x = -2
  • x=0x = 0
  • x=5x = 5
  • x=7x = 7
Show the answer and the solution

Answer: x=0x = 0 — הגרף חוצה · x=5x = 5 — הגרף חוצה · x=−2x = -2 — הגרף נוגע · x=7x = 7 — הגרף נוגע

Worked solution:

x3: k=3x^3:\ k = 3

חוצה

(x−5): k=1(x-5):\ k = 1

חוצה

(x+2)2: k=2(x+2)^2:\ k = 2

נוגע

(x−7)4: k=4(x-7)^4:\ k = 4

נוגע

השורש x=0x = 0 מתחבא ב-x3x^3: גם xx לבד הוא גורם, (x−0)3(x-0)^3.

Check the answer on elev

Exercise 4

בכמה נקודות שונות פוגש הגרף של f(x)=(x2−9)2(x+3)f(x) = (x^2-9)^2(x+3) את ציר ה-xx?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

מפרקים את הסוגריים

f(x)=(x−3)2(x+3)2(x+3)=(x−3)2(x+3)3\begin{aligned}f(x) &= (x-3)^2(x+3)^2(x+3) \\ &= (x-3)^2(x+3)^3\end{aligned}

מאחדים גורמים שווים

x=3 x=−3\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שתי נקודות

המלכודת: לספור ±3\pm 3 מהסוגריים הראשונים ועוד −3-3 מהשני — ולקבל 33. גורמים שווים מתאחדים.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהם הריבויים של השורשים של f(x)=(x2−9)2(x+3)f(x) = (x^2-9)^2(x+3)?

  1. x=±3x = \pm 3 ששניהם מריבוי 33
  2. x=−3x = -3 מריבוי 22, ו-x=3x = 3 מריבוי 22
  3. x=−3x = -3 מריבוי 11, ו-x=3x = 3 מריבוי 22
  4. x=−3x = -3 מריבוי 33, ו-x=3x = 3 מריבוי 22
Show the answer and the solution

Answer: D x=−3x = -3 מריבוי 33, ו-x=3x = 3 מריבוי 22

Worked solution:

(x2−9)2=(x−3)2(x+3)2(x^2-9)^2 = (x-3)^2(x+3)^2

כל גורם בריבוע

(x+3)2⋅(x+3)=(x+3)3(x+3)^2 \cdot (x+3) = (x+3)^3

ועוד גורם אחד של x+3x+3

התשובה «x=−3x = -3 מריבוי 33, ו-x=3x = 3 מריבוי 22». בדיקה: 3+2=53 + 2 = 5, בדיוק המעלה.

Check the answer on elev

Exercise 6

הגרף של f(x)=−(x−2)2f(x) = -(x-2)^2 נוגע בציר ה-xx ב-x=2x = 2 מלמטה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(x−2)2≥0(x-2)^2 \geq 0

הריבוע אי-שלילי

−(x−2)2≤0-(x-2)^2 \leq 0

המינוס הופך

f(2)=0f(2) = 0

נוגע רק ב-x=2x=2

הטענה נכונה. ריבוי זוגי אומר שהגרף לא עובר צד — וכאן הצד הוא מתחת לציר, בגלל המינוס.

Check the answer on elev

Exercise 7

גרף של פולינום ממעלה 3
-3-2-10123-6-5-4-3-2-1123456xy

איזו נוסחה מתאימה לגרף?

  1. y=−(x+1)2(x−2)y = -(x+1)^2(x-2)
  2. y=(x+1)(x−2)2y = (x+1)(x-2)^2
  3. y=(x+1)2(x−2)y = (x+1)^2(x-2)
  4. y=(x−1)2(x+2)y = (x-1)^2(x+2)
Show the answer and the solution

Answer: C y=(x+1)2(x−2)y = (x+1)^2(x-2)

Worked solution:

x=−1: נוגע⇒(x+1)2x = -1:\ \text{נוגע} \Rightarrow (x+1)^2

ריבוי זוגי

x=2: חוצה⇒(x−2)x = 2:\ \text{חוצה} \Rightarrow (x-2)

ריבוי אי-זוגי

x→∞: y→∞x \to \infty:\ y \to \infty

מקדם חיובי

y(0)=1⋅(−2)=−2\begin{aligned}y(0) &= 1 \cdot (-2) \\ &= -2\end{aligned}

בדיקה מול הגרף

התשובה y=(x+1)2(x−2)y = (x+1)^2(x-2). (x−1)2(x+2)(x-1)^2(x+2) מחליפה את הסימנים של השורשים, (x+1)(x−2)2(x+1)(x-2)^2 מחליפה בין נגיעה לחציה, והגרסה עם המינוס הפוכה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)2(x+2)f(x) = (x-1)^2(x+2). לכמה מספרים שלמים xx בין −3-3 ל-33 (כולל) מתקיים f(x)<0f(x) < 0?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

(x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0

הגורם הזה לא משנה סימן

f(x)<0  ⟺  x+2<0, x≠1f(x) < 0 \iff x + 2 < 0 ,\ x \neq 1

רק (x+2)(x+2) קובע

x<−2⇒x=−3x < -2 \Rightarrow x = -3

שלם אחד בטווח

שורש כפול לא מחליף סימן: הגרף נוגע ב-x=1x = 1 ונשאר מעל הציר. מי שחשב שבין −2-2 ל-11 הפונקציה שלילית, התייחס ל-11 כאל שורש שחוצה.

Check the answer on elev

Exercise 9

השלימו

הפולינום f(x)=x2(x−4)kf(x) = x^2(x-4)^k הוא ממעלה 55. לכן k=k = ____, והגרף חוצה את הציר ב-x=x = ____

Show the answer and the solution

Answer: הפולינום f(x)=x2(x−4)kf(x) = x^2(x-4)^k הוא ממעלה 55. לכן k=k = 3, והגרף חוצה את הציר ב-x=x = 4

Worked solution:

2+k=52 + k = 5

סכום החזקות הוא המעלה

k=3k = 3
x=4: k=3 אי-זוגי\begin{aligned}x &= 4:\ k \\ &= 3 \ \text{אי-זוגי}\end{aligned}

חוצה; ב-x=0x=0 הריבוי 22 — נוגע

ב-x=0x = 0 הגרף נוגע (ריבוי 22), ולכן התשובה לחלק השני היא 44 ולא 00.

Check the answer on elev

Exercise 10

בסקיצה של f(x)=−(x−2)2(x+1)f(x) = -(x-2)^2(x+1) שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x=2:  k=2⇒נוגע\begin{aligned}x &= 2:\ \ k \\ &= 2 \Rightarrow \text{נוגע}\end{aligned}
x=−1:  k=1⇒חוצה\begin{aligned}x &= -1:\ \ k \\ &= 1 \Rightarrow \text{חוצה}\end{aligned}
f(0)=−(4)(1)=−4\begin{aligned}f(0) &= -(4)(1) \\ &= -4\end{aligned}
x→∞:  f(x)→∞x \to \infty:\ \ f(x) \to \infty
Show the answer and the solution

Answer: x→∞:  f(x)→∞x \to \infty:\ \ f(x) \to \infty → x→∞:  f(x)→−∞x \to \infty:\ \ f(x) \to -\infty

Worked solution:

−(x−2)2(x+1)=−x3+…-(x-2)^2(x+1) = -x^3 + \dots

המקדם המוביל −1-1

x→∞: −x3→−∞x \to \infty:\ -x^3 \to -\infty

הקצה הימני למטה

שלוש השורות הראשונות נכונות. הרביעית שכחה את המינוס שלפני הסוגריים — הוא חלק מהמקדם המוביל.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade