Series 3 — challenging

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שבכל אחת מסתתר צעד שקל לדלג עליו: שני ערכים פסולים במקום אחד, u2=∣u∣\sqrt{u^2} = |u|, פרמטר עם שני פתרונות, או הפוכה שקיימת רק בענף אחד.

בשאלות «נכון או לא נכון» — חפשו דוגמה נגדית לפני שמאשרים. ובכל שאלה על הפוכה: f−1(a)f^{-1}(a) היא שאלה על ff, ואפשר לענות בלי למצוא נוסחה.

Exercises

Exercise 1

כמה מספרים שלמים בין −3-3 ל-33 (כולל) נמצאים בתחום ההגדרה של f(x)=x+3x2−4f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 4}?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x+3≥0⇒x≥−3x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3

השורש במונה — −3-3 מותר

x2−4≠0⇒x≠±2x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2

המכנה

−3, −1, 0, 1, 3-3 ,\ -1 ,\ 0 ,\ 1 ,\ 3

חמישה שלמים

שני הפסולים הם 22 ו-(−2)(-2). מי שפסל רק את 22 שכח ש-x2=4x^2 = 4 נותן שני פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 2

הפונקציה f(x)=x2x−1f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1} היא זוגית, כי (−x)2=x2(-x)^2 = x^2.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x≠1x \neq 1

התחום

x=−1 בתחום, x=1 לא\begin{aligned}x &= -1 \ \text{בתחום, } x \\ &= 1 \ \text{לא}\end{aligned}

התחום אינו סימטרי

f(−2)=4−3≠41=f(2)\begin{aligned}f(-2) &= \frac{4}{-3} \neq \frac{4}{1} \\ &= f(2)\end{aligned}

וגם הצבה מפריכה

הטענה שגויה. הריבוע במונה מטעה; המכנה x−1x - 1 שובר גם את התחום וגם את הסימטריה.

Check the answer on elev

Exercise 3

עבור איזה ערך חיובי של kk הפונקציה f(x)=x3+(k2−4)x2+2xf(x) = x^3 + (k^2 - 4)x^2 + 2x היא אי-זוגית?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x2x^2

חזקה זוגית — אסורה בפונקציה אי-זוגית

k2−4=0k^2 - 4 = 0

המקדם חייב להתאפס

k=±2⇒k=2\begin{aligned}k &= \pm 2 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

והחיובי

גם k=−2k = -2 הופך את ff לאי-זוגית — השאלה ביקשה את החיובי. במבחן, «מצאו את כל ערכי kk» היה מחייב את שניהם.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2 ו-g(x)=xg(x) = \sqrt{x}. מהי g(f(x))g(f(x))?

  1. (x−1)2(\sqrt{x} - 1)^2
  2. ∣x−1∣|x - 1|
  3. 1−x1 - x
  4. x−1x - 1
Show the answer and the solution

Answer: B ∣x−1∣|x - 1|

Worked solution:

g(f(x))=(x−1)2g(f(x)) = \sqrt{(x-1)^2}

מציבים

u2=∣u∣\sqrt{u^2} = |u|

הכלל

=∣x−1∣= |x - 1|
x=0: 1=1=∣0−1∣\begin{aligned}x &= 0:\ \sqrt{1} \\ &= 1 \\ &= |0 - 1|\end{aligned}

בדיקה: x−1x - 1 היה נותן −1-1

התשובה ∣x−1∣|x - 1|. (x−1)2(\sqrt{x} - 1)^2 היא f(g(x))f(g(x)), ו-x−1x - 1 נכונה רק ל-x≥1x \geq 1.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. פתרו את המשוואה f(f(x))=13f(f(x)) = 13. כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.5

Worked solution:

f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3\begin{aligned}f(f(x)) &= 2(2x + 1) + 1 \\ &= 4x + 3\end{aligned}

מרכיבים

4x+3=134x + 3 = 13
x=2.5x = 2.5

בדיקה: f(2.5)=6f(2.5) = 6, f(6)=13f(6) = 13. המלכודת: לכתוב f(f(x))=(2x+1)2f(f(x)) = (2x+1)^2 — הרכבה אינה ריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 6

איזה פולינום נוגע בציר ה-xx ב-x=−2x = -2, חוצה אותו ב-x=1x = 1, ומקיים f(x)→−∞f(x) \to -\infty כאשר x→∞x \to \infty?

  1. y=(x−2)2(1−x)y = (x-2)^2(1-x)
  2. y=−(x+2)2(x−1)y = -(x+2)^2(x-1)
  3. y=−(x+2)(x−1)2y = -(x+2)(x-1)^2
  4. y=(x+2)2(x−1)y = (x+2)^2(x-1)
Show the answer and the solution

Answer: B y=−(x+2)2(x−1)y = -(x+2)^2(x-1)

Worked solution:

(x+2)2(x+2)^2

נגיעה ב-−2-2

(x−1)(x-1)

חציה ב-11

−x3→−∞-x^3 \to -\infty

מקדם מוביל שלילי

התשובה −(x+2)2(x−1)-(x+2)^2(x-1). המלכודת היא (x−2)2(1−x)(x-2)^2(1-x): הקצה נכון, אבל היא נוגעת ב-x=2x = 2 ולא ב-x=−2x = -2.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון f(x)=x+5f(x) = \sqrt{x + 5}. חשבו f−1(3)f^{-1}(3).

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

a+5=3\sqrt{a + 5} = 3

מה הוכנס?

a+5=9⇒a=4\begin{aligned}a + 5 &= 9 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע

9=3 ✓\sqrt{9} = 3 \ \checkmark

בדיקה

אין צורך בנוסחה של f−1f^{-1}. f−1(3)f^{-1}(3) היא פשוט שאלה על ff: איזה xx נותן 33?

Check the answer on elev

Exercise 8

לפונקציה f(x)=x2−6xf(x) = x^2 - 6x, כשהיא מוגדרת רק בתחום x≥3x \geq 3, יש פונקציה הפוכה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9

קדקוד ב-x=3x = 3

x≥3x \geq 3

הפונקציה עולה: ענף אחד של הפרבולה

⇒\Rightarrow

כל ערך מתקבל פעם אחת, ולכן יש הפוכה

הטענה נכונה. על כל הישר אין הפוכה (f(0)=f(6)=0f(0) = f(6) = 0), אבל צמצום לענף אחד מתקן זאת — בדיוק כמו x2x^2 ו-x\sqrt{x}.

Check the answer on elev

Exercise 9

מיינו: למי יש פונקציה הפוכה בכל תחום ההגדרה שלה?

  • יש הפוכה
  • אין הפוכה
  • 1x\frac{1}{x}
  • x\sqrt{x}
  • ∣x∣|x|
  • 2x−12x - 1
  • x2x^2
  • x3x^3
  • x4−1x^4 - 1
Show the answer and the solution

Answer: x3x^3 — יש הפוכה · 2x−12x - 1 — יש הפוכה · 1x\frac{1}{x} — יש הפוכה · x\sqrt{x} — יש הפוכה · x2x^2 — אין הפוכה · ∣x∣|x| — אין הפוכה · x4−1x^4 - 1 — אין הפוכה

Worked solution:

(−2)2=22 ∣−3∣=∣3∣ (−1)4−1=14−1\begin{aligned}(-2)^2 &= 2^2 \\ \ |-3| &= |3| \\ \ (-1)^4 - 1 &= 1^4 - 1\end{aligned}

ערך אחד מתקבל פעמיים

1x: 1a=1b⇒a=b\begin{aligned}\frac{1}{x}:\ \frac{1}{a} &= \frac{1}{b} \Rightarrow a \\ &= b\end{aligned}

כל ערך פעם אחת

המלכודת: 1x\frac{1}{x} אינה עולה ובכל זאת יש לה הפוכה (היא עצמה). התנאי הוא «כל ערך פעם אחת», לא «עולה».

Check the answer on elev

Exercise 10

בכמה נקודות נחתכים הגרפים של y=x3y = x^3 ושל y=4xy = 4x?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x3−4x=0x^3 - 4x = 0

מעבירים אגף

x(x−2)(x+2)=0x(x - 2)(x + 2) = 0

מפרקים

x=0 2 −2\begin{aligned}x &= 0 \\ \ 2 \\ \ -2\end{aligned}

שלוש נקודות

חלוקה ב-xx הייתה מאבדת את נקודת הראשית. מוציאים גורם משותף, לא מחלקים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade