Series 4 — advanced

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות מתקדמות: הוכחה של זוגיות בהרכבה, פרמטר שקובע ריבוי, הפוכה של ענף שלילי, וטענה על נקודות החיתוך של פונקציה עם ההפוכה שלה.

בהוכחה, כל שורה צריכה נימוק, וכל שורה שנשענת על קודמותיה צריכה להפנות אליהן. ובשאלות פרמטר — הציבו את התשובה בחזרה ובדקו.

Exercises

Exercise 1

ff פונקציה זוגית ו-gg פונקציה אי-זוגית, שתיהן מוגדרות לכל xx. נגדיר h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)). הוכיחו: hh זוגית.

  • f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx
  • g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) לכל xx
  • h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x))

h(−x)=h(x)h(-x) = h(x)

Show the answer and the solution
  1. h(−x)=f(g(−x))h(-x) = f(g(-x)) — הצבת −x-x בהגדרת hh
  2. g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) — נתון — gg אי-זוגית
  3. h(−x)=f(−g(x))h(-x) = f(-g(x)) — הצבת הנתון על gg
  4. f(−g(x))=f(g(x))f(-g(x)) = f(g(x)) — ff זוגית: f(−u)=f(u)f(-u) = f(u) לכל uu, ובפרט ל-u=g(x)u = g(x)
  5. h(−x)=f(g(x))h(-x) = f(g(x)) — משתי השורות הקודמות
  6. h(−x)=h(x)h(-x) = h(x) — הגדרת hh — כלומר hh זוגית
Check the answer on elev

Exercise 2

נתון f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x ו-g(x)=x−1g(x) = x - 1. מצאו את הפתרון החיובי של המשוואה f(g(x))=8f(g(x)) = 8.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(g(x))=(x−1)2+2(x−1)f(g(x)) = (x-1)^2 + 2(x-1)

מציבים

=x2−2x+1+2x−2=x2−1= x^2 - 2x + 1 + 2x - 2 = x^2 - 1

מפשטים

x2−1=8⇒x=±3\begin{aligned}x^2 - 1 &= 8 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}
x=3x = 3

החיובי

הפישוט חוסך עבודה: x2−1x^2 - 1. מי שכתב (x−1)2+2x(x-1)^2 + 2x שכח לכפול את ה-22 בכל הביטוי x−1x - 1.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} ו-g(x)=x2−9g(x) = x^2 - 9. מהו תחום ההגדרה של f(g(x))f(g(x))?

  1. x≠3x \neq 3
  2. x≠3x \neq 3 וגם x≠−3x \neq -3
  3. x≠0x \neq 0
  4. x>3x > 3
Show the answer and the solution

Answer: B x≠3x \neq 3 וגם x≠−3x \neq -3

Worked solution:

f(g(x))=1x2−9f(g(x)) = \frac{1}{x^2 - 9}

מרכיבים

x2−9≠0⇒x≠±3x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3

המכנה

התשובה «x≠3x \neq 3 וגם x≠−3x \neq -3». x≠0x \neq 0 הוא התחום של ff לבדה — אבל לתוך ff נכנס x2−9x^2 - 9.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון f(x)=4x−1f(x) = \dfrac{4}{x - 1}. חשבו f−1(2)f^{-1}(2).

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

4a−1=2\frac{4}{a - 1} = 2

מה הוכנס?

a−1=2⇒a=3\begin{aligned}a - 1 &= 2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}
f(3)=42=2 ✓\begin{aligned}f(3) &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

המלכודת: f(2)=4f(2) = 4. ועוד אחת: f−1(2)=1f(2)=14f^{-1}(2) = \frac{1}{f(2)} = \frac{1}{4} — ה-−1-1 אינו חזקה.

Check the answer on elev

Exercise 5

אם ff עולה בכל תחום ההגדרה שלה ויש לה הפוכה, אז כל נקודת חיתוך של הגרפים של ff ושל f−1f^{-1} נמצאת על הישר y=xy = x.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(p)=q f−1(p)=q⇒f(q)=p\begin{aligned}f(p) &= q \\ \ f^{-1}(p) &= q \Rightarrow f(q) \\ &= p\end{aligned}

נקודה (p,q)(p, q) על שני הגרפים

p<q⇒f(p)<f(q)⇒q<pp < q \Rightarrow f(p) < f(q) \Rightarrow q < p

סתירה, כי ff עולה

q<p⇒f(q)<f(p)⇒p<qq < p \Rightarrow f(q) < f(p) \Rightarrow p < q

שוב סתירה

p=qp = q

הנקודה על y=xy = x

הטענה נכונה — וזה הנימוק שמאפשר לפתור f(x)=xf(x) = x במקום f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x). בלי «עולה» זה לא נכון: ל-f(x)=−xf(x) = -x ההפוכה היא עצמה, והגרפים מתלכדים לכל אורכם.

Check the answer on elev

Exercise 6

בכמה נקודות הגרף של f(x)=x3−4x2+4xf(x) = x^3 - 4x^2 + 4x נוגע בציר ה-xx בלי לחצות אותו?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f(x)=x(x2−4x+4)f(x) = x(x^2 - 4x + 4)

גורם משותף

=x(x−2)2= x(x - 2)^2

ריבוע של הפרש

x=0: k=1  x=2: k=2\begin{aligned}x &= 0:\ k \\ &= 1 \ \ x \\ &= 2:\ k \\ &= 2\end{aligned}

רק 22 מריבוי זוגי

בלי פירוק אי אפשר לראות את הריבוי. קודם מפרקים, אחר כך קוראים את הגרף.

Check the answer on elev

Exercise 7

מחפשים את ההפוכה של f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 בתחום x≤0x \leq 0. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

y=x2+1y = x^2 + 1
x2=y−1x^2 = y - 1
x=y−1x = \sqrt{y - 1}
f−1(x)=−x−1 x≥1\begin{aligned}f^{-1}(x) &= -\sqrt{x - 1} \\ \ x \geq 1\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: x=y−1x = \sqrt{y - 1} → x=−y−1x = -\sqrt{y - 1}

Worked solution:

x≤0x \leq 0

בתחום הזה xx שלילי או אפס

x2=y−1⇒x=−y−1\begin{aligned}x^2 &= y - 1 \Rightarrow x \\ &= -\sqrt{y - 1}\end{aligned}

בוחרים את השורש השלילי

f(−2)=5 −5−1=−2 ✓\begin{aligned}f(-2) &= 5 \\ \ -\sqrt{5 - 1} &= -2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

השורה השלישית בחרה את השורש החיובי, אבל בתחום x≤0x \leq 0. השורה הרביעית כבר נכונה — היא סותרת את השלישית, וזה הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 8

לפולינום f(x)=x3−3x+cf(x) = x^3 - 3x + c יש שורש כפול ב-x=1x = 1. מצאו את cc.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f(1)=1−3+c=0\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 + c \\ &= 0\end{aligned}

11 חייב להיות שורש

c=2c = 2
x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)

בדיקה: הגורם (x−1)(x-1) באמת מופיע פעמיים

הצבה של השורש אומרת רק ש-11 שורש. את הריבוי מוודאים בפירוק. למשל ב-x3−2x+cx^3 - 2x + c ההצבה נותנת c=1c = 1, אבל x3−2x+1=(x−1)(x2+x−1)x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1) — שם 11 שורש פשוט.

Check the answer on elev

Exercise 9

לאן הולכים ערכי f(x)=(2−x)3(x+1)2f(x) = (2 - x)^3(x + 1)^2 כאשר x→∞x \to \infty?

  1. f(x)→0f(x) \to 0
  2. f(x)→8f(x) \to 8
  3. f(x)→∞f(x) \to \infty
  4. f(x)→−∞f(x) \to -\infty
Show the answer and the solution

Answer: D f(x)→−∞f(x) \to -\infty

Worked solution:

(2−x)3=(−x+2)3(2 - x)^3 = (-x + 2)^3

המקדם של xx הוא −1-1

(−x)3⋅x2=−x5(-x)^3 \cdot x^2 = -x^5

האיבר המוביל

−x5→−∞-x^5 \to -\infty

התשובה f(x)→−∞f(x) \to -\infty. המלכודת: לקרוא (x−2)3(x - 2)^3 במקום (2−x)3(2 - x)^3 — הסדר בתוך הסוגריים מכניס מינוס למקדם המוביל.

Check the answer on elev

Exercise 10

השלימו

נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=x2−ag(x) = x^2 - a. ידוע ש-f(g(3))=2f(g(3)) = 2. לכן a=a = ____

Show the answer and the solution

Answer: נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=x2−ag(x) = x^2 - a. ידוע ש-f(g(3))=2f(g(3)) = 2. לכן a=a = 5

Worked solution:

g(3)=9−ag(3) = 9 - a

הפנימית

9−a=2\sqrt{9 - a} = 2

החיצונית

9−a=4⇒a=5\begin{aligned}9 - a &= 4 \Rightarrow a \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בריבוע

בדיקה: g(3)=4g(3) = 4 ו-4=2\sqrt{4} = 2. מי שהציב 33 קודם בשורש קיבל (3)2−a=2(\sqrt{3})^2 - a = 2 — הרכבה הפוכה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade