Series 5 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בנוסח שאלון הבגרות. חלקן באות ברצף, כמו סעיפים של שאלה אחת: פולינום שצריך לפרק לפני שקוראים אותו, זוג פונקציות שמתברר שהן הפוכות, והוכחה שההפוכה של אי-זוגית היא אי-זוגית.

עבדו כמו במבחן: כתבו כל צעד, בדקו כל פתרון של משוואה עם שורש בהצבה, וזכרו שבשאלה «הוכיחו או הפריכו» דוגמה נגדית אחת מספיקה להפרכה, אבל לא להוכחה.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=(x2−4)(x−2)f(x) = (x^2 - 4)(x - 2). באיזה ערך של xx הגרף נוגע בציר ה-xx?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

מפרקים

f(x)=(x−2)2(x+2)f(x) = (x - 2)^2(x + 2)

מאחדים

x=2: k=2\begin{aligned}x &= 2:\ k \\ &= 2\end{aligned}

ריבוי זוגי — נוגע

בלי פירוק נראה ש-22 «מופיע פעם אחת בכל סוגריים». אחרי הפירוק רואים שהוא שורש כפול, ו-−2-2 הוא שורש פשוט שבו הגרף חוצה.

Check the answer on elev

Exercise 2

לאותה f(x)=(x2−4)(x−2)f(x) = (x^2 - 4)(x - 2): לאן הולכים ערכי ff כאשר x→−∞x \to -\infty?

  1. f(x)→8f(x) \to 8
  2. f(x)→0f(x) \to 0
  3. f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  4. f(x)→∞f(x) \to \infty
Show the answer and the solution

Answer: C f(x)→−∞f(x) \to -\infty

Worked solution:

x2⋅x=x3x^2 \cdot x = x^3

האיבר המוביל

x→−∞: x3→−∞x \to -\infty:\ x^3 \to -\infty

חזקה אי-זוגית

התשובה −∞-\infty. המספר 88 הוא f(0)=(−4)(−2)f(0) = (-4)(-2) — החיתוך עם ציר ה-yy, לא התנהגות באינסוף.

Check the answer on elev

Exercise 3

הפונקציה f(x)=x4−1x2f(x) = \dfrac{x^4 - 1}{x^2} היא זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x≠0x \neq 0

התחום — סימטרי

f(−x)=(−x)4−1(−x)2=x4−1x2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{(-x)^4 - 1}{(-x)^2} \\ &= \frac{x^4 - 1}{x^2} \\ &= f(x)\end{aligned}

מציבים

הטענה נכונה. גם הנקודה החסרה x=0x = 0 סימטרית לעצמה, ולכן היא לא שוברת את הסימטריה של התחום.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונות f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} ו-g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1. חשבו g(f(10))g(f(10)).

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

f(10)=9=3\begin{aligned}f(10) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

הפנימית

g(3)=9+1=10\begin{aligned}g(3) &= 9 + 1 \\ &= 10\end{aligned}

החיצונית

יצא בדיוק 1010 — המספר שהכנסנו. זה לא מקרה, והשאלה הבאה מסבירה למה.

Check the answer on elev

Exercise 5

הפונקציות f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} (בתחום x≥1x \geq 1) ו-g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 (בתחום x≥0x \geq 0) הפוכות זו לזו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

g(f(x))=(x−1)2+1=x x≥1\begin{aligned}g(f(x)) &= (\sqrt{x-1})^2 + 1 \\ &= x \\ \ x \geq 1\end{aligned}

מבטלת

f(g(x))=x2=∣x∣=x x≥0\begin{aligned}f(g(x)) &= \sqrt{x^2} \\ &= |x| \\ &= x \\ \ x \geq 0\end{aligned}

וגם בכיוון השני

ערכי f: y≥0=תחום g\text{ערכי } f:\ y \geq 0 = \text{תחום } g

והתחומים מתאימים

הטענה נכונה, אבל רק בזכות התחומים. בלי x≥0x \geq 0 היינו מקבלים f(g(−3))=3≠−3f(g(-3)) = 3 \neq -3.

Check the answer on elev

Exercise 6

הפונקציה f(x)=x+6f(x) = \sqrt{x + 6} עולה. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף שלה עם הגרף של f−1f^{-1}.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f עולה⇒f(x)=xf \ \text{עולה} \Rightarrow f(x) = x

החיתוך על הישר y=xy = x

x+6=x2⇒x=3 או x=−2\begin{aligned}x + 6 &= x^2 \Rightarrow x \\ &= 3 \ \text{או}\ x \\ &= -2\end{aligned}

מעלים בריבוע

9=3 ✓4=2≠−2\begin{aligned}\sqrt{9} &= 3 \ \checkmark \\ \quad \sqrt{4} &= 2 \neq -2\end{aligned}

בדיקה בהצבה

x=3x = 3

x=−2x = -2 נוצר מההעלאה בריבוע. כל פתרון של משוואה עם שורש חייב בדיקה בהצבה.

Check the answer on elev

Exercise 7

איזו טענה נכונה לגבי h(x)=x2−6x+9h(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 9}?

  1. h(x)=x−3h(x) = x - 3 לכל xx
  2. hh אינה מוגדרת עבור x<3x < 3
  3. h(x)=3−xh(x) = 3 - x לכל xx
  4. h(x)=∣x−3∣h(x) = |x - 3| לכל xx
Show the answer and the solution

Answer: D h(x)=∣x−3∣h(x) = |x - 3| לכל xx

Worked solution:

x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

ריבוע של הפרש

(x−3)2=∣x−3∣\sqrt{(x-3)^2} = |x - 3|

הכלל

h(0)=9=3=∣0−3∣\begin{aligned}h(0) &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= |0 - 3|\end{aligned}

בדיקה: x−3x - 3 היה נותן −3-3

התשובה ∣x−3∣|x - 3|. הטענה «אינה מוגדרת עבור x<3x < 3» מתבלבלת בין (x−3)2\sqrt{(x-3)^2} לבין x−3\sqrt{x - 3}: כאן מתחת לשורש ריבוע, תמיד אי-שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 8

ff פונקציה אי-זוגית שיש לה פונקציה הפוכה f−1f^{-1}. יהי aa מספר בתחום ההגדרה של f−1f^{-1}, ונסמן b=f−1(a)b = f^{-1}(a). הוכיחו: f−1(−a)=−f−1(a)f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a).

  • f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) לכל xx בתחום
  • b=f−1(a)b = f^{-1}(a)

f−1(−a)=−f−1(a)f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a)

Show the answer and the solution
  1. f(b)=af(b) = a — הגדרת הפונקציה ההפוכה: f−1(a)=bf^{-1}(a) = b
  2. f(−b)=−f(b)f(-b) = -f(b) — נתון — ff אי-זוגית
  3. f(−b)=−af(-b) = -a — הצבת f(b)=af(b) = a
  4. f−1(−a)=−bf^{-1}(-a) = -b — הגדרת הפונקציה ההפוכה, בכיוון ההפוך
  5. f−1(−a)=−f−1(a)f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a) — הצבת b=f−1(a)b = f^{-1}(a) — ההפוכה של אי-זוגית היא אי-זוגית
Check the answer on elev

Exercise 9

הפולינום f(x)=x4+bx2+cf(x) = x^4 + bx^2 + c הוא ממעלה 44, ו-x=1x = 1 הוא שורש כפול שלו. מצאו את bb.

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f(−x)=f(x)⇒x=−1\begin{aligned}f(-x) &= f(x) \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

ff זוגית, ולכן x=−1x=-1 גם הוא שורש כפול: הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(x)=(x−1)2(x+1)2f(x) = (x - 1)^2(x + 1)^2

ריבוי 2+2=42 + 2 = 4 — כל המעלה

=(x2−1)2=x4−2x2+1= (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1

פותחים

b=−2 c=1\begin{aligned}b &= -2 \\ \ c &= 1\end{aligned}

משווים מקדמים

הדרך הקצרה היא הזוגיות: שורש כפול ב-11 גורר שורש כפול ב-−1-1. אפשר גם בלעדיה: שורש כפול נותן שתי משוואות, f(1)=0f(1) = 0 ו-f′(1)=0f'(1) = 0, כלומר 1+b+c=01 + b + c = 0 ו-4+2b=04 + 2b = 0. מי שמציב רק f(1)=0f(1) = 0 מקבל משוואה אחת בשני נעלמים.

Check the answer on elev

Exercise 10

כמה פתרונות יש למשוואה x3=1xx^3 = \dfrac{1}{x}?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x≠0x \neq 0

תחום

x4=1x^4 = 1

כופלים ב-xx, מותר כי x≠0x \neq 0

x=1 x=−1\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= -1\end{aligned}

חזקה זוגית: שני פתרונות

הגרף של x3x^3 והגרף של 1x\frac{1}{x} נמצאים שניהם ברביעים הראשון והשלישי, ולכן נפגשים פעם בכל רביע. המלכודת: לענות רק x=1x = 1.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade