Set 5 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלות בסגנון הבגרות: סעיפים שנשענים זה על זה, «האם ייתכן», «הוכיחו או הפריכו», והוכחות מלאות של טענה ונימוק. כל שאלה משלבת לפחות שני נושאים של הפרק.

בבגרות כל סעיף הוא רמז לסעיף הבא. לפני שמתחילים סעיף ב, שאלו: מה חישבתי בסעיף א, ואיך הוא עוזר כאן?

Exercises

Exercise 1

110°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, AB=BCAB = BC ו-∠ABC=110∘\angle ABC = 110^\circ. חשבו את ∠BDC\angle BDC.

Show the answer and the solution

Answer: 35

Worked solution:

∠BAC=∠BCA=180∘−110∘2=35∘\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BCA \\ &= \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} \\ &= 35^\circ\end{aligned}

AB=BCAB = BC — משולש שווה שוקיים

∠BDC=∠BAC=35∘\begin{aligned}\angle BDC &= \angle BAC \\ &= 35^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת BCBC

המלכודת: לענות 7070 — זו ∠ADC=180∘−110∘\angle ADC = 180^\circ - 110^\circ. השאלה על חצי ממנה.

Check the answer on elev

Exercise 2

OABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO, ו-AB=BCAB = BC. הוכיחו כי DBDB חוצה את ∠ADC\angle ADC.

  • ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO
  • AB=BCAB = BC

DBDB חוצה את ∠ADC\angle ADC

Show the answer and the solution
  1. AB=BCAB = BC — נתון
  2. ∠AOB=∠BOC\angle AOB = \angle BOC — במעגל, מיתרים שווים נשענים על זוויות מרכזיות שוות
  3. ∠ADB=12∠AOB\angle ADB = \tfrac{1}{2}\angle AOB — זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
  4. ∠BDC=12∠BOC\angle BDC = \tfrac{1}{2}\angle BOC — זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
  5. ∠ADB=∠BDC\angle ADB = \angle BDC — חצאים של זוויות שוות
  6. DBDB חוצה את ∠ADC\angle ADC — הגדרת חוצה זווית

Worked solution:

AB=BCAB = BC

נתון

∠AOB=∠BOC\angle AOB = \angle BOC

במעגל, מיתרים שווים נשענים על זוויות מרכזיות שוות

∠ADB=12∠AOB\angle ADB = \tfrac{1}{2}\angle AOB

זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∠BDC=12∠BOC\angle BDC = \tfrac{1}{2}\angle BOC

זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∠ADB=∠BDC\angle ADB = \angle BDC

חצאים של זוויות שוות

⇒\Rightarrow

DBDB חוצה את ∠ADC\angle ADC — הגדרת חוצה זווית

המלכודת: לדלג על הזוויות המרכזיות ולכתוב «מיתרים שווים ולכן הזוויות שוות». במבחן כותבים את השרשרת: מיתרים ← מרכזיות ← היקפיות.

Check the answer on elev

Exercise 3

OPAB1026010096

מנקודה PP יוצאים שני משיקים PAPA ו-PBPB למעגל שמרכזו OO ורדיוסו 1010, ו-OP=26OP = 26. א. חשבו את שטח המרובע OAPBOAPB.

Show the answer and the solution

Answer: 240

Worked solution:

PA=262−102=24\begin{aligned}PA &= \sqrt{26^2 - 10^2} \\ &= 24\end{aligned}

פיתגורס במשולש OAPOAP — הזווית ב-AA ישרה

SOAP=10⋅242=120\begin{aligned}S_{OAP} &= \frac{10 \cdot 24}{2} \\ &= 120\end{aligned}

משולש ישר זווית

SOAPB=2⋅120=240\begin{aligned}S_{OAPB} &= 2 \cdot 120 \\ &= 240\end{aligned}

△OAP≅△OBP\triangle OAP \cong \triangle OBP

המלכודת: לחשב 10⋅262\frac{10 \cdot 26}{2}. הניצבים הם הרדיוס והמשיק; OPOP הוא היתר.

Check the answer on elev

Exercise 4

OPAB010096

המשך השאלה הקודמת (R=10R = 10, OP=26OP = 26, SOAPB=240S_{OAPB} = 240). ב. חשבו את אורך המיתר ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 18.46

Worked solution:

OP⊥ABOP \perp AB

OO ו-PP שתיהן על האנך האמצעי של ABAB

SOAPB=OP⋅AB2S_{OAPB} = \frac{OP \cdot AB}{2}

שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים

240=26⋅AB2240 = \frac{26 \cdot AB}{2}
AB=24013≈18.46AB = \frac{240}{13} \approx 18.46

המלכודת: לחפש זווית ולהשתמש בטריגונומטריה. השטח שחושב בסעיף א נותן את ABAB בשורה אחת — סעיפים בבגרות נשענים זה על זה.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCD09969.8

האם ייתכן מלבן שאינו ריבוע, שחוסם מעגל?

  1. כן — כל מלבן חוסם מעגל
  2. כן — כשהצלעות ביחס 1:21:2
  3. כן — כי במלבן האלכסונים שווים
  4. לא — במרובע חוסם AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA, ובמלבן זה נותן 2a=2b2a = 2b
Show the answer and the solution

Answer: D לא — במרובע חוסם AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA, ובמלבן זה נותן 2a=2b2a = 2b

Worked solution:

AB=CD=a BC=DA=b\begin{aligned}AB &= CD \\ &= a \\ \ BC &= DA \\ &= b\end{aligned}

צלעות נגדיות במלבן

a+a=b+b⇒a=b\begin{aligned}a + a &= b + b \Rightarrow a \\ &= b\end{aligned}

תנאי המרובע החוסם

⇒ריבוע\Rightarrow \text{ריבוע}

התשובה: «לא — במרובע חוסם AB+CD=BC+DAAB + CD = BC + DA, ובמלבן זה נותן 2a=2b2a = 2b». המלכודת: «כי האלכסונים שווים» — זו הסיבה שמלבן חסום במעגל, לא שהוא חוסם מעגל.

Check the answer on elev

Exercise 6

30°OABC010096

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 99, ו-∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. חשבו את BCBC.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

∠BOC=2⋅30∘=60∘\begin{aligned}\angle BOC &= 2 \cdot 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זווית מרכזית

OB=OC=9\begin{aligned}OB &= OC \\ &= 9\end{aligned}

רדיוסים

⇒BC=9\Rightarrow BC = 9

△BOC\triangle BOC שווה צלעות: משולש שווה שוקיים עם זווית ראש 60∘60^\circ

המלכודת: לחשוב שחסר נתון. משולש שווה שוקיים שזווית הראש שלו 60∘60^\circ הוא שווה צלעות.

Check the answer on elev

Exercise 7

3xx+10OPABC010096

PAPA ו-PBPB משיקים למעגל שמרכזו OO, ו-CC על הקשת הגדולה ABAB. נתון ∠APB=3x\angle APB = 3x ו-∠ACB=x+10\angle ACB = x + 10 (במעלות). מצאו את xx.

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

∠AOB=2(x+10)\angle AOB = 2(x + 10)

מרכזית כפולה מההיקפית

3x+2(x+10)=1803x + 2(x + 10) = 180

זווית בין משיקים משלימה את המרכזית

5x+20=180⇒x=32\begin{aligned}5x + 20 &= 180 \Rightarrow x \\ &= 32\end{aligned}
∠APB=96∘ ∠AOB=84∘\begin{aligned}\angle APB &= 96^\circ \\ \ \angle AOB &= 84^\circ\end{aligned}

בדיקה: 96+84=18096 + 84 = 180

המלכודת: 3x+(x+10)=1803x + (x + 10) = 180. ההיקפית אינה משלימה את זווית המשיקים — המרכזית משלימה.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCD010096

הוכיחו או הפריכו: אם ABAB ו-CDCD מיתרים מקבילים במעגל, אז AC=BDAC = BD (הקטעים שבין המיתרים שווים).

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

AB∥CDAB \parallel CD

ABDCABDC טרפז חסום במעגל: ארבעת הקודקודים על המעגל

∠CAB+∠ACD=180∘ ∠ABD+∠ACD=180∘\begin{aligned}\angle CAB + \angle ACD &= 180^\circ \\ \ \angle ABD + \angle ACD &= 180^\circ\end{aligned}

חד-צדדיות, ונגדיות במרובע חסום

∠CAB=∠ABD⇒AC=BD\begin{aligned}\angle CAB &= \angle ABD \Rightarrow AC \\ &= BD\end{aligned}

טרפז שזוויות הבסיס שלו שוות הוא שווה שוקיים

נכון: טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים. המלכודת: לסדר את הקודקודים ABCDABCD ולקבל מרובע מוצלב — הטרפז הוא ABDCABDC.

Check the answer on elev

Exercise 9

OACBD6688010096

הדלתון ABCDABCD (AB=AD=6AB = AD = 6, CB=CD=8CB = CD = 8) חסום במעגל. חשבו את רדיוס המעגל.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

△ABC≅△ADC⇒∠B=∠D\triangle ABC \cong \triangle ADC \Rightarrow \angle B = \angle D

צ.צ.צ — ACAC משותפת

∠B+∠D=180∘⇒∠B=90∘\begin{aligned}\angle B + \angle D &= 180^\circ \Rightarrow \angle B \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

AC=62+82=10\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר — ACAC קוטר

R=5R = 5

המלכודת: לחפש מרכז בנקודת מפגש האלכסונים. בדלתון הזה המרכז הוא אמצע האלכסון ACAC, כי ACAC קוטר.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABCD164010037.948

הטרפז שווה השוקיים ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC, AD=BCAD = BC) חוסם מעגל. הוכיחו כי השוק שווה לממוצע הבסיסים: AD=AB+CD2AD = \frac{AB + CD}{2}.

  • ABCDABCD טרפז, AB∥DCAB \parallel DC
  • AD=BCAD = BC
  • ABCDABCD חוסם מעגל

AD=AB+CD2AD = \frac{AB + CD}{2}

Show the answer and the solution
  1. AB+CD=AD+BCAB + CD = AD + BC — במרובע חוסם מעגל סכומי הצלעות הנגדיות שווים
  2. AD=BCAD = BC — נתון
  3. AB+CD=2ADAB + CD = 2AD — הצבה
  4. AD=AB+CD2AD = \frac{AB + CD}{2} — חילוק ב-22

Worked solution:

AB+CD=AD+BCAB + CD = AD + BC

במרובע חוסם מעגל סכומי הצלעות הנגדיות שווים

AD=BCAD = BC

נתון

AB+CD=2ADAB + CD = 2AD

הצבה

AD=AB+CD2AD = \frac{AB + CD}{2}

חילוק ב-22

המלכודת: לחבר צלעות סמוכות (AB+ADAB + AD). ובדוגמה שבשרטוט: 16+4=2016 + 4 = 20, והשוק 1010.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade