Tangents to a circle · The circle · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ישר ומעגל יכולים להיפגש בשתי נקודות (חותך), לא להיפגש כלל, או לגעת במעגל בנקודה אחת בלבד. ישר כזה נקרא משיק, והנקודה נקראת נקודת ההשקה.

הישר ST נוגע במעגל רק בנקודה A. הרדיוס OA יוצר איתו זווית ישרה.

OA \perp t

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

OA \perp t \text{ ,} A \in \text{מעגל} \Rightarrow t \text{ משיק}

המשפט ההפוך: ישר שמאונך לרדיוס בקצהו שעל המעגל הוא משיק.

רדיוס המעגל $6$ , ומנקודה $P$ שמרחקה מהמרכז $10$ יוצא משיק $PA$ . מהו אורך המשיק?

Show the answer and the solution

$8$ . המשולש $OAP$ ישר זווית ב- $A$ , והיתר הוא $OP$ : $PA = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ .

שני משיקים מנקודה אחת

מהנקודה P יוצאים שני משיקים, והם נוגעים במעגל ב-A וב-B.

Interactive activity

הוכיחו: $PA = PB$

מנקודה $P$ מחוץ למעגל שמרכזו $O$ יוצאים שני משיקים, הנוגעים במעגל בנקודות $A$ ו- $B$ . הוכיחו כי $PA = PB$ .

מה כדאי להוסיף לשרטוט?

את הרדיוסים $OA$ ו- $OB$ ואת הקטע $OP$ .

Show the answer and the solution

כן. נוצרים שני משולשים, $OAP$ ו- $OBP$ , שאפשר להשוות.

את המיתר $AB$ .

Show the answer and the solution

הוא יוצר את המשולש $PAB$ , אבל כדי להראות שהוא שווה שוקיים צריך בדיוק את מה שמבקשים להוכיח.

\triangle OAP \ ,\ \triangle OBP

שני משולשים עם צלע משותפת $OP$ .

מה ידוע על הזוויות ב- $A$ וב- $B$ ?

שתיהן ישרות — המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

Show the answer and the solution

כן. זה המשפט של תחילת היחידה.

הן שוות, כי בשרטוט הן נראות שוות.

Show the answer and the solution

שרטוט אינו נימוק. יש משפט שנותן את זה במדויק.

\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

רדיוס מאונך למשיק.

לפי איזה משפט המשולשים חופפים?

צ.צ.ז: $OP$ משותפת, $OA = OB$ , והזווית הישרה מול הצלע הגדולה $OP$ .

Show the answer and the solution

כן. במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה, ולכן זה משפט החפיפה הרביעי.

צ.ז.צ: $OA = OB$ , $OP$ משותפת, והזווית הישרה.

Show the answer and the solution

הזווית הישרה אינה בין $OA$ ל- $OP$ — היא מול $OP$ .

\triangle OAP \cong \triangle OBP \Rightarrow PA = PB

צלעות מתאימות במשולשים חופפים.

Show the answer and the solution

$PA = PB$ . ומאותה חפיפה יוצאות עוד שתי מסקנות: $OP$ חוצה את $\angle APB$ , ו- $OP$ חוצה את $\angle AOB$ .

Do the activity on elev

PA = PB

שני משיקים מנקודה אחת שווים באורכם.

\angle APO = \angle BPO

הקטע מהנקודה למרכז חוצה את הזווית שבין המשיקים.

\angle APB + \angle AOB = 180^\circ

במרובע $OAPB$ יש שתי זוויות ישרות, ולכן שתי האחרות משלימות ל- $180^\circ$ .

הזווית בין שני משיקים היא $\angle APB = 50^\circ$ . מהי הזווית המרכזית $\angle AOB$ ?

Show the answer and the solution

$130^\circ$ . במרובע $OAPB$ : $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ$ .

מרובע חוסם מעגל

כשכל ארבע הצלעות של מרובע משיקות למעגל, המרובע חוסם את המעגל. מכל קודקוד יוצאים שני משיקים — ולכן כל צלע מתפרקת לשני קטעים שכבר מכירים.

המרובע ABCD חוסם את המעגל. K, L, M, N נקודות ההשקה.

Interactive activity

למה סכומי הצלעות הנגדיות שווים?

AB + CD = BC + DA

לחצו «להתחיל». כל שורה משתמשת רק במשפט שני המשיקים.

\begin{aligned}AK &= AN \\ &= a\end{aligned}

שני משיקים מהקודקוד $A$ .

\begin{aligned}BK &= BL \\ &= b\end{aligned}

שני משיקים מ- $B$ .

\begin{aligned}CL &= CM \\ &= c \ \\ \ DM &= DN \\ &= d\end{aligned}

וכך גם מ- $C$ ומ- $D$ .

זוג 1

AB + CD = (a + b) + (c + d)

כל צלע היא סכום של שני קטעי משיקים.

זוג 2

BC + DA = (b + c) + (d + a)

אותם ארבעה קטעים בדיוק.

כל אחד מ- $a, b, c, d$ מופיע פעם אחת בכל סכום — ולכן שני הסכומים שווים.

Do the activity on elev

AB + CD = BC + DA

הזווית בין משיק למיתר

PQ משיק ב-A, ו-AB מיתר. הזווית שבין המשיק למיתר שווה לזווית ההיקפית ACB שבצד השני.

Interactive activity

הזווית בין משיק למיתר

\angle PAB = \angle ACB

לחצו «להתחיל». מחברים את המרכז, ומחפשים משולש שווה שוקיים.

\angle OAP = 90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס.

\begin{aligned}\angle OAB &= \angle OBA \\ &= \varphi\end{aligned}

$OA = OB$ — המשולש $OAB$ שווה שוקיים. מסמנים את זווית הבסיס ב- $\varphi$ .

\angle AOB = 180^\circ - 2\varphi

סכום זוויות במשולש $OAB$ .

\angle PAB = 90^\circ - \varphi

מה שנשאר מהזווית הישרה.

\begin{aligned}\angle ACB &= \tfrac{1}{2}\angle AOB \\ &= 90^\circ - \varphi\end{aligned}

זווית היקפית.

\begin{aligned}\angle PAB &= \angle ACB \\ &= \tfrac{1}{2}\angle AOB\end{aligned}

שתי הזוויות שוות.

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני — ושתיהן חצי מהזווית המרכזית.

Do the activity on elev

שני משיקים וזווית בין משיק למיתר

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל, ו- $\angle APB = 40^\circ$ . מצאו את $\angle PAB$ ואת הזווית ההיקפית $\angle ACB$ , כאשר $C$ על הקשת הגדולה.

\begin{aligned}PA &= PB \Rightarrow \angle PAB \\ &= \angle PBA\end{aligned}

שני משיקים — המשולש $PAB$ שווה שוקיים

\begin{aligned}\angle PAB &= \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש

\begin{aligned}\angle ACB &= \angle PAB \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר שווה להיקפית שמהצד השני

שלוש הטעויות של המשיקים.

\angle APB = \angle AOB

\angle APB = 180^\circ - \angle AOB

הזוויות משלימות: במרובע $OAPB$ יש שתי זוויות ישרות.

AB + BC = CD + DA

AB + CD = BC + DA

במרובע חוסם מחברים צלעות נגדיות, לא סמוכות.

\angle PAB = \angle AOB

\angle PAB = \tfrac{1}{2}\angle AOB

הזווית בין משיק למיתר מתנהגת כמו זווית היקפית: חצי מהמרכזית.

Exercises

Exercise 1

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ , ו- $OP = 13$ . חשבו את אורך המשיק $PA$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}PA^2 &= 13^2 - 5^2 \\ &= 144\end{aligned}

פיתגורס — היתר הוא $OP$

PA = 12

המלכודת: לחבר $13^2 + 5^2$ . הזווית הישרה ב- $A$ , ולכן $OP$ הוא היתר.

Check the answer on elev

Exercise 2

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , ו- $\angle APB = 64^\circ$ . חשבו את $\angle AOB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 116

Worked solution:

\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

רדיוס מאונך למשיק

\begin{aligned}\angle AOB &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע $OAPB$

המלכודת: לחשב $2 \cdot 64$ כאילו $P$ על המעגל. $P$ מחוץ למעגל — וזוויתו משלימה את המרכזית ל- $180^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

המרובע $ABCD$ חוסם מעגל. נתון $AB = 7$ , $BC = 9$ ו- $CD = 12$ . חשבו את $DA$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

AB + CD = BC + DA

במרובע חוסם מעגל סכומי הצלעות הנגדיות שווים

7 + 12 = 9 + DA

DA = 10

המלכודת: לחבר צלעות סמוכות ( $7 + 9 = 12 + DA$ ) ולקבל $4$ . מחברים נגדיות: $AB$ עם $CD$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

$AP$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ , ו- $AB$ מיתר. הזווית בין המשיק למיתר היא $\angle PAB = 38^\circ$ . חשבו את הזווית המרכזית $\angle AOB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 76

Worked solution:

\begin{aligned}\angle OAB &= 90^\circ - 38^\circ \\ &= 52^\circ\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס

\angle OBA = 52^\circ

$OA = OB$

\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 104^\circ \\ &= 76^\circ\end{aligned}

וזה בדיוק $2 \cdot 38^\circ$

המלכודת: לענות $38$ . הזווית בין משיק למיתר היא חצי מהזווית המרכזית, כמו זווית היקפית.

Check the answer on elev

Exercise 5

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל, ו- $\angle APB = 40^\circ$ . מהי $\angle PAB$ ?

$140^\circ$
$50^\circ$
$40^\circ$
$70^\circ$

Show the answer and the solution

Answer: D $70^\circ$

Worked solution:

PA = PB

שני משיקים מנקודה אחת

\begin{aligned}\angle PAB &= \angle PBA \\ &= \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים

התשובה: $70^\circ$ . $140^\circ$ היא הזווית המרכזית $\angle AOB$ , ו- $50^\circ$ מתקבלת מ- $90^\circ - 40^\circ$ בלי נימוק. המלכודת: לא לראות שהמשולש $PAB$ שווה שוקיים.

Check the answer on elev

Exercise 6

האם ייתכן שמרובע שצלעותיו לפי הסדר הן $AB = 4$ , $BC = 6$ , $CD = 9$ , $DA = 5$ חוסם מעגל?

כן — כל מרובע קמור חוסם מעגל
כן — כל צלע קצרה מסכום שלוש האחרות
לא — $4 + 9 \ne 6 + 5$
אי אפשר לדעת בלי הזוויות

Show the answer and the solution

Answer: C לא — $4 + 9 \ne 6 + 5$

Worked solution:

\begin{aligned}AB + CD &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned}

זוג נגדיות אחד

\begin{aligned}BC + DA &= 6 + 5 \\ &= 11\end{aligned}

הזוג השני

13 \ne 11

התנאי ההכרחי לא מתקיים

התשובה: «לא — $4 + 9 \ne 6 + 5$ ». בכל מרובע חוסם מעגל הסכומים שווים, ולכן מספיקה בדיקה אחת כדי לפסול. המלכודת: לחשוב שכל מרובע חוסם מעגל — רק מרובעים שבהם הסכומים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 7

מנקודה $P$ מחוץ למעגל שמרכזו $O$ יוצאים שני משיקים, הנוגעים במעגל ב- $A$ וב- $B$ . הוכיחו כי $PA = PB$ .

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל
$OA$ ו- $OB$ רדיוסים אל נקודות ההשקה

$PA = PB$

Show the answer and the solution

$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$ — המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$OA = OB$ — רדיוסים באותו מעגל
$OP = OP$ — צלע משותפת
$\triangle OAP \cong \triangle OBP$ — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
$PA = PB$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים

Worked solution:

\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

OA = OB

רדיוסים באותו מעגל

OP = OP

צלע משותפת

\triangle OAP \cong \triangle OBP

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

PA = PB

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

המלכודת: לנמק את החפיפה בצ.ז.צ. הזווית הישרה אינה בין $OA$ ל- $OP$ — היא מול $OP$ , הצלע הגדולה.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $BC = 12$ ו- $AC = 8$ . מעגל חסום במשולש נוגע בצלע $AB$ בנקודה $D$ . חשבו את $AD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}AD &= x \Rightarrow BD \\ &= 10 - x\end{aligned}

הנקודה $D$ על $AB$

\begin{aligned}BE &= BD \\ &= 10 - x \ \\ \ \ CE &= CF \\ &= AC - AF \\ &= 8 - x\end{aligned}

שני משיקים מכל קודקוד שווים ( $E$ על $BC$ , $F$ על $AC$ )

(10 - x) + (8 - x) = 12

הצלע $BC$ מורכבת מהמשיקים מ- $B$ ומ- $C$

\begin{aligned}18 - 2x &= 12 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

המלכודת: לחשוב ש- $D$ אמצע הצלע ( $AD = 5$ ). נקודת ההשקה נקבעת לפי שלוש הצלעות.

Check the answer on elev

Exercise 9

$AP$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ , $AB$ מיתר, ו- $C$ נקודה על הקשת שאינה בצד של $P$ . הוכיחו כי $\angle PAB = \angle ACB$ .

$AP$ משיק בנקודה $A$
$AB$ מיתר, $C$ על המעגל

$\angle PAB = \angle ACB$

Show the answer and the solution

$\angle OAP = 90^\circ$ — המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB$ — $\angle OAP$ מתפצלת ל- $\angle OAB$ ול- $\angle PAB$
$\angle OAB = \angle OBA$ — $OA = OB$ — זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים
$\angle AOB = 180^\circ - 2\angle OAB$ — סכום זוויות במשולש $OAB$
$\angle ACB = 90^\circ - \angle OAB$ — זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
$\angle PAB = \angle ACB$ — שתי הזוויות שוות לאותו ביטוי

Worked solution:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB

$\angle OAP$ מתפצלת ל- $\angle OAB$ ול- $\angle PAB$

\angle OAB = \angle OBA

$OA = OB$ — זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים

\angle AOB = 180^\circ - 2\angle OAB

סכום זוויות במשולש $OAB$

\angle ACB = 90^\circ - \angle OAB

זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

\angle PAB = \angle ACB

שתי הזוויות שוות לאותו ביטוי

המלכודת: לכתוב « $\angle PAB = \angle ACB$ כי שתיהן נשענות על $AB$ ». $\angle PAB$ אינה זווית היקפית — את השוויון צריך להוכיח דרך המרכז.

Check the answer on elev

Exercise 10

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ , הנקודה $A$ על המעגל. הנקודה $P$ מקיימת $AP = 12$ ו- $OP = 13$ . הוכיחו או הפריכו: $AP$ משיק למעגל.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}OA^2 + AP^2 &= 25 + 144 \\ &= 169 \\ &= OP^2\end{aligned}

בדיקה

\angle OAP = 90^\circ

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס

AP \perp OA \Rightarrow AP \text{ משיק}

ישר המאונך לרדיוס בקצהו שעל המעגל הוא משיק

נכון. זו הדרך להוכיח שישר הוא משיק: להראות שהוא מאונך לרדיוס בנקודה שעל המעגל. המלכודת: להניח את מה שמוכיחים — להתחיל מ« $AP$ משיק ולכן $90^\circ$ ».

Check the answer on elev

שני משיקים מנקודה אחת

מרובע חוסם מעגל

הזווית בין משיק למיתר

Exercises

Keep practising on elev