Cyclic quadrilateral

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מרובע שכל ארבעת קודקודיו נמצאים על מעגל נקרא מרובע חסום במעגל. כל אחת מזוויותיו היא זווית היקפית — ולכן כל מה שלמדנו על זוויות היקפיות עובד בו.

α180°−αABCD010096
המרובע ABCD חסום במעגל. הזווית A נשענת על הקשת BCD, והזווית C על הקשת BAD — ושתי הקשתות יחד הן המעגל כולו.

במרובע חסום ∠A=70∘\angle A = 70^\circ. מהי ∠C\angle C? ומה אפשר לומר על ∠B\angle B?

Show the answer and the solution

∠C=110∘\angle C = 110^\circ — הזווית הנגדית משלימה ל-180∘180^\circ. על ∠B\angle B אי אפשר לומר דבר בלי נתון נוסף: היא סמוכה ל-AA, לא נגדית לה.

המשפט ומאיפה הוא בא

∠A+∠C=180∘∠B+∠D=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 180^\circ \qquad \angle B + \angle D \\ &= 180^\circ\end{aligned}

במרובע חסום ∠A=70∘\angle A = 70^\circ, ∠B=100∘\angle B = 100^\circ ו-∠C=110∘\angle C = 110^\circ. מהי ∠D\angle D? ואיך בודקים את התשובה?

Show the answer and the solution

∠D=80∘\angle D = 80^\circ, כי ∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ. בדיקה: A+C=70+110=180A + C = 70 + 110 = 180 ✓, וסכום ארבע הזוויות 360∘360^\circ ✓.

מסקנה: הזווית החיצונית

מאריכים את הצלע BCBC מעבר ל-CC עד EE. הזווית ∠DCE\angle DCE צמודה ל-∠BCD\angle BCD, וגם ∠A\angle A משלימה את ∠BCD\angle BCD ל-180∘180^\circ. לכן: במרובע חסום, זווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שממול.

המשפט ההפוך — כך מוכיחים שמרובע חסום

אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ, אז המרובע חסום במעגל. זו הדרך המקובלת בבגרות להוכיח שאפשר להעביר מעגל דרך ארבע נקודות.

חסום⇒∠A+∠C=180∘\text{חסום} \Rightarrow \angle A + \angle C = 180^\circ

הכיוון הישיר — לחישוב זוויות.

∠A+∠C=180∘⇒חסום\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \text{חסום}

הכיוון ההפוך — להוכחה שקיים מעגל דרך ארבעת הקודקודים.

האם המרובע חסום?

במרובע ABCDABCD נתון ∠A=100∘\angle A = 100^\circ, ∠B=75∘\angle B = 75^\circ ו-∠C=80∘\angle C = 80^\circ. האם אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת קודקודיו?

∠D=360∘−100∘−75∘−80∘=105∘\begin{aligned}\angle D &= 360^\circ - 100^\circ - 75^\circ - 80^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע

∠A+∠C=100∘+80∘=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 100^\circ + 80^\circ \\ &= 180^\circ\end{aligned}

זוג הזוויות הנגדיות

⇒\Rightarrow

ABCDABCD חסום במעגל, לפי המשפט ההפוך. (וגם 75+105=18075 + 105 = 180, כמו שחייב להיות.)

האם כל מלבן חסום במעגל? והאם כל מעוין?

Show the answer and the solution

כל מלבן — כן: כל זוג זוויות נגדיות הוא 90∘+90∘90^\circ + 90^\circ, ומרכז המעגל הוא מפגש האלכסונים. מעוין — לא תמיד: זוויותיו הנגדיות שוות, ולכן סכומן 180∘180^\circ רק כשכולן ישרות — כלומר רק כשהמעוין הוא ריבוע.

מרובעים שחסומים תמיד: מלבן, ריבוע, טרפז שווה שוקיים. מקבילית חסומה במעגל היא בהכרח מלבן, וטרפז חסום במעגל הוא בהכרח שווה שוקיים.

שתי הטעויות של המרובע החסום.

∠A+∠B=180∘\angle A + \angle B = 180^\circ
∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

נגדיות, לא סמוכות. במרובע חסום אין קשר קבוע בין שתי זוויות סמוכות.

∠A=∠C⇒ABCD חסום\angle A = \angle C \Rightarrow ABCD \text{ חסום}
∠A+∠C=180∘⇒ABCD חסום\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow ABCD \text{ חסום}

שוויון של זוויות נגדיות אינו מספיק: במקבילית הן שוות, ורוב המקביליות אינן חסומות. הנתון שנדרש הוא סכום של 180∘180^\circ.

Exercises

Exercise 1

70°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠A=70∘\angle A = 70^\circ. חשבו את הזווית הנגדית ∠C\angle C.

Show the answer and the solution

Answer: 110

Worked solution:

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע חסום

∠C=180∘−70∘=110∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 70^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

המלכודת: לחשב את ∠B\angle B או את ∠D\angle D במקום. הנגדית ל-AA היא CC.

Check the answer on elev

Exercise 2

80°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠A=80∘\angle A = 80^\circ. מה אפשר לקבוע על ∠B\angle B?

  1. ∠B=100∘\angle B = 100^\circ
  2. אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף
  3. ∠B=80∘\angle B = 80^\circ
  4. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
Show the answer and the solution

Answer: B אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף

Worked solution:

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

המשפט מדבר על זוגות נגדיים

∠B ?\angle B \text{ ?}

AA ו-BB סמוכות — אין ביניהן קשר קבוע

התשובה: «אי אפשר לקבוע בלי נתון נוסף». המלכודת: 100∘100^\circ — להשלים ל-180∘180^\circ זווית שאינה נגדית.

Check the answer on elev

Exercise 3

70°100°110°?ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון ∠A=70∘\angle A = 70^\circ, ∠B=100∘\angle B = 100^\circ ו-∠C=110∘\angle C = 110^\circ. חשבו את ∠D\angle D.

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ

זוג נגדיות

∠D=180∘−100∘=80∘\begin{aligned}\angle D &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}
70∘+110∘=180∘ ✓70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \ \checkmark

בדיקה בזוג השני

המלכודת: להשלים את ∠C\angle C ולקבל 70∘70^\circ. הזווית הנגדית ל-DD היא BB.

Check the answer on elev

Exercise 4

95°85°ABCD09957.752

במרובע ABCDABCD נתון ∠A=95∘\angle A = 95^\circ ו-∠C=85∘\angle C = 85^\circ. האם אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת קודקודיו?

  1. רק אם המרובע מקבילית
  2. לא
  3. אי אפשר לדעת בלי ∠B\angle B
  4. כן — סכום זוג הזוויות הנגדיות 180∘180^\circ
Show the answer and the solution

Answer: D כן — סכום זוג הזוויות הנגדיות 180∘180^\circ

Worked solution:

∠A+∠C=95∘+85∘=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 95^\circ + 85^\circ \\ &= 180^\circ\end{aligned}

זוג נגדיות

⇒ABCD חסום\Rightarrow ABCD \text{ חסום}

המשפט ההפוך

התשובה: «כן — סכום זוג הזוויות הנגדיות 180∘180^\circ». המלכודת: לחשוב שצריך גם את ∠B\angle B. סכום הזוויות במרובע 360∘360^\circ, ולכן גם ∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ מעצמו.

Check the answer on elev

Exercise 5

3x2xABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ∠A=3x\angle A = 3x ו-∠C=2x\angle C = 2x (במעלות). מצאו את xx.

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

3x+2x=1803x + 2x = 180

זוויות נגדיות

5x=180⇒x=36\begin{aligned}5x &= 180 \Rightarrow x \\ &= 36\end{aligned}
∠A=108∘ ∠C=72∘\begin{aligned}\angle A &= 108^\circ \\ \ \angle C &= 72^\circ\end{aligned}

בדיקה

המלכודת: להשוות 3x=2x3x = 2x, כאילו הזוויות הנגדיות שוות. הן משלימות ל-180∘180^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. הוכיחו כי ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ.

  • AA, BB, CC, DD נמצאות כולן על המעגל

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

Show the answer and the solution
  1. ∠A=12 BCD⌢\angle A = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BCD} — זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת
  2. ∠C=12 BAD⌢\angle C = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BAD} — זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת
  3. BCD⌢+BAD⌢=360∘\overset{\frown}{BCD} + \overset{\frown}{BAD} = 360^\circ — שתי הקשתות יחד הן המעגל כולו
  4. ∠A+∠C=12⋅360∘\angle A + \angle C = \tfrac{1}{2} \cdot 360^\circ — חיבור שתי השורות הראשונות והצבת סכום הקשתות
  5. ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ — חישוב

Worked solution:

∠A=12 BCD⌢\angle A = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BCD}

זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת

∠C=12 BAD⌢\angle C = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{BAD}

זווית היקפית שווה לחצי הקשת שעליה היא נשענת

BCD⌢+BAD⌢=360∘\overset{\frown}{BCD} + \overset{\frown}{BAD} = 360^\circ

שתי הקשתות יחד הן המעגל כולו

∠A+∠C=12⋅360∘\angle A + \angle C = \tfrac{1}{2} \cdot 360^\circ

חיבור שתי השורות הראשונות והצבת סכום הקשתות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

חישוב

המלכודת: לכתוב «∠A=12AB⌢\angle A = \tfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}». הזווית ב-AA נשענת על הקשת שמולה, BCDBCD — זו שאינה עוברת דרך AA.

Check the answer on elev

Exercise 7

72°?ABCDE010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. מאריכים את הצלע BCBC מעבר ל-CC עד הנקודה EE, ו-∠DCE=72∘\angle DCE = 72^\circ. חשבו את ∠A\angle A.

Show the answer and the solution

Answer: 72

Worked solution:

∠BCD=180∘−72∘=108∘\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 72^\circ \\ &= 108^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות

∠A=180∘−108∘=72∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 108^\circ \\ &= 72^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

המלכודת: לענות 108108. הזווית החיצונית ב-CC שווה לזווית הפנימית שממול, ∠A\angle A.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCD010096

הוכיחו או הפריכו: כל מקבילית החסומה במעגל היא מלבן.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

∠A=∠C\angle A = \angle C

זוויות נגדיות במקבילית שוות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע חסום

2∠A=180∘⇒∠A=90∘\begin{aligned}2\angle A &= 180^\circ \Rightarrow \angle A \\ &= 90^\circ\end{aligned}

ומקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

נכון. המלכודת: להפוך את הכיוון. הטענה «כל מקבילית אפשר לחסום במעגל» אינה נכונה; רק מלבן.

Check the answer on elev

Exercise 9

118°?OABCD010096

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, והצלע ABAB היא קוטר. נתון ∠BCD=118∘\angle BCD = 118^\circ. חשבו את ∠ABD\angle ABD.

Show the answer and the solution

Answer: 28

Worked solution:

∠DAB=180∘−118∘=62∘\begin{aligned}\angle DAB &= 180^\circ - 118^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר ABAB

∠ABD=180∘−90∘−62∘=28∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 90^\circ - 62^\circ \\ &= 28^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש ABDABD

המלכודת: להשתמש רק במשפט אחד. כאן צריך שניים — נגדיות במרובע חסום, וזווית על קוטר — ואז משולש.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABCD09995.092

ABCDABCD טרפז שווה שוקיים: AB∥DCAB \parallel DC ו-AD=BCAD = BC. הוכיחו כי אפשר להעביר מעגל דרך ארבעת קודקודיו.

  • AB∥DCAB \parallel DC
  • AD=BCAD = BC

ABCDABCD חסום במעגל

Show the answer and the solution
  1. ∠A=∠B\angle A = \angle B — בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
  2. ∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ — זוויות חד-צדדיות בין הישרים המקבילים ABAB ו-DCDC
  3. ∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ — הצבה
  4. ABCDABCD חסום במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ חסום במעגל

Worked solution:

∠A=∠B\angle A = \angle B

בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ

זוויות חד-צדדיות בין הישרים המקבילים ABAB ו-DCDC

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

הצבה

⇒\Rightarrow

ABCDABCD חסום במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ חסום במעגל

המלכודת: להסתפק ב-∠B+∠C=180∘\angle B + \angle C = 180^\circ. אלה זוויות סמוכות; המשפט ההפוך דורש זוג נגדי, ולכן צריך את השוויון ∠A=∠B\angle A = \angle B.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade