Solving together · Investigating a polynomial and the antiderivative · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה עם קטע סגור, קריאה מגרף הנגזרת, פרמטרים, «האם ייתכן», ומציאת פונקציה מתוך הנגזרת שלה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומחכה לכם למטה בגרסה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בשורה הבאה. הפער בין התוכנית שלכם לשלב שמופיע — שם הלמידה.

1 — חקירה, קטע סגור ומספר פתרונות

Interactive activity

נתונה $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ . א. מצאו את נקודות הקיצון ואת סוגן. ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ג. מצאו את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של $f$ בקטע $-2 \le x \le 4$ . ד. עבור אילו ערכי $k$ למשוואה $f(x)=k$ שלושה פתרונות?

f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5

לחצו «להתחיל». סעיף א הוא הבסיס של כל השאר — שאר הסעיפים רק קוראים ממנו.

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x - 3)(x + 1)\end{aligned}

מוציאים $3$ ומפרקים את הטרינום.

חשודות

\begin{aligned}x &= -1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

השורשים של הנגזרת.

טבלה

\begin{aligned}f'(-2) &= 15 > 0 \\ \ \ f'(0) &= -9 < 0 \\ \ \ f'(4) &= 15 > 0\end{aligned}

נקודה אחת מכל תחום.

\max (-1,\,10) ,\quad \min (3,\,-22)

$f(-1)=-1-3+9+5=10$ ו- $f(3)=27-27-27+5=-22$ .

\nearrow: \ x < -1 \ \text{או} \ x > 3 \qquad \searrow: \ -1 < x < 3

נקרא ישר מהטבלה.

\begin{aligned}f(-2) &= 3 \\ \ f(-1) &= 10 \\ \ f(3) &= -22 \\ \ f(4) &= -15\end{aligned}

שתי החשודות בתוך הקטע, ושני הקצוות.

\begin{aligned}\max &= 10 \\ \quad \min &= -22\end{aligned}

כאן שני הערכים הקיצוניים יושבים בנקודות הקיצון, לא בקצוות.

-22 < k < 10

ישר אופקי ממש בין ערך המינימום לערך המקסימום חותך את הגרף שלוש פעמים.

סעיף ד אינו מוגבל לקטע: $f(x)=k$ נשאל על כל $x$ . ובקצוות $k=10$ ו- $k=-22$ יש רק שני פתרונות.

Do the activity on elev

ובקטע $0 \le x \le 4$ — מהו הערך הגדול ביותר של אותה $f$ ?

Show the answer and the solution

$5$ , ב- $x=0$ . המועמדים: $f(0)=5$ , $f(3)=-22$ , $f(4)=-15$ . החשודה $x=-1$ מחוץ לקטע ונפסלת — והפעם הקצה מנצח.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מגרף הנגזרת אל הפונקציה

גרף הנגזרת f′ — שאלה 2

Interactive activity

קוראים את $f$ מתוך גרף $f'$

בציור גרף הנגזרת $f'$ של פולינום $f$ : פרבולה החותכת את ציר $x$ ב- $-1$ וב- $3$ ואת ציר $y$ ב- $-3$ . א. מצאו את שיעורי ה- $x$ של נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן. ב. ידוע ש- $f(0)=1$ . מצאו את $f$ ואת ערך המקסימום.

מקסימום ב- $x=-1$ , וערכו $\frac{8}{3}$

מקסימום ב- $x=3$ , וערכו $-8$

מקסימום ב- $x=1$ , וערכו $-4$

מינימום ב- $x=-1$ , וערכו $\frac{8}{3}$

איפה בגרף מחפשים את נקודות הקיצון של $f$ ?

בקדקוד של הפרבולה

Show the answer and the solution

הקדקוד הוא הערך הקטן ביותר של הנגזרת — שם $f$ יורדת הכי מהר, אבל אין לה קיצון.

בנקודות שבהן הפרבולה חוצה את ציר $x$

Show the answer and the solution

כן: שם $f'=0$ והסימן מתחלף.

בנקודה שבה הפרבולה חותכת את ציר $y$

Show the answer and the solution

$f'(0)=-3$ הוא שיפוע, לא קיצון.

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

מה הסוג של $x=-1$ ?

מקסימום — משמאל הגרף מעל הציר, מימין מתחת

Show the answer and the solution

מעבר מ- $+$ ל- $-$ : $f$ עלתה ואז ירדה.

מינימום — כי הפרבולה יורדת שם

Show the answer and the solution

ירידה של $f'$ לא אומרת ש- $f$ יורדת. קובע רק הסימן של $f'$ .

\begin{aligned}x &= -1: \ + \to - \ (\max) \\ \qquad x &= 3: \ - \to + \ (\min)\end{aligned}

סעיף א.

איך מוצאים את $f$ עצמה?

כותבים את $f'$ מהגרף, ומוצאים פונקציה קדומה

Show the answer and the solution

הפרבולה ידועה משורשיה ומהחיתוך עם ציר $y$ .

אי אפשר — מגרף הנגזרת לא יודעים את $f$

Show the answer and the solution

את הגובה לא יודעים מהגרף לבדו — ובשביל זה נתון $f(0)=1$ .

\begin{aligned}f'(x) &= (x+1)(x-3) \\ &= x^2-2x-3 \ \Rightarrow\ f(x) \\ &= \frac{x^3}{3}-x^2-3x+C\end{aligned}

המקדם של $x^2$ הוא $1$ , כי $f'(0)=-3$ .

מה עושים עם $f(0)=1$ ?

מציבים $x=0$ ב- $f$ : $C=1$

Show the answer and the solution

כל האיברים עם $x$ מתאפסים.

מציבים $x=0$ ב- $f'$

Show the answer and the solution

הנתון הוא על $f$ , לא על הנגזרת.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-3x+1 \\ \quad f(-1) &= -\frac{1}{3}-1+3+1 \\ &= \frac{8}{3}\end{aligned}

ערך המקסימום.

Show the answer and the solution

מקסימום ב- $x=-1$ וערכו $\frac{8}{3}$ ; מינימום ב- $x=3$ וערכו $f(3)=9-9-9+1=-8$ .

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שני פרמטרים ונקודת קיצון

Interactive activity

נתונה $f(x)=x^3+ax^2+bx$ . ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $(1,\,-4)$ . א. מצאו את $a$ ואת $b$ . ב. קבעו את סוג הנקודה. ג. מצאו את נקודת הקיצון השנייה.

\begin{aligned}f(x) &= x^3 + ax^2 + bx \\ \quad f'(1) &= 0 \\ \quad f(1) &= -4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנתון «קיצון ב- $(1,\,-4)$ » הוא שתי משוואות.

משוואה 1

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 2ax + b \ \Rightarrow\ 3 + 2a + b \\ &= 0\end{aligned}

בקיצון הנגזרת מתאפסת.

משוואה 2

\begin{aligned}f(1) &= 1 + a + b \\ &= -4 \ \Rightarrow\ a + b \\ &= -5\end{aligned}

הנקודה על הגרף.

\begin{aligned}(2a + b) - (a + b) &= -3 - (-5) \ \Rightarrow\ a \\ &= 2 \\ \ b &= -7\end{aligned}

מחסרים — $b$ נעלם.

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 4x - 7 \\ &= (3x + 7)(x - 1)\end{aligned}

מפרקים את הנגזרת החדשה.

\begin{aligned}f'(0) &= -7 < 0 \\ \quad f'(2) &= 13 > 0\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : ב- $(1,\,-4)$ יש מינימום.

\begin{aligned}x &= -\frac{7}{3} \\ \quad f\left(-\frac{7}{3}\right) &= \frac{392}{27}\end{aligned}

השורש השני של הנגזרת; לפני $-\frac{7}{3}$ היא חיובית ואחריו שלילית — מקסימום.

הבדיקה בסעיף ב אינה קישוט: $f'(1)=0$ ו- $f(1)=-4$ קבעו את $a$ ואת $b$ , אבל אף אחת מהן לא מבטיחה החלפת סימן. רק הטבלה מבטיחה שיש שם קיצון.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»

Interactive activity

האם ייתכן קיצון?

נתונה $f(x)=x^3+3x^2+3x+c$ , כאשר $c$ פרמטר. האם ייתכן שעבור ערך מסוים של $c$ יש ל- $f$ נקודת קיצון? נמקו.

לא — לכל $c$ הנגזרת אינה מחליפה סימן

כן — ב- $x=-1$ , כי שם $f'=0$

כן — עבור $c=0$

תלוי בערך של $c$

במה תלויה הנגזרת?

היא אינה תלויה ב- $c$

Show the answer and the solution

הנגזרת של מספר קבוע היא אפס. $c$ רק מזיז את הגרף למעלה ולמטה.

היא תלויה ב- $c$

Show the answer and the solution

$c$ הוא איבר חופשי — בגזירה הוא נעלם.

f'(x) = 3x^2 + 6x + 3

אותה נגזרת לכל $c$ .

איך בודקים את סימן הנגזרת?

מפרקים: $3(x+1)^2$

Show the answer and the solution

גורם משותף $3$ , ובפנים ריבוע של סכום.

פותרים $f'(x)=0$ ומסיקים שיש קיצון

Show the answer and the solution

שורש של הנגזרת הוא רק חשוד. צריך לבדוק החלפת סימן.

f'(x) = 3(x + 1)^2 \ge 0

הנגזרת אינה שלילית לעולם.

מה המסקנה?

אין החלפת סימן — אין קיצון, לכל $c$

Show the answer and the solution

ב- $x=-1$ משיק אופקי בלבד; $f$ עולה לכל $x$ .

יש קיצון ב- $x=-1$

Show the answer and the solution

משני צדי $-1$ הנגזרת חיובית: $f'(-2)=3$ , $f'(0)=3$ .

\begin{aligned}f'(-2) &= 3 > 0 \\ \quad f'(0) &= 3 > 0\end{aligned}

אותו סימן משני הצדדים.

Show the answer and the solution

לא ייתכן. $f'(x)=3(x+1)^2 \ge 0$ לכל $x$ ולכל $c$ , והסימן אינו מתחלף. ל- $f$ יש משיק אופקי ב- $x=-1$ , אבל היא עולה לכל $x$ .

Do the activity on elev

הביאו דוגמה לערך של $m$ שעבורו ל- $g(x)=x^3+3x^2+mx$ יש שתי נקודות קיצון.

Show the answer and the solution

למשל $m=0$ : $g'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$ , שני שורשים פשוטים — מקסימום ב- $x=-2$ ומינימום ב- $x=0$ . באופן כללי $\Delta=36-12m>0$ , כלומר כל $m<3$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — מהנגזרת והמשיק אל הפונקציה

Interactive activity

לפונקציה $f$ נתונה הנגזרת $f'(x)=3x^2-4x+1$ . המשיק לגרף $f$ בנקודה שבה $x=2$ הוא $y=5x-7$ . א. מצאו את $f$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 4x + 1 \\ \quad y &= 5x - 7 \\ \quad x &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הישר $y = 5x - 7$ משיק לגרף ב- $x = 2$ . מה המשיק נותן לנו — השיפוע, הנקודה, או שניהם?

בדיקה

\begin{aligned}f'(2) &= 12 - 8 + 1 \\ &= 5\end{aligned}

השיפוע של המשיק מתאים לנגזרת — טוב.

הנקודה

\begin{aligned}y(2) &= 5 \cdot 2 - 7 \\ &= 3 \ \Rightarrow\ f(2) \\ &= 3\end{aligned}

נקודת ההשקה נמצאת גם על המשיק וגם על הגרף.

קדומה

f(x) = x^3 - 2x^2 + x + C

איבר-איבר.

\begin{aligned}f(2) &= 8 - 8 + 2 + C \\ &= 3 \ \Rightarrow\ C \\ &= 1\end{aligned}

$f(x)=x^3-2x^2+x+1$ .

\begin{aligned}f'(x) &= (3x - 1)(x - 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow\ x \\ &= \frac{1}{3} \\ \ x &= 1\end{aligned}

פרבולה פתוחה כלפי מעלה — שלילית בין השורשים.

\max\left(\frac{1}{3},\,\frac{31}{27}\right) ,\quad \min(1,\,1)

$f(1)=1-2+1+1=1$ .

הטעות הנפוצה: להציב $x=2$ ב- $f'$ ולקבל $5$ , ואז לכתוב $f(2)=5$ . $5$ הוא שיפוע; את הגובה נותנת משוואת המשיק.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=x^3+3x^2-9x-2$ . מהו הערך הקטן ביותר של $f$ בקטע $-4 \le x \le 2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -7

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2+6x-9 \\ &= 3(x+3)(x-1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

\begin{aligned}x &= -3 \\ \ x &= 1 \in [-4,\,2]\end{aligned}

שתי החשודות בתוך הקטע

\begin{aligned}f(-4) &= 18 \\ \ \ f(-3) &= 25 \\ \ \ f(1) &= -7 \\ \ \ f(2) &= 0\end{aligned}

ארבעה מועמדים

\begin{aligned}\min &= f(1) \\ &= -7\end{aligned}

הקטן ביותר

הקטן ביותר הוא $-7$ , במינימום המקומי. מי שבדק רק את הקצוות קיבל $0$ ; מי שלקח את הקטן מבין ערכי $x$ ענה $-4$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

גרף הנגזרת f′

בציור גרף הנגזרת $f'$ של פולינום $f$ : פרבולה פתוחה כלפי מטה, החותכת את ציר $x$ ב- $-2$ וב- $2$ ואת ציר $y$ ב- $4$ . ידוע ש- $f(0)=0$ . מהו ערך המקסימום המקומי של $f$ ?

$4$
$-\frac{16}{3}$
$2$
$\frac{16}{3}$

Show the answer and the solution

Answer: D $\frac{16}{3}$

Worked solution:

x=2: \ + \to -

מהגרף: המקסימום של $f$ ב- $x=2$

\begin{aligned}f'(x) &= -(x-2)(x+2) \\ &= -x^2+4\end{aligned}

המקדם $-1$ , כי $f'(0)=4$

\begin{aligned}f(x) &= -\frac{x^3}{3}+4x+C \\ \ \ f(0) &= 0 \Rightarrow C \\ &= 0\end{aligned}

פונקציה קדומה ונקודה

\begin{aligned}f(2) &= -\frac{8}{3}+8 \\ &= \frac{16}{3}\end{aligned}

ערך המקסימום

התשובה: $\frac{16}{3}$ . « $-\frac{16}{3}$ » הוא המינימום ב- $x=-2$ ; « $4$ » הוא הגובה של הנגזרת בקדקוד; « $2$ » הוא מקום המקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$ . ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $(-1,\,6)$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

\begin{aligned}f'(-1) &= 3-2a+b \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

\begin{aligned}f(-1) &= -1+a-b+1 \\ &= 6 \Rightarrow a-b \\ &= 6\end{aligned}

הנקודה על הגרף

\begin{aligned}b &= a-6 \Rightarrow 3-2a+a-6 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}b &= -9 \\ \ \ f'(x) &= 3(x-3)(x+1)\end{aligned}

בדיקה: סביב $-1$ מ- $+$ ל- $-$ , מקסימום

הזהירו מ- $(-1)^2=1$ ומ- $(-1)^3=-1$ : טעות סימן אחת ב- $f(-1)$ נותנת זוג $(a,\,b)$ שגוי שעדיין «נראה» פתיר.

Check the answer on elev

Exercise 4

לפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+12x$ יש נקודת קיצון.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+12 \\ &= 3(x-2)^2\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}f'(1) &= 3>0 \\ \ \ f'(3) &= 3>0\end{aligned}

אותו סימן משני צדי $x=2$

לא נכון. $f'(2)=0$ , אבל הנגזרת אינה מחליפה סימן: $f$ עולה לכל $x$ , ובנקודה $(2,\,8)$ יש רק משיק אופקי.

Check the answer on elev

Exercise 5

לפונקציה $f$ נתונה הנגזרת $f'(x)=3x^2-6x$ . המשיק לגרף $f$ בנקודה שבה $x=1$ הוא $y=-3x+5$ . מהו ערך המינימום המקומי של $f$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= -3+5 \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההשקה מהמשיק

\begin{aligned}f(x) &= x^3-3x^2+C \\ \ \ f(1) &= -2+C \\ &= 2 \Rightarrow C \\ &= 4\end{aligned}

פונקציה קדומה

\begin{aligned}f'(x) &= 3x(x-2):\ \min \ \text{ב-} x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}f(2) &= 8-12+4 \\ &= 0\end{aligned}

ערך המינימום

המינימום בגובה $0$ — הגרף משיק לציר $x$ . מי שהציב $f(1)=-3$ לקח את השיפוע של המשיק במקום את הגובה שלו.

Check the answer on elev

1 — חקירה, קטע סגור ומספר פתרונות

2 — מגרף הנגזרת אל הפונקציה

3 — שני פרמטרים ונקודת קיצון

4 — «האם ייתכן?»

5 — מהנגזרת והמשיק אל הפונקציה

Exercises

Keep practising on elev