Set 1 — easy

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: סימן הנגזרת ועלייה-ירידה, נקודות קיצון, קריאה מגרף הנגזרת, קטע סגור, פרמטר ופונקציה קדומה. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים מקום (xx) או ערך (yy)? ומדובר ב-ff או ב-f′f'? רוב הטעויות בסדרה הזאת הן תשובה נכונה לשאלה אחרת.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x2−6x+1f(x)=x^2-6x+1. באיזה ערך של xx יש ל-ff נקודת מינימום?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=2x−6f'(x)=2x-6

גוזרים

2x−6=0⇒x=3\begin{aligned}2x-6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

משווים לאפס

f′(2)=−2<0 f′(4)=2>0\begin{aligned}f'(2) &= -2<0 \\ \ f'(4) &= 2>0\end{aligned}

מ-−- ל-++ — מינימום

השאלה מבקשת את מקום המינימום, x=3x=3. ערך המינימום הוא f(3)=−8f(3)=-8 — תשובה לשאלה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 2

לפונקציה ff נתונה הנגזרת f′(x)=2x−8f'(x)=2x-8. באיזה תחום ff יורדת?

  1. x<8x<8
  2. x>−4x>-4
  3. x<4x<4
  4. x>4x>4
Show the answer and the solution

Answer: C x<4x<4

Worked solution:

2x−8<02x-8<0

ff יורדת כשהנגזרת שלילית

x<4x<4

פותרים

התשובה: x<4x<4. «x>4x>4» הוא תחום העלייה; «x<8x<8» שכח לחלק ב-22.

Check the answer on elev

Exercise 3

אם f′(x)>0f'(x)>0 לכל xx בקטע, אז f(x)>0f(x)>0 לכל xx בקטע.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x−10  0<x<5\begin{aligned}f(x) &= x-10 \\ \ \ 0<x<5\end{aligned}

דוגמה נגדית

f′(x)=1>0  f(1)=−9<0\begin{aligned}f'(x) &= 1>0 \\ \ \ f(1) &= -9<0\end{aligned}

עולה, ובכל זאת שלילית

לא נכון. סימן הנגזרת קובע את הכיוון — עלייה או ירידה — ולא את סימן הפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. מהו ערך המקסימום המקומי של ff?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-3 \\ &= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}

גוזרים

f′(−2)=9>0 f′(0)=−3<0\begin{aligned}f'(-2) &= 9>0 \\ \ f'(0) &= -3<0\end{aligned}

סביב x=−1x=-1: מ-++ ל-−-

f(−1)=−1+3=2\begin{aligned}f(-1) &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים ב-ff

ערך המקסימום 22. מי שענה −1-1 נתן את המקום; מי שענה 00 הציב בנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהן כל הפונקציות הקדומות של f(x)=8x3f(x)=8x^3?

  1. 2x4+C2x^4+C
  2. 24x2+C24x^2+C
  3. 8x4+C8x^4+C
  4. 8x43+C\frac{8x^4}{3}+C
Show the answer and the solution

Answer: A 2x4+C2x^4+C

Worked solution:

8⋅x44=2x48 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4

מעלים חזקה ומחלקים בחזקה החדשה

(2x4)′=8x3(2x^4)'=8x^3

בדיקה

התשובה: 2x4+C2x^4+C. «24x224x^2» היא הנגזרת; «8x48x^4» לא חילקה; «8x43\frac{8x^4}{3}» חילקה בחזקה הישנה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון f′(x)=2xf'(x)=2x ו-f(0)=5f(0)=5. חשבו את f(3)f(3).

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

f(x)=x2+Cf(x)=x^2+C

פונקציה קדומה

f(0)=C=5\begin{aligned}f(0) &= C \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה

f(3)=9+5=14\begin{aligned}f(3) &= 9+5 \\ &= 14\end{aligned}

מציבים

בלי CC התשובה הייתה 99 — נכונה רק לגרף שעובר בראשית.

Check the answer on elev

Exercise 7

גרף הנגזרת f′
-1012345-6-5-4-3-2-1123456xy

בציור גרף הנגזרת f′f' — ישר החותך את ציר xx ב-x=2x=2. מה יש ל-ff ב-x=2x=2?

  1. מינימום
  2. מקסימום
  3. נקודת חיתוך עם ציר xx
  4. אין קיצון
Show the answer and the solution

Answer: B מקסימום

Worked solution:

x<2: f′>0x<2: \ f'>0

משמאל הישר מעל הציר

x>2: f′<0x>2: \ f'<0

מימין מתחת

+→−+ \to -

עלייה ואז ירידה

התשובה: מקסימום. הישר יורד, אבל זה לא אומר ש-ff יורדת: קובע רק הסימן. ו-f(2)f(2) כלל אינו ידוע.

Check the answer on elev

Exercise 8

לפונקציה f(x)=x2+axf(x)=x^2+ax יש מינימום ב-x=3x=3. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: -6

Worked solution:

f′(x)=2x+af'(x)=2x+a

גוזרים

f′(3)=6+a=0\begin{aligned}f'(3) &= 6+a \\ &= 0\end{aligned}

בקיצון הנגזרת מתאפסת

a=−6a=-6

פותרים

הסימן: 6+a=06+a=0 נותן a=−6a=-6, לא 66.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל נתון על הנגזרת את המסקנה על ff.

  • f′>0f'>0 בקטע
  • f′<0f'<0 בקטע
  • f′f' עוברת מ-++ ל-−-
  • f′f' עוברת מ-−- ל-++
  • ff יורדת בקטע
  • ff עולה בקטע
  • נקודת מינימום
  • נקודת מקסימום
Show the answer and the solution

Answer: f′>0f'>0 בקטע — ff עולה בקטע · f′<0f'<0 בקטע — ff יורדת בקטע · f′f' עוברת מ-++ ל-−- — נקודת מקסימום · f′f' עוברת מ-−- ל-++ — נקודת מינימום

Worked solution:

+→−: ↗↘+ \to - : \ \nearrow \searrow

עלייה ואז ירידה — פסגה

−→+: ↘↗- \to + : \ \searrow \nearrow

ירידה ואז עלייה — שפל

המלכודת היא להפוך את שני המעברים. דמיינו את הגרף: עלה ואז ירד — פסגה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע 0≤x≤30 \le x \le 3?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=2x−2=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 2x-2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

החשודה — מינימום של הפרבולה

f(0)=0  f(1)=−1  f(3)=3\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ \ f(1) &= -1 \\ \ \ f(3) &= 3\end{aligned}

הקצוות והחשודה

max⁡=f(3)=3\begin{aligned}\max &= f(3) \\ &= 3\end{aligned}

בקצה

לפרבולה הזאת אין מקסימום מקומי כלל, ובכל זאת בקטע סגור יש ערך גדול ביותר — בקצה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade