Set 3 — challenging

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שבהן הדרך הקצרה מטעה: שורש כפול של הנגזרת, קצה של קטע שמנצח את הקיצון, פרמטר שנמצא דרך ערך הקיצון, והוכחה.

כאן כדאי לעצור לפני כל תשובה ולשאול: האם בדקתי החלפת סימן? האם בדקתי את הקצוות? שתי השאלות האלה שוות את רוב הנקודות.

Exercises

Exercise 1

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)=3x4−4x3f(x)=3x^4-4x^3?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=12x3−12x2=12x2(x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 12x^3-12x^2 \\ &= 12x^2(x-1)\end{aligned}

גוזרים ומוציאים גורם משותף

f′(−1)=−24<0 f′(0.5)=−1.5<0\begin{aligned}f'(-1) &= -24<0 \\ \ f'(0.5) &= -1.5<0\end{aligned}

סביב x=0x=0 אין החלפת סימן

f′(0.5)<0 f′(2)=48>0\begin{aligned}f'(0.5)<0 \\ \ f'(2) &= 48>0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מינימום

יש אחת — מינימום ב-x=1x=1. הגורם x2x^2 מתאפס ב-00 בלי להחליף סימן, ולכן x=0x=0 אינו קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 2

גרף הפונקציה f
-101-112xy

בציור גרף הפונקציה ff. יש לה מינימום ב-x=−1x=-1 וב-x=1x=1 ומקסימום ב-x=0x=0. באיזה תחום f′(x)>0f'(x)>0?

  1. x>0x>0
  2. x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1
  3. x<−1.4x<-1.4 או x>1.4x>1.4
  4. −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1
Show the answer and the solution

Answer: D −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1

Worked solution:

f′>0  ⟺  f עולהf'>0 \iff f \ \text{עולה}

מחפשים בגרף את תחומי העלייה

−1<x<0,x>1-1<x<0 ,\quad x>1

מהשפל לפסגה, ומהשפל הימני והלאה

התשובה: −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1. «x<−1.4x<-1.4 או x>1.4x>1.4» הם בערך התחומים שבהם ff חיובית — סימן הפונקציה, לא סימן הנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x3−3ax2+4f(x)=x^3-3ax^2+4, כאשר a>0a>0. ערך המינימום המקומי של ff הוא 00. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=3x2−6ax=3x(x−2a)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6ax \\ &= 3x(x-2a)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

a>0:  min⁡ ב-x=2aa>0:\ \ \min \ \text{ב-} x=2a

מ-−- ל-++ סביב 2a2a

f(2a)=8a3−12a3+4=4−4a3\begin{aligned}f(2a) &= 8a^3-12a^3+4 \\ &= 4-4a^3\end{aligned}

מציבים

4−4a3=0⇒a=1\begin{aligned}4-4a^3 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

פותרים

המינימום ב-x=2ax=2a, לא ב-x=ax=a. ב-x=0x=0 יש מקסימום, וערכו 44 — הוא לא תלוי ב-aa ולא יכול להתאפס.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון f′(x)=3x2−12f'(x)=3x^2-12. ערך המקסימום המקומי של ff הוא 2020. מהו ערך המינימום המקומי של ff?

Show the answer and the solution

Answer: -12

Worked solution:

f(x)=x3−12x+Cf(x)=x^3-12x+C

פונקציה קדומה

x=−2: +→−x=-2: \ + \to -

המקסימום ב-x=−2x=-2

f(−2)=16+C=20⇒C=4\begin{aligned}f(-2) &= 16+C \\ &= 20 \Rightarrow C \\ &= 4\end{aligned}

ערך המקסימום נותן את CC

f(2)=8−24+4=−12\begin{aligned}f(2) &= 8-24+4 \\ &= -12\end{aligned}

המינימום

הקיצונים במקומם עוד לפני ש-CC ידוע. CC מזיז את שניהם באותה מידה: ההפרש ביניהם תמיד 3232.

Check the answer on elev

Exercise 5

אם ב-x0x_0 יש לפונקציה ff נקודת מקסימום מקומי, אז f(x0)f(x_0) הוא הערך הגדול ביותר של ff בכל קטע סגור שמכיל את x0x_0.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x3−3x  [−2, 3]\begin{aligned}f(x) &= x^3-3x \\ \ \ [-2,\,3]\end{aligned}

דוגמה נגדית

f(−1)=2f(3)=18\begin{aligned}f(-1) &= 2 \\ \quad f(3) &= 18\end{aligned}

בקצה הערך גדול יותר

לא נכון. מקסימום מקומי גדול רק מהערכים הקרובים אליו. בקטע סגור צריך להשוות גם לקצוות.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^3-6x^2+9x. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע 0≤x≤50 \le x \le 5?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

החשודות בתוך הקטע

f(0)=0 f(1)=4 f(3)=0 f(5)=20\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(1) &= 4 \\ \ f(3) &= 0 \\ \ f(5) &= 20\end{aligned}

ארבעה מועמדים

max⁡=f(5)=20\begin{aligned}\max &= f(5) \\ &= 20\end{aligned}

בקצה

המקסימום המקומי f(1)=4f(1)=4 קטן בהרבה מהערך בקצה. f(5)=125−150+45=20f(5)=125-150+45=20.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x3−3x2+kf(x)=x^3-3x^2+k. עבור אילו ערכי kk יש ל-ff בדיוק שני שורשים?

  1. k=0k=0 או k=4k=4
  2. k<0k<0 או k>4k>4
  3. k=4k=4 בלבד
  4. 0<k<40<k<4
Show the answer and the solution

Answer: A k=0k=0 או k=4k=4

Worked solution:

max⁡=f(0)=kmin⁡=f(2)=k−4\begin{aligned}\max &= f(0) \\ &= k \\ \quad \min &= f(2) \\ &= k-4\end{aligned}

הקיצונים

k=0 או k−4=0\begin{aligned}k &= 0 \ \text{או} \ k-4 \\ &= 0\end{aligned}

שני שורשים: אחד הקיצונים נוגע בציר

התשובה: k=0k=0 או k=4k=4. «0<k<40<k<4» נותן שלושה שורשים; «k<0k<0 או k>4k>4» — שורש אחד. ומי שבחר «k=4k=4 בלבד» שכח את המקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 8

סדרו את שלבי מציאת הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של פולינום בקטע סגור.

  • בודקים אילו נקודות חשודות נמצאות בתוך הקטע
  • גוזרים ומשווים את הנגזרת לאפס
  • מציבים ב-ff את החשודות שבתוך הקטע
  • מציבים ב-ff את שני קצוות הקטע
  • משווים את כל הערכים שהתקבלו
Show the answer and the solution

Answer: גוזרים ומשווים את הנגזרת לאפס · בודקים אילו נקודות חשודות נמצאות בתוך הקטע · מציבים ב-ff את החשודות שבתוך הקטע · מציבים ב-ff את שני קצוות הקטע · משווים את כל הערכים שהתקבלו

Worked solution:

f′=0→[a, b]→f(xi)→f(a) f(b)→השוואה\begin{aligned}f' &= 0 \to [a,\,b] \to f(x_i) \to f(a) \\ \ f(b) \to \text{השוואה}\end{aligned}

חמשת השלבים

בדיקת השייכות לקטע באה לפני ההצבה — חשודה מחוץ לקטע עלולה לתת ערך «מנצח» שאינו חלק מהשאלה.

Check the answer on elev

Exercise 9

גרף הנגזרת f′
-101234-4-3-2-1123456xy

בציור גרף הנגזרת f′f' — ישר העובר בנקודות (0, −2)(0,\,-2) ו-(1, 0)(1,\,0). ידוע ש-f(1)=−3f(1)=-3. חשבו את f(3)f(3).

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=2x−2f'(x)=2x-2

שיפוע 22, חותך את ציר yy ב-−2-2

f(x)=x2−2x+Cf(x)=x^2-2x+C

פונקציה קדומה

f(1)=−1+C=−3⇒C=−2\begin{aligned}f(1) &= -1+C \\ &= -3 \Rightarrow C \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה

f(3)=9−6−2=1\begin{aligned}f(3) &= 9-6-2 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

קודם כותבים את משוואת הישר של הנגזרת, ורק אז פונקציה קדומה. מי שקרא מהגרף «f(3)=4f(3)=4» קרא את f′(3)f'(3).

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=−x3−3x+2f(x)=-x^3-3x+2. הוכיחו כי ff יורדת לכל xx.

  • f(x)=−x3−3x+2f(x)=-x^3-3x+2

ff יורדת לכל xx

Show the answer and the solution
  1. f′(x)=−3x2−3f'(x)=-3x^2-3 — גזירה איבר-איבר
  2. −3x2≤0-3x^2 \le 0 לכל xx — ריבוע אינו שלילי, והכפל ב-−3-3 הופך את הסימן
  3. f′(x)≤−3<0f'(x) \le -3 < 0 לכל xx — מחסרים 33 משני האגפים
  4. ff יורדת לכל xx — נגזרת שלילית בכל תחום — הפונקציה יורדת בו
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade