Set 4 — advanced

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שמשלבות שני רעיונות של הפרק בשאלה אחת: פרמטר עם קטע סגור, פונקציה קדומה עם משיק, גרף נגזרת עם שורש כפול, ומשוואה f(x)=kf(x)=k לפולינום ממעלה רביעית.

כתבו בטיוטה מה כל נתון אומר לפני שמחשבים: «קיצון» — f′=0f'=0; «עובר בנקודה» — f(x0)=y0f(x_0)=y_0; «משיק אופקי» — גם וגם. שם נקבעות המשוואות.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x3+ax2+bf(x)=x^3+ax^2+b. ל-ff יש נקודת מינימום ב-(2, −1)(2,\,-1). מצאו את bb.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(2)=12+4a=0⇒a=−3\begin{aligned}f'(2) &= 12+4a \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

f(2)=8−12+b=−1⇒b=3\begin{aligned}f(2) &= 8-12+b \\ &= -1 \Rightarrow b \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה על הגרף

f′(x)=3x(x−2): −→+f'(x)=3x(x-2):\ - \to +

בדיקה: אכן מינימום

מהנגזרת לבדה אי אפשר למצוא את bb — הוא נעלם בגזירה. לכן הגובה −1-1 חיוני.

Check the answer on elev

Exercise 2

גרף הנגזרת f′
-2-10123-16-14-12-10-8-6-4-2246810xy

בציור גרף הנגזרת f′(x)=(x+1)2(2−x)f'(x)=(x+1)^2(2-x). הגרף נוגע בציר xx ב-x=−1x=-1 וחוצה אותו ב-x=2x=2. איזה תיאור של ff נכון?

  1. מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=2x=2
  2. יש ל-ff מקסימום יחיד, ב-x=2x=2
  3. אין ל-ff נקודות קיצון
  4. מקסימום ב-x=−1x=-1 ומינימום ב-x=2x=2
Show the answer and the solution

Answer: B יש ל-ff מקסימום יחיד, ב-x=2x=2

Worked solution:

x<−1: f′>0,−1<x<2: f′>0x<-1: \ f'>0 ,\quad -1<x<2: \ f'>0

נגיעה ב-−1-1 — אין החלפת סימן

x>2: f′<0x>2: \ f'<0

ב-22 מ-++ ל-−-: מקסימום

התשובה: מקסימום יחיד, ב-x=2x=2. ב-x=−1x=-1 הנגזרת מתאפסת בלי להחליף סימן — משיק אופקי בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x4−8x2f(x)=x^4-8x^2. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=−10f(x)=-10?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f′(x)=4x(x−2)(x+2)f'(x)=4x(x-2)(x+2)

שלוש חשודות

min⁡=f(±2)=−16max⁡=f(0)=0\begin{aligned}\min &= f(\pm2) \\ &= -16 \\ \quad \max &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

שני שפלים ופסגה אחת

−16<−10<0-16<-10<0

הישר חוצה כל אחד משני ה«עמקים» פעמיים

ארבעה. בפולינום ממעלה רביעית עם שני מינימומים, ישר אופקי בין המינימום למקסימום חותך ארבע פעמים — לא שלוש.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון f′(x)=6x−6f'(x)=6x-6. הישר y=−3y=-3 משיק לגרף ff. חשבו את f(3)f(3).

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

f′(x)=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

משיק אופקי — בנקודה שבה הנגזרת אפס

f(1)=−3f(1)=-3

נקודת ההשקה על הישר y=−3y=-3

f(x)=3x2−6x+C  f(1)=−3+C=−3⇒C=0\begin{aligned}f(x) &= 3x^2-6x+C \\ \ \ f(1) &= -3+C \\ &= -3 \Rightarrow C \\ &= 0\end{aligned}

פונקציה קדומה

f(3)=27−18=9\begin{aligned}f(3) &= 27-18 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים

המשפט «y=−3y=-3 משיק» נותן גם את מקום ההשקה (שיפוע 00) וגם את הגובה. מי שהציב f(0)=−3f(0)=-3 ניחש את המקום.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=ax3−3xf(x)=ax^3-3x, כאשר a≠0a \ne 0. עבור אילו ערכי aa אין ל-ff נקודות קיצון?

  1. a≥0a \ge 0
  2. a>0a>0
  3. אין ערך כזה
  4. a<0a<0
Show the answer and the solution

Answer: D a<0a<0

Worked solution:

f′(x)=3ax2−3f'(x)=3ax^2-3

גוזרים

f′=0  ⟺  x2=1a\begin{aligned}f' &= 0 \iff x^2 \\ &= \frac{1}{a}\end{aligned}

פתרון רק כש-a>0a>0

a<0⇒f′(x)<0 לכל xa<0 \Rightarrow f'(x)<0 \ \text{לכל} \ x

יורדת תמיד

התשובה: a<0a<0. אז 3ax2≤03ax^2 \le 0 ולכן f′(x)≤−3f'(x) \le -3: הפונקציה יורדת לכל xx. «a≥0a \ge 0» כולל את a=0a=0, שהוחרג בשאלה.

Check the answer on elev

Exercise 6

ייתכן שגרף הנגזרת f′f' הוא ישר עולה, ושל-ff יש נקודת מקסימום.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=mx+n m>0\begin{aligned}f'(x) &= mx+n \\ \ m>0\end{aligned}

ישר עולה חוצה את הציר פעם אחת

−→+- \to +

משמאל לחיתוך שלילי, מימינו חיובי — מינימום

לא ייתכן. ישר עולה עובר ממינוס לפלוס, ולכן ל-ff יש מינימום בלבד. ff היא פרבולה פתוחה כלפי מעלה.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. בקטע 0≤x≤a0 \le x \le a, כאשר a>1a>1, הערך הגדול ביותר של ff הוא 1818. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(0)=0  f(1)=−2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ \ f(1) &= -2\end{aligned}

מועמדים שלא יכולים לתת 1818

f(a)=a3−3a=18\begin{aligned}f(a) &= a^3-3a \\ &= 18\end{aligned}

הערך הגדול ביותר — בקצה aa

a3−3a−18=(a−3)(a2+3a+6)=0\begin{aligned}a^3-3a-18 &= (a-3)(a^2+3a+6) \\ &= 0\end{aligned}

מפרקים

a=3a=3

לגורם הריבועי אין שורשים

ב-a>1a>1 הפונקציה עולה מ-x=1x=1 והלאה, ולכן הערך הגדול ביותר בקטע הוא בקצה הימני. ניחוש a=3a=3 מותר רק אם מאמתים אותו.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2, עם מקסימום (0, 0)(0,\,0) ומינימום (2, −4)(2,\,-4). מיינו את המשוואות.

  • פתרון אחד
  • יותר מפתרון אחד
  • f(x)=−1f(x)=-1
  • f(x)=−2f(x)=-2
  • f(x)=−4f(x)=-4
  • f(x)=−5f(x)=-5
  • f(x)=0f(x)=0
  • f(x)=1f(x)=1
Show the answer and the solution

Answer: f(x)=1f(x)=1 — פתרון אחד · f(x)=−5f(x)=-5 — פתרון אחד · f(x)=−2f(x)=-2 — יותר מפתרון אחד · f(x)=0f(x)=0 — יותר מפתרון אחד · f(x)=−4f(x)=-4 — יותר מפתרון אחד · f(x)=−1f(x)=-1 — יותר מפתרון אחד

Worked solution:

k>0 או k<−4: 1k>0 \ \text{או} \ k<-4: \ 1

מעל המקסימום או מתחת למינימום

k=0 −4: 2−4<k<0: 3\begin{aligned}k &= 0 \\ \ -4: \ 2 \qquad -4<k<0: \ 3\end{aligned}

בגובה קיצון או ביניהם

המלכודת היא k=0k=0 ו-k=−4k=-4: שם שני פתרונות, לא אחד. הישר נוגע בקיצון וחוצה את הגרף במקום נוסף.

Check the answer on elev

Exercise 9

לפונקציה f(x)=x3+x2+axf(x)=x^3+x^2+ax יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מהו ערך ff בנקודה זו?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

f′(x)=3x2+2x+a  f′(1)=5+a=0\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2+2x+a \\ \ \ f'(1) &= 5+a \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

a=−5a=-5

פותרים

f(1)=1+1−5=−3\begin{aligned}f(1) &= 1+1-5 \\ &= -3\end{aligned}

מציבים ב-ff עם a=−5a=-5

קודם aa, אחר כך הגובה. מי שהציב x=1x=1 ב-ff לפני שמצא את aa נשאר עם 2+a2+a ביד.

Check the answer on elev

Exercise 10

תלמיד חיפש את ff כש-f′(x)=3x2−2xf'(x)=3x^2-2x ו-f(2)=4f(2)=4. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(x)=x3−2x2+Cf(x) = x^3 - 2x^2 + C
f(2)=8−4+Cf(2) = 8 - 4 + C
4+C=44 + C = 4
C=0C = 0
Show the answer and the solution

Answer: f(x)=x3−2x2+Cf(x) = x^3 - 2x^2 + C → f(x)=x3−x2+Cf(x) = x^3 - x^2 + C

Worked solution:

−2x→−2x22=−x2-2x \to -\frac{2x^2}{2} = -x^2

מחלקים בחזקה החדשה

f(x)=x3−x2f(x)=x^3-x^2

התוצאה

בשורה הראשונה −2x-2x הפך ל-−2x2-2x^2 בלי חילוק ב-22. השורות שאחריה נכתבו כבר עם −x2-x^2 הנכון — לכן רק היא שגויה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade