Set 5 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בנוסח הבגרות. חלקן בנויות כזוג: אותה פונקציה בשני סעיפים. כל שאלה מבקשת את הסעיף האחרון, אבל אי אפשר להגיע אליו בלי הקודמים.

בבגרות כותבים נימוק לכל מסקנה: «מקסימום, כי הנגזרת עוברת מ-++ ל-−-». כתבו אותו גם כאן, בטיוטה — הוא מה שתופס את הטעות לפני שהיא עולה נקודות.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−2f(x)=x^3-6x^2+9x-2. א. מצאו את נקודות הקיצון של ff. ב. מהו הערך הקטן ביותר של ff בקטע −1≤x≤4-1 \le x \le 4? (הקלידו את התשובה לסעיף ב.)

Show the answer and the solution

Answer: -18

Worked solution:

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

גוזרים

max⁡(1, 2),min⁡(3, −2)\max(1,\,2) ,\quad \min(3,\,-2)

סעיף א

f(−1)=−1−6−9−2=−18  f(4)=2\begin{aligned}f(-1) &= -1-6-9-2 \\ &= -18 \\ \ \ f(4) &= 2\end{aligned}

הקצוות

min⁡=f(−1)=−18\begin{aligned}\min &= f(-1) \\ &= -18\end{aligned}

סעיף ב

הערך הקטן ביותר בקטע הוא −18-18, בקצה x=−1x=-1 — לא המינימום המקומי −2-2. בלי הצבת הקצוות מפספסים אותו.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−2f(x)=x^3-6x^2+9x-2 (אותה פונקציה). עבור אילו ערכי kk למשוואה f(x)=kf(x)=k יש שלושה פתרונות?

  1. −2≤k≤2-2 \le k \le 2
  2. 1<k<31<k<3
  3. −2<k<2-2<k<2
  4. −18<k<2-18<k<2
Show the answer and the solution

Answer: C −2<k<2-2<k<2

Worked solution:

max⁡=2min⁡=−2\begin{aligned}\max &= 2 \\ \quad \min &= -2\end{aligned}

ערכי הקיצון מסעיף א

−2<k<2-2<k<2

ממש ביניהם

התשובה: −2<k<2-2<k<2. «−18<k<2-18<k<2» ערבב את הערך בקצה הקטע, אבל המשוואה נשאלת על כל xx. «1<k<31<k<3» לקח את מקומות הקיצון במקום ערכיהם.

Check the answer on elev

Exercise 3

גרף הפונקציה f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^3+ax^2+bx+c חותך את ציר yy בנקודה (0, 1)(0,\,1), ויש לו נקודת קיצון ב-(2, −3)(2,\,-3). מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

f(0)=c=1\begin{aligned}f(0) &= c \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך עם ציר yy

f′(2)=12+4a+b=0\begin{aligned}f'(2) &= 12+4a+b \\ &= 0\end{aligned}

הקיצון

f(2)=8+4a+2b+1=−3⇒2a+b=−6\begin{aligned}f(2) &= 8+4a+2b+1 \\ &= -3 \Rightarrow 2a+b \\ &= -6\end{aligned}

הנקודה

(4a+b)−(2a+b)=−12+6⇒a=−3 b=0\begin{aligned}(4a+b)-(2a+b) &= -12+6 \Rightarrow a \\ &= -3 \\ \ b &= 0\end{aligned}

מחסרים

שלושה נעלמים — שלוש משוואות. והבדיקה: f(x)=x3−3x2+1f(x)=x^3-3x^2+1, f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2), ב-x=2x=2 מינימום ✓.

Check the answer on elev

Exercise 4

גרף הנגזרת f′
-2-101234-5-4-3-2-112345xy

בציור גרף הנגזרת f′f': פרבולה פתוחה כלפי מטה, החותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-33, וקדקודה ב-x=1x=1. איזו טענה על ff נכונה?

  1. ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=3x=3
  2. ל-ff יש מקסימום ב-x=1x=1
  3. f(3)<f(0)f(3)<f(0)
  4. ff עולה בתחום x>3x>3
Show the answer and the solution

Answer: A ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=3x=3

Worked solution:

x<−1:−,  −1<x<3:+,  x>3:−x<-1: -,\ \ -1<x<3: +,\ \ x>3: -

הסימנים מהגרף

min⁡:x=−1max⁡:x=3\begin{aligned}\min: x &= -1 \\ \quad \max: x &= 3\end{aligned}

המעברים

0<3, f↗⇒f(0)<f(3)0<3,\ f \nearrow \Rightarrow f(0)<f(3)

ולכן f(3)<f(0)f(3)<f(0) שגוי

התשובה: מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=3x=3. הקדקוד ב-x=1x=1 הוא הנקודה שבה ff עולה הכי מהר — לא קיצון שלה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון f′(x)=6x2−6f'(x)=6x^2-6. ערך המינימום המקומי של ff הוא −1-1. מהו ערך המקסימום המקומי של ff?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

f(x)=2x3−6x+Cf(x)=2x^3-6x+C

פונקציה קדומה

x=1: −→+ (min⁡)x=−1: +→− (max⁡)\begin{aligned}x &= 1: \ - \to + \ (\min) \\ \quad x &= -1: \ + \to - \ (\max)\end{aligned}

מהנגזרת

f(1)=−4+C=−1⇒C=3\begin{aligned}f(1) &= -4+C \\ &= -1 \Rightarrow C \\ &= 3\end{aligned}

המינימום נותן את CC

f(−1)=−2+6+3=7\begin{aligned}f(-1) &= -2+6+3 \\ &= 7\end{aligned}

המקסימום

ערך המינימום הוא נתון על ff, ולכן מציבים אותו ב-ff עם CC — לא בנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=x3−3px2+3p2xf(x)=x^3-3px^2+3p^2x, כאשר pp פרמטר. הוכיחו כי לכל pp אין ל-ff נקודות קיצון.

  • f(x)=x3−3px2+3p2xf(x)=x^3-3px^2+3p^2x

לכל pp אין ל-ff נקודות קיצון

Show the answer and the solution
  1. f′(x)=3x2−6px+3p2f'(x)=3x^2-6px+3p^2 — גזירה איבר-איבר; pp קבוע
  2. f′(x)=3(x−p)2f'(x)=3(x-p)^2 — גורם משותף 33 וריבוע של הפרש
  3. f′(x)≥0f'(x) \ge 0 לכל xx, ומתאפסת רק ב-x=px=p — ריבוע אינו שלילי
  4. הנגזרת אינה מחליפה סימן באף נקודה — סימן אחד משני צדי x=px=p
  5. לכל pp אין ל-ff נקודות קיצון — קיצון מחייב החלפת סימן של הנגזרת
Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x3+axf(x)=x^3+ax. המשיק לגרף ff בנקודה שבה x=1x=1 מקביל לציר ה-xx. א. מצאו את aa. ב. מהו ערך המקסימום המקומי של ff? (הקלידו את התשובה לסעיף ב.)

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(1)=3+a=0⇒a=−3\begin{aligned}f'(1) &= 3+a \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

מקביל לציר xx — שיפוע 00

f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x)=3(x-1)(x+1)

החשודות ±1\pm1

x=−1: +→−x=-1: \ + \to -

המקסימום

f(−1)=−1+3=2\begin{aligned}f(-1) &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

הערך

המשיק ב-x=1x=1 אופקי, אבל שם יש מינימום (f(1)=−2f(1)=-2). המקסימום בנקודה האחרת.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: לכל ערך של aa, לפונקציה f(x)=x4+ax2f(x)=x^4+ax^2 יש נקודת קיצון ב-x=0x=0.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=4x3+2ax=2x(2x2+a)\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3+2ax \\ &= 2x(2x^2+a)\end{aligned}

גוזרים

a>0: סימן f′=סימן x ⇒min⁡a>0: \ \text{סימן } f' = \text{סימן } x \ \Rightarrow \min

ליד 00 הסוגריים חיוביים

a<0: 2x2+a<0 ⇒max⁡a<0: \ 2x^2+a<0 \ \Rightarrow \max

ליד 00 הסוגריים שליליים: הסימן הפוך לסימן של xx

a=0: f=x4⇒min⁡\begin{aligned}a &= 0: \ f \\ &= x^4 \Rightarrow \min\end{aligned}

גם כאן החלפת סימן

נכון. בכל המקרים הנגזרת מחליפה סימן ב-00 — רק סוג הקיצון תלוי ב-aa. מי שבדק רק a>0a>0 הוכיח חצי מהטענה.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=x3−3x2+cf(x)=x^3-3x^2+c. בקטע 1≤x≤31 \le x \le 3 הערך הקטן ביותר של ff הוא −1-1. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע זה?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2)

בתוך הקטע רק x=2x=2

f(2)=−4+c=−1⇒c=3\begin{aligned}f(2) &= -4+c \\ &= -1 \Rightarrow c \\ &= 3\end{aligned}

הקטן ביותר — במינימום

f(1)=1−3+3=1  f(3)=27−27+3=3\begin{aligned}f(1) &= 1-3+3 \\ &= 1 \\ \ \ f(3) &= 27-27+3 \\ &= 3\end{aligned}

הקצוות

max⁡=3\max=3

בקצה x=3x=3

צריך לוודא שהקטן ביותר באמת ב-x=2x=2: f(1)=c−2f(1)=c-2 ו-f(3)=cf(3)=c גדולים מ-c−4c-4 ✓. ואז c=3c=3.

Check the answer on elev

Exercise 10

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=x2−1f(x)=x^2-1, והגרף שלה עובר בראשית. כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לגרף FF, והיכן?

  1. שתיים: x=±1x=\pm1
  2. שלוש: x=0x=0 ו-x=±1x=\pm1
  3. שלוש: x=0x=0 ו-x=±3x=\pm\sqrt{3}
  4. אחת: x=0x=0
Show the answer and the solution

Answer: C שלוש: x=0x=0 ו-x=±3x=\pm\sqrt{3}

Worked solution:

F(x)=x33−x+C  F(0)=0⇒C=0\begin{aligned}F(x) &= \frac{x^3}{3}-x+C \\ \ \ F(0) &= 0 \Rightarrow C \\ &= 0\end{aligned}

פונקציה קדומה

x3(x2−3)=0\frac{x}{3}(x^2-3)=0

מפרקים

x=0 x=±3\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

השורשים

התשובה: שלוש, x=0x=0 ו-x=±3x=\pm\sqrt{3}. x=±1x=\pm1 הם השורשים של ff, כלומר נקודות הקיצון של FF — לא נקודות החיתוך שלה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade