Loci: proving both directions · Loci and the fourth congruence theorem · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עז קשורה ליתד בחבל באורך 3 מטרים. כשהחבל מתוח עד הסוף, איפה יכולה העז לעמוד? נסו לסמן בדמיון עשר נקודות כאלה, ואחר כך מאה. הנקודות יוצרות צורה — מעגל סביב היתד. לצורה שנוצרת מכל הנקודות בעלות תכונה אחת קוראים מקום גאומטרי.

מהו מקום גאומטרי

מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות שיש להן תכונה מסוימת, ורק הן. למשל: אוסף כל הנקודות שמרחקן מהנקודה $O$ הוא $r$ הוא מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $r$ .

הנקודה P על האנך האמצעי של AB. הקטעים המקווקווים שווים — ואם מזיזים את P לאורך האנך, הם נשארים שווים.

בשרטוט $AB = 6$ ו- $PM = 4$ . כמה שווה $PA$ ? ומה יקרה ל- $PA$ ול- $PB$ אם נזיז את $P$ למעלה לאורך האנך?

Show the answer and the solution

$PA = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ , וגם $PB = 5$ . כשמזיזים את $P$ לאורך האנך שני המרחקים משתנים — אבל הם נשארים שווים זה לזה. זו התכונה שמגדירה את האנך האמצעי.

ארבעת המקומות הגאומטריים של הפרק

PO = r

מעגל: כל הנקודות שמרחקן מנקודה $O$ שווה ל- $r$ .

PA = PB

האנך האמצעי של הקטע $AB$ : כל הנקודות שמרחקן מ- $A$ ומ- $B$ שווה.

PD = PE

חוצה הזווית: כל הנקודות בתוך הזווית שמרחקן משתי שוקי הזווית שווה.

PH = d

שני ישרים מקבילים: כל הנקודות שמרחקן מישר נתון הוא $d$ — ישר אחד מכל צד.

למה צריך להוכיח שני כיוונים

כדי לומר «הצורה $F$ היא המקום הגאומטרי של הנקודות עם התכונה $T$ » צריך שתי הוכחות: (א) כל נקודה על $F$ מקיימת את $T$ — אין נקודה «מזויפת» על הצורה; (ב) כל נקודה שמקיימת את $T$ נמצאת על $F$ — לא פספסנו אף נקודה. כיוון (ב) הוא המשפט ההפוך של כיוון (א), ומשפט הפוך לא נובע מאליו.

Interactive activity

האנך האמצעי כמקום גאומטרי

נתון קטע $AB$ ואמצעו $M$ . הוכיחו כי האנך האמצעי של $AB$ הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ שמקיימות $PA = PB$ .

כיוון (א): $P$ על האנך האמצעי. מה צריך להוכיח?

ש- $PA = PB$ .

Show the answer and the solution

כן. מהצורה לתכונה: הנקודה על האנך, ומוכיחים שהיא שווה מרחק מהקצוות.

ש- $P$ נמצאת על האנך האמצעי.

Show the answer and the solution

זה הנתון בכיוון הזה, לא המטרה. זה מה שנוכיח בכיוון (ב).

\triangle PMA \cong \triangle PMB \ (\text{צ.ז.צ})

$AM = MB$ , $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$ והצלע $PM$ משותפת. לכן $PA = PB$ .

כיוון (ב): נתון $PA = PB$ . באיזה משפט חפיפה משתמשים?

צ.צ.צ: $PA = PB$ , $AM = MB$ , $PM$ משותפת.

Show the answer and the solution

כן. שלוש הצלעות ידועות — ולא צריך לדעת עדיין שום זווית.

צ.ז.צ עם הזווית הישרה ב- $M$ .

Show the answer and the solution

את הזווית הישרה עוד לא יודעים — היא בדיוק מה שצריך להוכיח. להשתמש בה כאן זו הנחת המבוקש.

\triangle PMA \cong \triangle PMB \ (\text{צ.צ.צ})

מהחפיפה $\angle PMA = \angle PMB$ .

איך מסיימים מ- $\angle PMA = \angle PMB$ ?

הן זוויות צמודות ושוות, ולכן כל אחת $90^\circ$ .

Show the answer and the solution

כן. סכומן $180^\circ$ והן שוות — לכן $PM \perp AB$ , ו- $PM$ עובר באמצע: זה האנך האמצעי.

הן זוויות קודקודיות, ולכן שוות.

Show the answer and the solution

הן אינן קודקודיות: הן יושבות זו ליד זו על הישר $AB$ — צמודות.

\begin{aligned}\angle PMA &= \angle PMB \\ &= 90^\circ \Rightarrow PM \perp AB\end{aligned}

$P$ על האנך האמצעי. שני הכיוונים הוכחו.

Show the answer and the solution

כיוון (א) בצ.ז.צ, כיוון (ב) בצ.צ.צ ובזוויות צמודות. המלכודת: בכיוון (ב) להשתמש בזווית הישרה, שהיא עצמה מה שמוכיחים.

Do the activity on elev

תלמיד הוכיח רק את כיוון (א): «כל נקודה על האנך האמצעי מקיימת $PA = PB$ ». מה עוד לא ידוע מההוכחה שלו?

Show the answer and the solution

עוד לא ידוע שאין נקודות אחרות, מחוץ לאנך, שגם הן מקיימות $PA = PB$ . אולי המקום הגאומטרי גדול יותר מהישר. את זה סוגר כיוון (ב).

חוצה הזווית כמקום גאומטרי

P על חוצה הזווית A. PD ו-PE הם המרחקים של P משוקי הזווית — שני אנכים.

Interactive activity

שני הכיוונים של חוצה הזווית

PD \perp AB, \quad PE \perp AC

לחצו «להתחיל». המרחק של נקודה מישר נמדד תמיד באנך — לכן בשרטוט יש שני משולשים ישרי זווית עם יתר משותף $AP$ .

כיוון א — נתון

\angle PAD = \angle PAE

$P$ על חוצה הזווית.

הזווית השלישית

\begin{aligned}\angle APD &= 90^\circ - \angle PAD \\ &= \angle APE\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $180^\circ$ .

חפיפה

\triangle APD \cong \triangle APE \ (\text{ז.צ.ז}) \Rightarrow PD = PE

הצלע $AP$ משותפת ונמצאת בין שתי הזוויות.

כיוון ב — נתון

PD = PE

עכשיו יודעים רק שהמרחקים שווים.

פיתגורס

\begin{aligned}AD &= \sqrt{AP^2 - PD^2} \\ &= \sqrt{AP^2 - PE^2} \\ &= AE\end{aligned}

היתר $AP$ משותף, והניצבים $PD$ ו- $PE$ שווים.

חפיפה

\triangle APD \cong \triangle APE \ (\text{צ.צ.צ}) \Rightarrow \angle PAD = \angle PAE

$P$ על חוצה הזווית.

בכיוון ב אסור להניח שהזוויות ב- $A$ שוות — זה מה שמוכיחים. לכן עוברים דרך פיתגורס.

Do the activity on elev

למה בהגדרה כתוב «נקודות בתוך הזווית»? חשבו על נקודה מחוץ לזווית, שמרחקה משני הישרים $AB$ ו- $AC$ שווה.

Show the answer and the solution

שני ישרים נחתכים יוצרים ארבע זוויות. נקודות שמרחקן משני הישרים שווה נמצאות על שני חוצי זוויות מאונכים זה לזה. בתוך הזווית $BAC$ עצמה נשאר רק חוצה אחד.

מרכזי המעגלים שעוברים דרך שתי נקודות

נתונות שתי נקודות $A$ ו- $B$ במרחק $10$ זו מזו. מהו המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שעוברים דרך $A$ ודרך $B$ ? ומה מרחק המרכז מ- $AB$ כשהרדיוס $13$ ?

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= R\end{aligned}

מרכז $O$ של מעגל כזה רחוק באותה מידה מ- $A$ ומ- $B$

\Rightarrow

$O$ על האנך האמצעי של $AB$ , לפי כיוון (ב). ולהפך — כל נקודה על האנך היא מרכז של מעגל כזה, לפי כיוון (א)

\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

$M$ אמצע $AB$ , ולכן $AM = 5$

שלוש טעויות שחוזרות בשאלות על מקום גאומטרי.

\begin{aligned}PA &= PB \Rightarrow P \\ &= M\end{aligned}

\begin{aligned}PA &= PB \Rightarrow P \\ &= M \ \text{או}\ PM \perp AB\end{aligned}

$P$ נמצאת על האנך האמצעי. יש אינסוף נקודות שוות מרחק מ- $A$ ומ- $B$ . האמצע $M$ הוא רק אחת מהן.

\begin{aligned}d(P, \ell) &= PQ \\ \ Q \in \ell\end{aligned}

\begin{aligned}d(P, \ell) &= PH \\ \ PH \perp \ell\end{aligned}

מרחק של נקודה מישר נמדד באנך — כל קטע אחר ארוך יותר.

\Rightarrow

\Leftrightarrow

כיוון א בלבד ( $\Rightarrow$ ) אינו מספיק: צריך כיוון א וגם כיוון ב ( $\Leftrightarrow$ ). בלי כיוון ב לא הוכחתם שאין נקודות נוספות עם אותה תכונה.

Exercises

Exercise 1

מהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מהנקודה $O$ שווה ל- $4$ ?

מעגל שמרכזו $O$ וקוטרו $4$
מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $4$
שני ישרים מקבילים במרחק $4$ מ- $O$
עיגול שמרכזו $O$ ורדיוסו $4$ , כולל הפנים

Show the answer and the solution

Answer: B מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $4$

Worked solution:

PO = 4

כל נקודה על המעגל נמצאת במרחק 4 מהמרכז, וכל נקודה במרחק 4 נמצאת עליו

התשובה: «מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $4$ ». המלכודת: העיגול כולל גם נקודות קרובות יותר מ-4, והקוטר 4 נותן רדיוס 2.

Check the answer on elev

Exercise 2

נכון או לא נכון: כל נקודה $P$ שמקיימת $PA = PB$ היא אמצע הקטע $AB$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}PA &= PB \\ &= 5 \\ \ AB &= 8\end{aligned}

בשרטוט $P$ נמצאת 3 יחידות מעל האמצע, ובכל זאת $PA = PB$

\Rightarrow

$P$ על האנך האמצעי: המקום הגאומטרי הוא ישר שלם, לא נקודה אחת

לא נכון. האמצע $M$ הוא רק אחת מאינסוף הנקודות שעל האנך האמצעי.

Check the answer on elev

Exercise 3

הנקודה $P$ נמצאת על האנך האמצעי של הקטע $AB$ , ו- $M$ אמצע הקטע. נתון $AB = 10$ ו- $PM = 12$ . מצאו את $PB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

\begin{aligned}MB &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

M אמצע הקטע

\begin{aligned}PB^2 &= PM^2 + MB^2 \\ &= 144 + 25 \\ &= 169\end{aligned}

פיתגורס במשולש $PMB$ , הזווית ב- $M$ ישרה

PB = 13

$PB = 13$ , וגם $PA = 13$ . המלכודת: לקחת $MB = 10$ במקום חצי הקטע.

Check the answer on elev

Exercise 4

הנקודה $P$ נמצאת על חוצה הזווית $BAC$ . $PD \perp AB$ ו- $PE \perp AC$ . נתון $AP = 25$ ו- $PD = 7$ . מצאו את $AE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\begin{aligned}PE &= PD \\ &= 7\end{aligned}

כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית

\begin{aligned}AE^2 &= AP^2 - PE^2 \\ &= 625 - 49 \\ &= 576\end{aligned}

פיתגורס במשולש $APE$

AE = 24

$AE = 24$ . המלכודת: לחשב $AE^2 = 625 + 49$ — היתר כאן הוא $AP$ , ולכן מחסרים.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון ישר $\ell$ . מהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מ- $\ell$ שווה ל- $3$ ?

ישר המאונך ל- $\ell$
שני ישרים המקבילים ל- $\ell$ , אחד מכל צד, במרחק $3$ ממנו
רצועה שרוחבה $6$ שבאמצעה $\ell$
ישר אחד המקביל ל- $\ell$ במרחק $3$ ממנו

Show the answer and the solution

Answer: B שני ישרים המקבילים ל- $\ell$ , אחד מכל צד, במרחק $3$ ממנו

Worked solution:

\begin{aligned}PH &= 3 \\ \ PH \perp \ell\end{aligned}

המרחק נמדד באנך לישר

\Rightarrow

אפשר לעלות 3 מעל $\ell$ או לרדת 3 מתחתיו — שני ישרים

התשובה: «שני ישרים המקבילים ל- $\ell$ , אחד מכל צד». המלכודת: לשכוח את הצד השני, או לכלול את כל הרצועה — בתוכה המרחק קטן מ-3.

Check the answer on elev

Exercise 6

לכל טענה: האם היא כיוון (א) — מהצורה לתכונה, או כיוון (ב) — מהתכונה לצורה?

כיוון (א): מהצורה לתכונה
כיוון (ב): מהתכונה לצורה

נתון: $OP = r$ . צריך להוכיח: $P$ על המעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $r$
נתון: $P$ בתוך הזווית ושווה מרחק משוקיה. צריך להוכיח: $P$ על חוצה הזווית
נתון: $P$ על האנך האמצעי של $AB$ . צריך להוכיח: $PA = PB$
נתון: $P$ על המעגל שמרכזו $O$ . צריך להוכיח: $OP = r$
נתון: $P$ על חוצה הזווית $A$ . צריך להוכיח: $P$ שווה מרחק משוקי הזווית
נתון: $PA = PB$ . צריך להוכיח: $P$ על האנך האמצעי של $AB$

Show the answer and the solution

Answer: נתון: $P$ על האנך האמצעי של $AB$ . צריך להוכיח: $PA = PB$ — כיוון (א): מהצורה לתכונה · נתון: $PA = PB$ . צריך להוכיח: $P$ על האנך האמצעי של $AB$ — כיוון (ב): מהתכונה לצורה · נתון: $P$ על חוצה הזווית $A$ . צריך להוכיח: $P$ שווה מרחק משוקי הזווית — כיוון (א): מהצורה לתכונה · נתון: $P$ בתוך הזווית ושווה מרחק משוקיה. צריך להוכיח: $P$ על חוצה הזווית — כיוון (ב): מהתכונה לצורה · נתון: $OP = r$ . צריך להוכיח: $P$ על המעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $r$ — כיוון (ב): מהתכונה לצורה · נתון: $P$ על המעגל שמרכזו $O$ . צריך להוכיח: $OP = r$ — כיוון (א): מהצורה לתכונה

Worked solution:

\text{צורה} \Rightarrow \text{תכונה}

בכיוון (א) הנתון הוא המקום של הנקודה

\text{תכונה} \Rightarrow \text{צורה}

בכיוון (ב) הנתון הוא מדידה, והמטרה היא המקום

שואלים: מה נתון? אם נתון איפה הנקודה — כיוון (א). אם נתונה תכונה מספרית — כיוון (ב). המלכודת: המעגל, שבו הכיוונים נשמעים כמעט אותו דבר.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון: $M$ אמצע הקטע $AB$ , והנקודה $P$ מקיימת $PA = PB$ . הוכיחו כי $PM \perp AB$ .

$M$ אמצע $AB$
$PA = PB$

$PM \perp AB$

Show the answer and the solution

$AM = MB$ — נתון — $M$ אמצע הקטע
$PA = PB$ — נתון
$PM = PM$ — צלע משותפת
$\triangle PAM \cong \triangle PBM$ — צ.צ.צ
$\angle PMA = \angle PMB$ — במשולשים חופפים מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
$PM \perp AB$ — זוויות צמודות ושוות — כל אחת $90^\circ$

Worked solution:

AM = MB

נתון — $M$ אמצע הקטע

PA = PB

נתון

PM = PM

צלע משותפת

\triangle PAM \cong \triangle PBM

צ.צ.צ

\angle PMA = \angle PMB

במשולשים חופפים מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

PM \perp AB

זוויות צמודות ושוות — כל אחת $90^\circ$

זה כיוון (ב) של האנך האמצעי. המלכודת: לפתוח ב« $\angle PMA = 90^\circ$ » — זו המטרה, לא נתון.

Check the answer on elev

Exercise 8

הנקודה $P$ על חוצה הזווית $BAC$ , ו- $\angle BAC = 60^\circ$ . נתון $AP = 10$ . מצאו את המרחקים של $P$ משתי שוקי הזווית.

המרחק של $P$ מ- $AB$ הוא ____, והמרחק של $P$ מ- $AC$ הוא ____

Show the answer and the solution

Answer: המרחק של $P$ מ- $AB$ הוא 5, והמרחק של $P$ מ- $AC$ הוא 5

Worked solution:

\begin{aligned}\angle PAD &= \frac{60^\circ}{2} \\ &= 30^\circ\end{aligned}

חוצה הזווית

\begin{aligned}PD &= \frac{AP}{2} \\ &= 5\end{aligned}

במשולש ישר זווית, הניצב שמול זווית של $30^\circ$ שווה למחצית היתר

\begin{aligned}PE &= PD \\ &= 5\end{aligned}

נקודה על חוצה זווית שווה מרחק משוקי הזווית

שני המרחקים $5$ . המלכודת: לקחת את הזווית כולה, $60^\circ$ , במשולש $APD$ — שם יושבת רק מחציתה.

Check the answer on elev

Exercise 9

הישרים $k$ ו- $m$ מקבילים, והמרחק ביניהם $8$ . מהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מ- $k$ שווה למרחקן מ- $m$ ?

ישר המקביל לשניהם, במרחק $4$ מכל אחד
אין נקודות כאלה
ישר המאונך לשניהם
שני ישרים במרחק $8$ מכל צד

Show the answer and the solution

Answer: A ישר המקביל לשניהם, במרחק $4$ מכל אחד

Worked solution:

d(P,k) + d(P,m) = 8

נקודה בין הישרים: סכום המרחקים הוא רוחב הרצועה

\begin{aligned}d(P,k) &= d(P,m) \\ &= 4\end{aligned}

שני מרחקים שווים שסכומם 8

\Rightarrow

נקודה מחוץ לרצועה קרובה יותר לאחד הישרים — לכן אין שם נקודות

התשובה: «ישר המקביל לשניהם, במרחק $4$ מכל אחד» — ישר האמצע. המלכודת: ישר מאונך חוצה את הרצועה, אבל רוב נקודותיו אינן באמצע.

Check the answer on elev

Exercise 10

הנקודה $P$ על האנך האמצעי של $AB$ , $AB = 16$ ו- $PA = 10$ . תלמיד חישב את $PM$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}AM &= \frac{16}{2} \\ &= 8\end{aligned}

PM^2 = PA^2 + AM^2

\begin{aligned}PM^2 &= 100 + 64 \\ &= 164\end{aligned}

PM = \sqrt{164}

Show the answer and the solution

Answer: $PM^2 = PA^2 + AM^2$ → $PM^2 = PA^2 - AM^2 = 100 - 64 = 36$

Worked solution:

PA^2 = PM^2 + AM^2

במשולש $PMA$ הזווית הישרה ב- $M$ , ולכן $PA$ הוא היתר

\begin{aligned}PM^2 &= 100 - 64 \\ &= 36 \Rightarrow PM \\ &= 6\end{aligned}

$PM = 6$ . המלכודת: לחבר ריבועים גם כשהקטע המבוקש הוא ניצב. תמיד שואלים קודם: מי היתר?

Check the answer on elev

מהו מקום גאומטרי

ארבעת המקומות הגאומטריים של הפרק

למה צריך להוכיח שני כיוונים

חוצה הזווית כמקום גאומטרי

Exercises

Keep practising on elev