Set 4 — advanced · Loci and the fourth congruence theorem · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 4 מערבבת את כל הנושאים בשאלות של שני שלבים ויותר: שני מקומות גאומטריים שנחתכים, מרכז הכובד ומרכז המעגל החוסם על אותו תיכון, תנאי קיום של שני משולשים, ושתי הוכחות שבונות משפט מתוך מקום גאומטרי.

כאן כדאי לשרטט לבד לפני שמסתכלים בשרטוט: מה שנראה ברור בשרטוט הנתון לא תמיד כתוב בנתונים. שש נכונות ומעלה — עברו לסדרה 5.

Exercises

Exercise 1

הישרים $k$ ו- $m$ מקבילים, והמרחק ביניהם $10$ . הנקודה $A$ על הישר $k$ . מחפשים נקודות שמרחקן מ- $k$ שווה למרחקן מ- $m$ , ומרחקן מ- $A$ שווה ל- $13$ .

יש ____ נקודות כאלה, והמרחק ביניהן ____

Show the answer and the solution

Answer: יש 2 נקודות כאלה, והמרחק ביניהן 24

Worked solution:

\begin{aligned}d(P, k) &= d(P, m) \\ &= 5\end{aligned}

המקום הראשון: ישר האמצע, במרחק $5$ מ- $k$

PA = 13

המקום השני: מעגל שמרכזו $A$

\sqrt{13^2 - 5^2} = 12

כל נקודה נמצאת $12$ ימינה או שמאלה מהאנך מ- $A$

12 + 12 = 24

שתי נקודות, במרחק $24$ . המלכודת: למדוד $13$ לאורך ישר האמצע עצמו, במקום לחשב את ההיטל $12$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ , $I$ היא נקודת החיתוך של חוצה הזווית $A$ וחוצה הזווית $B$ . הוכיחו כי $I$ נמצאת על חוצה הזווית $C$ .

$AI$ חוצה את $\angle A$
$BI$ חוצה את $\angle B$

$I$ על חוצה הזווית $C$

Show the answer and the solution

$I$ במרחק שווה מ- $AB$ ומ- $AC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית
$I$ במרחק שווה מ- $BA$ ומ- $BC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית
$I$ במרחק שווה מ- $CA$ ומ- $CB$ — כלל המעבר
$I$ בתוך הזווית $C$ — חוצי הזוויות $A$ ו- $B$ עוברים בתוך המשולש, ולכן גם נקודת החיתוך שלהם
$I$ על חוצה הזווית $C$ — נקודה בתוך זווית שמרחקה משוקי הזווית שווה נמצאת על חוצה הזווית

Worked solution:

\Rightarrow

$I$ במרחק שווה מ- $AB$ ומ- $AC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית

\Rightarrow

$I$ במרחק שווה מ- $BA$ ומ- $BC$ — כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית

\Rightarrow

$I$ במרחק שווה מ- $CA$ ומ- $CB$ — כלל המעבר

\Rightarrow

$I$ בתוך הזווית $C$ — חוצי הזוויות $A$ ו- $B$ עוברים בתוך המשולש, ולכן גם נקודת החיתוך שלהם

\Rightarrow

$I$ על חוצה הזווית $C$ — נקודה בתוך זווית שמרחקה משוקי הזווית שווה נמצאת על חוצה הזווית

שני כיווני המקום הגאומטרי של חוצה הזווית, והנקודה היא מרכז המעגל החסום. המלכודת: לשכוח לציין ש- $I$ בתוך הזווית $C$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הוא חד זווית. $BC = 24$ ורדיוס המעגל החוסם $13$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 21.63

Worked solution:

\begin{aligned}OD &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ODB$ ; $O$ על האנך האמצעי של $BC$

\begin{aligned}AD &= AO + OD \\ &= 13 + 5 \\ &= 18\end{aligned}

במשולש חד זווית $O$ בתוך המשולש, בין $A$ ל- $D$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{12^2 + 18^2} \\ &= \sqrt{468} \approx 21.63\end{aligned}

$AB \approx 21.63$ . המלכודת: $AD = 13 - 5 = 8$ — זה המשולש הקהה, שבו $O$ מחוץ למשולש.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . $O$ מרכז המעגל החוסם ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $OG$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2.5

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 15 \\ \quad O \text{ אמצע } AB\end{aligned}

מרכז המעגל החוסם באמצע היתר

CO = 7.5

התיכון ליתר

\begin{aligned}G \in CO \\ \quad GO &= \frac{1}{3} \cdot 7.5 \\ &= 2.5\end{aligned}

מרכז הכובד על אותו תיכון, שליש ממנו ליד הצלע

$OG = 2.5$ . המלכודת: $\frac{2}{3} \cdot 7.5 = 5$ — זה $CG$ , מהקודקוד.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: אם מרכז הכובד של משולש $ABC$ נמצא על הגובה מ- $A$ , אז $AB = AC$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

G \in AD

הישר $AG$ הוא התיכון מ- $A$ , כי $G$ על כל תיכון

\begin{aligned}AD \perp BC \\ \quad BD &= DC\end{aligned}

אותו ישר הוא גם הגובה — אז הוא האנך האמצעי של $BC$

\Rightarrow AB = AC

$A$ על האנך האמצעי של $BC$ — כיוון (א)

נכון. המלכודת: לחשוב שכל ישר דרך $A$ ו- $G$ הוא רק גובה — הוא בו בזמן גם התיכון.

Check the answer on elev

Exercise 6

אורכי צלעות המשולש $7$ , $24$ ו- $25$ . מהם רדיוס המעגל החסום $r$ ורדיוס המעגל החוסם $R$ ?

$r = 6$ , $R = 25$
$r = 3$ , $R = 25$
$r = 12.5$ , $R = 3$
$r = 3$ , $R = 12.5$

Show the answer and the solution

Answer: D $r = 3$ , $R = 12.5$

Worked solution:

7^2 + 24^2 = 25^2

ישר זווית, לפי פיתגורס ההפוך

\begin{aligned}R &= \frac{25}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

חצי היתר

\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 84}{56} \\ &= 3\end{aligned}

$S = \frac{7 \cdot 24}{2} = 84$ , $P = 56$

התשובה: « $r = 3$ , $R = 12.5$ ». המלכודות: $R = 25$ שוכח את החצי, $r = 6$ שוכח את החלוקה ב-2 של השטח, והאחרונה מחליפה בין החסום לחוסם.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון $\angle A = 30^\circ$ ו- $AB = 12$ . מה האורך השלם הקטן ביותר של $BC$ שעבורו יש שני משולשים $ABC$ שאינם חופפים?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

\begin{aligned}BH &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

המרחק מ- $B$ לשוק השנייה

BC = 6

משולש אחד — ישר זווית

6 < BC < 12

שני משולשים: הזווית מול הצלע הקטנה, והמעגל חותך את השוק פעמיים

BC = 7

השלם הקטן ביותר בתחום

$BC = 7$ . המלכודת: $BC = 6$ — שם המעגל רק נוגע בשוק ונותן משולש אחד.

Check the answer on elev

Exercise 8

קודקודי המשולש $A(2,5)$ , $B(8,1)$ , $C(-1,3)$ . תלמיד מצא את מרכז הכובד דרך התיכון $AD$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}D &= \left( \frac{8 - 1}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) \\ &= (3.5, 2)\end{aligned}

G = A + \tfrac{2}{3}(D - A)

D - A = (1.5, -3)

\begin{aligned}G &= (2, 5) + (1, -2) \\ &= (3, 4)\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $G = (2, 5) + (1, -2) = (3, 4)$ → $G = (2, 5) + (1, -2) = (3, 3)$

Worked solution:

\tfrac{2}{3}(1.5, -3) = (1, -2)

נכון

5 + (-2) = 3

השיעור השני

\begin{aligned}\frac{2 + 8 - 1}{3} &= 3 \\ \quad \frac{5 + 1 + 3}{3} &= 3\end{aligned}

בדיקה בנוסחת הממוצע

$G = (3,3)$ . השיטה נכונה, והטעות בחיבור האחרון. המלכודת: לא לבדוק — נוסחת הממוצע תופסת טעות כזאת בשנייה.

Check the answer on elev

Exercise 9

במרובע $ABCD$ נתון $AB = 36$ , $BC = 77$ , $CD = 40$ , $DA = 75$ והאלכסון $AC = 85$ . מצאו את שטח המרובע.

Show the answer and the solution

Answer: 2886

Worked solution:

\begin{aligned}36^2 + 77^2 &= 1296 + 5929 \\ &= 7225 \\ &= 85^2\end{aligned}

$\angle B = 90^\circ$

\begin{aligned}40^2 + 75^2 &= 1600 + 5625 \\ &= 7225 \\ &= 85^2\end{aligned}

$\angle D = 90^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{36 \cdot 77}{2} + \frac{40 \cdot 75}{2} \\ &= 1386 + 1500 \\ &= 2886\end{aligned}

$S = 2886$ . המלכודת: לחבר את אורכי הצלעות בזוגות בלי לבדוק איזו זווית ישרה.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. $M$ אמצע היתר $AB$ , ו- $K$ אמצע הניצב $AC$ . הוכיחו כי $MA = MC$ .

$\angle ACB = 90^\circ$
$M$ אמצע $AB$ , $K$ אמצע $AC$

$MA = MC$

Show the answer and the solution

$MK \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$BC \perp AC$ — נתון — הזווית $C$ ישרה
$MK \perp AC$ — ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני
$MK$ הוא האנך האמצעי של $AC$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו
$MA = MC$ — כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

Worked solution:

MK \parallel BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית

BC \perp AC

נתון — הזווית $C$ ישרה

MK \perp AC

ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני

\Rightarrow

$MK$ הוא האנך האמצעי של $AC$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו

MA = MC

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

כך מוכיחים שהתיכון ליתר שווה למחצית היתר — דרך מקום גאומטרי. המלכודת: לצטט את המשפט עצמו כנימוק, כשהוא מה שמוכיחים.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev