Set 5 — towards the bagrut · Loci and the fourth congruence theorem · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 5 בנויה כמו שאלות הבגרות: הוכחות של כמה שורות, «הוכיחו או הפריכו», חישובים שדורשים שני משפטים ברצף, ושאלה אחת שמשלימה את ההוכחה שהגבהים נפגשים בנקודה אחת.

בכל «הוכיחו» כתבו טענה ונימוק לכל שורה, ובכל «הפריכו» — דוגמה נגדית עם מספרים. חמש נכונות ומעלה כאן זו כבר רמת בגרות.

Exercises

Exercise 1

דרך כל קודקוד של המשולש $ABC$ מעבירים ישר המקביל לצלע שמולו, ונוצר המשולש $PQR$ ( $A$ על $QR$ ). $AD$ הגובה לצלע $BC$ . הוכיחו כי $AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$ .

$QR \parallel BC$ , $RP \parallel AC$ , $PQ \parallel AB$
$AD \perp BC$

$AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$

Show the answer and the solution

$ABCQ$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים
$ACBR$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים
$AQ = BC$ — במקבילית צלעות נגדיות שוות
$AR = BC$ — במקבילית צלעות נגדיות שוות
$AQ = AR$ — כלל המעבר
$AD \perp BC$ — נתון — גובה
$AD \perp QR$ — ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני
$AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו

Worked solution:

\Rightarrow

$ABCQ$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים

\Rightarrow

$ACBR$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים

AQ = BC

במקבילית צלעות נגדיות שוות

AR = BC

במקבילית צלעות נגדיות שוות

AQ = AR

כלל המעבר

AD \perp BC

נתון — גובה

AD \perp QR

ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני

\Rightarrow

$AD$ הוא האנך האמצעי של $QR$ — ישר שעובר באמצע קטע ומאונך לו

כך כל גובה של $ABC$ הוא אנך אמצעי של $PQR$ , והאנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת — לכן גם הגבהים. המלכודת: לסמן את הישר $QR$ כמקביל ל- $AC$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

קודקודי המשולש $A(0,0)$ , $B(8,0)$ ו- $C(2,6)$ . מצאו את מרכז המעגל החוסם $O$ .

$O =$ ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: $O =$ ( 4 , 2 )

Worked solution:

x_O = 4

האנך האמצעי של $AB$ הוא הישר $x = 4$

\begin{aligned}OA^2 &= OC^2: \ 16 + y^2 \\ &= 4 + (y - 6)^2\end{aligned}

כיוון (א) — $O$ שווה מרחק מ- $A$ ומ- $C$

\begin{aligned}16 &= 40 - 12y \Rightarrow y \\ &= 2\end{aligned}

$O(4, 2)$ , ובדיקה: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = 20$ . המלכודת: לקחת את מרכז הכובד $(\frac{10}{3}, 2)$ — שיעור ה- $y$ יוצא אותו דבר, אבל ה- $x$ לא.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $AD$ התיכון לצלע $BC$ ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $AG$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 4.81

Worked solution:

CD = 4

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}AD &= \sqrt{6^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{52}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ACD$

AG = \frac{2}{3}\sqrt{52} \approx 4.81

$AG \approx 4.81$ . המלכודת: לחשב את התיכון ליתר, $5$ — השאלה על התיכון לניצב $BC$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: אם במשולש $ABC$ התיכון $AD$ שווה למחצית הצלע $BC$ , אז $\angle BAC = 90^\circ$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}DA &= DB \\ &= DC\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$ ו- $AD = \frac{1}{2}BC$

\begin{aligned}\angle DAB &= \angle B \\ \quad \angle DAC &= \angle C\end{aligned}

שני משולשים שווי שוקיים

\begin{aligned}2(\angle B + \angle C) &= 180^\circ \Rightarrow \angle BAC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABC$

נכון — זה המשפט ההפוך לתיכון ליתר. המלכודת: לענות «לא» כי המשפט הישר כבר מוכר; משפט הפוך צריך הוכחה משלו, וכאן היא מצליחה.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = 16$ , $BC = 10$ ו- $\angle A = 30^\circ$ . יש שני משולשים כאלה. מצאו את האורך הגדול מבין שני האורכים האפשריים של $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 19.86

Worked solution:

\begin{aligned}BH &= 8 \\ \quad AH &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

$BH$ גובה לשוק $AC$ ; הניצב מול $30^\circ$ שווה למחצית היתר

\begin{aligned}HC &= \sqrt{100 - 64} \\ &= 6\end{aligned}

פיתגורס במשולש $BHC$

AC = 8\sqrt{3} + 6 \approx 19.86 \quad \text{או} \quad 8\sqrt{3} - 6 \approx 7.86

שני הפתרונות

$AC \approx 19.86$ . המלכודת: לחשוב שיש פתרון אחד — $10 < 16$ , הזווית מול הצלע הקטנה.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 20$ ו- $BC = 24$ . $O$ מרכז המעגל החוסם ו- $I$ מרכז המעגל החסום. מהו המרחק $OI$ ?

$3.5$
$9.5$
$6.5$
$2.5$

Show the answer and the solution

Answer: D $2.5$

Worked solution:

\begin{aligned}AD &= \sqrt{400 - 144} \\ &= 16\end{aligned}

הגובה — שני המרכזים עליו

\begin{aligned}R^2 &= 144 + (16 - R)^2 \Rightarrow R \\ &= 12.5 \\ \quad OD &= 3.5\end{aligned}

מרכז המעגל החוסם

\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 192}{64} \\ &= 6 \Rightarrow ID \\ &= 6\end{aligned}

מרכז המעגל החסום במרחק $r$ מהבסיס

\begin{aligned}OI &= 6 - 3.5 \\ &= 2.5\end{aligned}

שני המרכזים מעל הבסיס, $I$ גבוה יותר

התשובה: $2.5$ . המלכודות: $3.5$ הוא $OD$ בלבד, $6.5 = R - r$ מחסר רדיוסים במקום מרחקים מהבסיס, ו- $9.5 = OD + ID$ מניח שהם משני צדי הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 7

במרובע $ABCD$ הזוויות $B$ ו- $D$ ישרות, ו- $AB = CD$ . הוכיחו כי $ABCD$ מלבן.

$\angle B = \angle D = 90^\circ$
$AB = CD$

$ABCD$ מלבן

Show the answer and the solution

$AC = CA$ — צלע משותפת
$AB = CD$ — נתון
$\angle B = \angle D = 90^\circ$ — נתון
$AC$ הצלע הגדולה במשולשים $ABC$ ו- $CDA$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה
$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
$BC = DA$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
$ABCD$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות שווים
$ABCD$ מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה

Worked solution:

AC = CA

צלע משותפת

AB = CD

נתון

\begin{aligned}\angle B &= \angle D \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון

\Rightarrow

$AC$ הצלע הגדולה במשולשים $ABC$ ו- $CDA$ — במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הגדולה

\triangle ABC \cong \triangle CDA

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

BC = DA

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

\Rightarrow

$ABCD$ מקבילית — מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות שווים

\Rightarrow

$ABCD$ מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה

המלכודת: להתאים את $AB$ ל- $AD$ — ההתאמה הנכונה $AB \leftrightarrow CD$ , ולכן המשולש השני נכתב $CDA$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונות הנקודות $A(1,1)$ , $B(4,5)$ ו- $C(9,-5)$ . הוכיחו בעזרת משפט פיתגורס ההפוך שהמשולש $ABC$ ישר זווית, וחשבו את שטחו.

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\begin{aligned}AB^2 &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ \quad AC^2 &= 64 + 36 \\ &= 100\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC^2 &= 25 + 100 \\ &= 125 \\ &= AB^2 + AC^2\end{aligned}

פיתגורס ההפוך: $\angle A = 90^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 10}{2} \\ &= 25\end{aligned}

$S = 25$ . המלכודת: לחשב $\frac{AB \cdot BC}{2}$ — הזווית הישרה ב- $A$ , מול הצלע הגדולה $BC$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ , $G$ מרכז הכובד ו- $AD$ תיכון. נתון $AG = 3x - 2$ ו- $GD = x + 1$ .

$x =$ ____, ואורך התיכון $AD =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 4, ואורך התיכון $AD =$ 15

Worked solution:

3x - 2 = 2(x + 1)

$AG = 2 \cdot GD$

x = 4

\begin{aligned}AD &= 10 + 5 \\ &= 15\end{aligned}

$AG = 10$ , $GD = 5$

$x = 4$ , $AD = 15$ . המלכודת: $2(3x - 2) = x + 1$ — להכפיל את הקטע הלא נכון.

Check the answer on elev

Exercise 10

האם ייתכן שמרכז המעגל החוסם משולש נמצא על אחת מצלעותיו, אבל לא באמצעה?

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}O \in AB \\ \quad OA &= OB\end{aligned}

$O$ מרכז המעגל החוסם

\Rightarrow O \text{ אמצע } AB

נקודה על קטע שרחוקה באותה מידה משני קצותיו היא אמצעו

לא ייתכן. אם $O$ על צלע, הוא אמצעה — והמשולש ישר זווית, עם הצלע הזאת כיתר.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev