Solving together · Optimization problems · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל סוג של בעיית קיצון בפרק: פולינום מגאומטריה, קטע סגור בתנועה, מרחק עם שורש, אילוץ שיוצר שבר, וקטע בין שני גרפים. כל שאלה נפתרת יחד, ולמטה מחכה לה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, כתבו בטיוטה מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה חפשו את חמשת השלבים: סימון, הבעה, תחום, גזירה, סיווג ותשובה.

1 — תיבה מגיליון מלבני

גיליון 24 על 9, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

Interactive activity

מגיליון פח שממדיו $24$ ס״מ על $9$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ , ומקפלים לתיבה פתוחה. א. הביעו את נפח התיבה באמצעות $x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו הנפח מקסימלי, ואת הנפח המקסימלי.

V(x) = x(24 - 2x)(9 - 2x)

לחצו «להתחיל». שימו לב: הגיליון אינו ריבועי — לכל כיוון גבול משלו.

הבעה

\begin{aligned}V(x) &= x(24 - 2x)(9 - 2x) \\ &= 4x^3 - 66x^2 + 216x\end{aligned}

בסיס $(24 - 2x)$ על $(9 - 2x)$ , גובה $x$ .

תחום

0 < x < 4.5

הצלע הקצרה קובעת: $9 - 2x > 0$ .

גזירה

\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 132x + 216 \\ &= 12(x - 2)(x - 9)\end{aligned}

מוציאים $12$ ומפרקים.

סינון

\begin{aligned}x &= 2 \in (0, 4.5) \\ \quad x &= 9 \notin (0, 4.5)\end{aligned}

נשארת נקודה אחת. משמאל ל- $2$ הנגזרת חיובית, מימין שלילית: מקסימום.

תשובה

\begin{aligned}V(2) &= 2 \cdot 20 \cdot 5 \\ &= 200\end{aligned}

נפח מקסימלי $200$ סמ״ק, ב- $x = 2$ .

מי שקובע את התחום לפי $24$ ( $x < 12$ ) משאיר את $x = 9$ — ומקבל תיבה עם «בסיס» של $-9$ ס״מ.

Do the activity on elev

למה התחום נקבע לפי הצלע הקצרה של הגיליון?

Show the answer and the solution

כי שני תנאים חייבים להתקיים יחד: $24 - 2x > 0$ וגם $9 - 2x > 0$ . הראשון נותן $x < 12$ והשני $x < 4.5$ — והחיתוך הוא $x < 4.5$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

2 — תנועה בקטע סגור

Interactive activity

גוף שחוזר לנקודת המוצא

גוף נע על ישר. מרחקו מנקודת המוצא (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $s(t) = t^3 - 12t^2 + 36t$ , עבור $0 \le t \le 7$ . מהו המרחק הגדול ביותר של הגוף מנקודת המוצא?

$32$ מ׳

$7$ מ׳

$0$ מ׳

$36$ מ׳

מה מחפשים?

את המקסימום של $s(t)$ בקטע $[0, 7]$

Show the answer and the solution

כן. $s$ הוא המרחק, והקטע סגור.

את המקסימום של $s'(t)$

Show the answer and the solution

$s'$ היא המהירות. נשאל על מרחק, לא על מהירות.

את $t$ שבו $s(t) = 0$

Show the answer and the solution

שם הגוף בנקודת המוצא — המרחק הקטן ביותר, לא הגדול.

\begin{aligned}s'(t) &= 3t^2 - 24t + 36 \\ &= 3(t - 2)(t - 6)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים.

אילו רגעים מציבים ב- $s$ ?

$t = 2$ ו- $t = 6$

Show the answer and the solution

בקטע סגור חסרים הקצוות $t = 0$ ו- $t = 7$ .

$t = 0$ , $t = 2$ , $t = 6$ , $t = 7$

Show the answer and the solution

כן: שתי הנקודות החשודות ושני הקצוות.

\begin{aligned}s(0) &= 0 \\ \quad s(2) &= 32 \\ \quad s(6) &= 0 \\ \quad s(7) &= 7\end{aligned}

ארבעה מועמדים.

Show the answer and the solution

המרחק הגדול ביותר $32$ מ׳, אחרי $2$ שניות. $7$ מ׳ הוא ערך הקצה — הוא נכון רק בשאלה על סוף התנועה.

Do the activity on elev

באיזה רגע בין $0$ ל- $7$ הגוף עומד, ואיפה הוא אז?

Show the answer and the solution

הגוף עומד כש- $s'(t) = 0$ : ב- $t = 2$ (במרחק $32$ מ׳, שם הוא מסתובב וחוזר) וב- $t = 6$ (בנקודת המוצא, $s = 0$ , ומשם הוא מתרחק שוב).

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

3 — המרחק בין שתי אוניות

ברגע היציאה A נמצאת 13 ק״מ מערבית לנמל O. A שטה מזרחה, ו-B יוצאת מ-O צפונה.

Interactive activity

אונייה $A$ נמצאת $13$ ק״מ מערבית לנמל $O$ ושטה מזרחה במהירות $12$ קמ״ש. באותו רגע אונייה $B$ יוצאת מהנמל צפונה במהירות $5$ קמ״ש. מתי המרחק ביניהן הקטן ביותר, ומהו?

\begin{aligned}OA &= 13 - 12t \\ \quad OB &= 5t\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $t$ בשעות.

הבעה

\begin{aligned}d^2 &= (13 - 12t)^2 + (5t)^2 \\ &= 169t^2 - 312t + 169\end{aligned}

פיתגורס; ממזערים את $d^2$ .

תחום

t \ge 0

הזמן מרגע היציאה. גם אחרי ש- $A$ עוברת את הנמל הנוסחה נכונה, כי $(13 - 12t)^2$ הוא ריבוע.

גזירה

\begin{aligned}(d^2)' &= 338t - 312 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= \frac{12}{13}\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום.

ערך

\begin{aligned}d^2 &= 169 \cdot \frac{144}{169} - 312 \cdot \frac{12}{13} + 169 \\ &= 144 - 288 + 169 \\ &= 25\end{aligned}

מציבים בזהירות.

תשובה

d_{min} = 5

אחרי $\frac{12}{13}$ שעה (כ- $55$ דקות), במרחק $5$ ק״מ.

בקצה $t = 0$ המרחק $13$ — גדול יותר. המינימום באמת בפנים.

Do the activity on elev

האם אונייה $A$ כבר עברה את הנמל ברגע המרחק הקטן ביותר?

Show the answer and the solution

לא. $OA = 13 - 12 \cdot \frac{12}{13} = \frac{25}{13} > 0$ — היא עדיין מערבית לנמל. הן הכי קרובות לפני ש- $A$ מגיעה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

4 — גדר שמחלקת חלקה

AD = BC = EF = x. הגדר EF מחלקת את החלקה לשני חלקים שווים.

Interactive activity

כמה גדר צריך לכל הפחות?

חלקה מלבנית בשטח $150$ מ״ר מגודרת מכל צדדיה, וגדר נוספת המקבילה לאחת הצלעות מחלקת אותה לשני חלקים שווים. מה אורך הגדר הכולל הקטן ביותר?

נסמן ב- $x$ את אורך הצלע המקבילה לגדר האמצעית. כמה קטעים באורך $x$ יש?

שניים

Show the answer and the solution

שכחתם את הגדר האמצעית: היא מקבילה לצלעות האלה ובאותו אורך.

שלושה

Show the answer and the solution

כן: שתי צלעות והגדר האמצעית.

\begin{aligned}L &= 3x + 2y \\ \quad xy &= 150\end{aligned}

ושני קטעים באורך $y$ .

איך מבטאים את $L$ במשתנה אחד?

$L(x) = 3x + \frac{300}{x}$

Show the answer and the solution

כן: $y = \frac{150}{x}$ , ו- $2y = \frac{300}{x}$ .

$L(x) = 3x + \frac{150}{x}$

Show the answer and the solution

יש שני קטעים באורך $y$ .

$L(x) = 3x + 150 - x$

Show the answer and the solution

השטח הוא מכפלה, לא סכום: $y = \frac{150}{x}$ .

\begin{aligned}L(x) &= 3x + \frac{300}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

איפה המינימום?

$x = 10$

Show the answer and the solution

כן: $3 - \frac{300}{x^2} = 0$ , ולכן $x^2 = 100$ .

$x = \sqrt{150}$

Show the answer and the solution

זה היה נכון לריבוע בלי גדר אמצעית. כאן המקדמים $3$ ו- $300$ .

\begin{aligned}x &= 10 \\ \quad y &= 15 \\ \quad L &= 30 + 30 \\ &= 60\end{aligned}

משמאל ל- $10$ הנגזרת שלילית, מימין חיובית.

Show the answer and the solution

$60$ מ׳ גדר: שלושה קטעים של $10$ מ׳ ושני קטעים של $15$ מ׳. ושוב שני המחוברים שווים במינימום: $3x = \frac{300}{x} = 30$ .

Do the activity on elev

האם היה משתלם יותר לשים את הגדר האמצעית מקבילה לצלע האחרת?

Show the answer and the solution

לא. הבעיה סימטרית: מי שמסמן אחרת מקבל את אותה פונקציה ואת אותם $60$ מ׳. הצלע שמקבילה לגדר האמצעית תמיד תצא הקצרה ( $10$ ).

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

5 — הקטע הארוך ביותר בין שני גרפים

הקטע האנכי AB בין y = √x לבין y = x/2

Interactive activity

נתונות $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{2}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך המקסימלי של $AB$ ?

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{x} \\ \quad g(x) &= \frac{x}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל».

חיתוך

\begin{aligned}\sqrt{x} &= \frac{x}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{x^2}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע. בודקים את שני הפתרונות במשוואה המקורית — שניהם מתאימים.

הבעה

\begin{aligned}L(x) &= \sqrt{x} - \frac{x}{2} \\ \quad 0 \le x \le 4\end{aligned}

בתחום הזה $\sqrt{x}$ מעל $\frac{x}{2}$ : ב- $x = 1$ , $1 > 0.5$ .

גזירה

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

משמאל ל- $1$ חיובית, מימין שלילית.

תשובה

\begin{aligned}L(1) &= 1 - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

בקצוות $L(0) = L(4) = 0$ .

ובנקודה $x = 1$ השיפועים שווים: $f'(1) = \frac{1}{2}$ — בדיוק השיפוע של $g$ .

Do the activity on elev

למה צריך לבדוק את נקודות החיתוך אחרי העלאה בריבוע?

Show the answer and the solution

העלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון זר. כאן שניהם טובים: $\sqrt{0} = 0$ ו- $\sqrt{4} = 2 = \frac{4}{2}$ ✓. אבל במשוואה אחרת פתרון זר היה משנה את התחום.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה. פתרו אותה לבד, באותם שלבים.

Exercises

Exercise 1

גיליון 16 על 10, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון פח שממדיו $16$ ס״מ על $10$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח המקסימלי של התיבה (בסמ״ק)?

Show the answer and the solution

Answer: 144

Worked solution:

\begin{aligned}V(x) &= x(16 - 2x)(10 - 2x) \\ &= 4x^3 - 52x^2 + 160x \\ \quad 0 < x < 5\end{aligned}

התחום לפי הצלע הקצרה

\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 104x + 160 \\ &= 4(3x - 20)(x - 2)\end{aligned}

x = 2 \quad \left(x = \frac{20}{3} \notin (0, 5)\right)

מקסימום: מ- $+$ ל- $-$

\begin{aligned}V(2) &= 2 \cdot 12 \cdot 6 \\ &= 144\end{aligned}

$x = \frac{20}{3}$ פותר את המשוואה, אבל $10 - 2 \cdot \frac{20}{3} < 0$ . התחום נקבע לפי הצלע הקצרה.

Check the answer on elev

Exercise 2

גוף נע על ישר. מרחקו מנקודת המוצא (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$ , עבור $0 \le t \le 5$ . מהו המרחק הגדול ביותר של הגוף מנקודת המוצא?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

\begin{aligned}s'(t) &= 3t^2 - 18t + 24 \\ &= 3(t - 2)(t - 4)\end{aligned}

\begin{aligned}s(0) &= 0 \\ \ s(2) &= 20 \\ \ s(4) &= 16 \\ \ s(5) &= 20\end{aligned}

שתי נקודות חשודות ושני קצוות

s_{max} = 20

ב- $t = 2$ וגם ב- $t = 5$

הקצה $t = 5$ נותן בדיוק את אותו ערך כמו המקסימום המקומי. בלי להציב את הקצוות, לא יודעים שהגוף חוזר ל- $20$ מ׳.

Check the answer on elev

Exercise 3

A נוסעת אל הצומת O, ו-B יוצאת מ-O בכביש המאונך.

רכב $A$ נמצא $25$ ק״מ מצומת $O$ ונוסע אליו במהירות $7$ קמ״ש. באותו רגע רכב $B$ יוצא מהצומת בכביש המאונך במהירות $24$ קמ״ש, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין הרכבים (בק״מ)?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\begin{aligned}d^2 &= (25 - 7t)^2 + (24t)^2 \\ &= 625t^2 - 350t + 625\end{aligned}

פיתגורס

\begin{aligned}(d^2)' &= 1250t - 350 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0.28\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}d^2 &= 625 \cdot 0.0784 - 98 + 625 \\ &= 49 - 98 + 625 \\ &= 576\end{aligned}

d = 24

ממזערים את $d^2$ — אבל עונים $\sqrt{576} = 24$ , לא $576$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

AD = EF = GH = BC = x. שתי גדרות מחלקות את החלקה לשלושה חלקים.

חלקה מלבנית בשטח $200$ מ״ר מגודרת מכל צדדיה, ושתי גדרות נוספות, המקבילות לאחת הצלעות, מחלקות אותה לשלושה חלקים, כמו בשרטוט. מה אורך הגדר הכולל הקטן ביותר (במ׳)?

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

\begin{aligned}L &= 4x + 2y \\ \quad xy &= 200\end{aligned}

ארבעה קטעים באורך $x$

\begin{aligned}L(x) &= 4x + \frac{400}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}L'(x) &= 4 - \frac{400}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}L(10) &= 40 + 40 \\ &= 80\end{aligned}

ספרו את הקטעים בשרטוט: ארבעה באורך $x$ (שתי צלעות ושתי גדרות) ושניים באורך $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הקטע האנכי AB בין y = 2√x לבין y = x/3

נתונות $f(x) = 2\sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{3}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך המקסימלי של $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}2\sqrt{x} &= \frac{x}{3} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 36\end{aligned}

בודקים במשוואה המקורית

\begin{aligned}L(x) &= 2\sqrt{x} - \frac{x}{3} \\ \quad 0 \le x \le 36\end{aligned}

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}L(9) &= 6 - 3 \\ &= 3\end{aligned}

הנגזרת של $2\sqrt{x}$ היא $\frac{1}{\sqrt{x}}$ — ה- $2$ מתבטל עם ה- $2$ שבמכנה. מי ששוכח אותו מקבל $x = \frac{9}{4}$ .

Check the answer on elev

1 — תיבה מגיליון מלבני

2 — תנועה בקטע סגור

3 — המרחק בין שתי אוניות

4 — גדר שמחלקת חלקה

5 — הקטע הארוך ביותר בין שני גרפים

Exercises

Keep practising on elev