Optimisation on graphs of functions · Optimization problems · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבגרות רבות מבעיות הקיצון לא מדברות על גדר או על קופסה, אלא על גרף: נקודה $P$ זזה על גרף של פונקציה, ואיתה זזים מלבן, משולש או קטע. הסוד: נקודה על הגרף היא $(x, f(x))$ — ומשם כל אורך בשרטוט מתבטא באמצעות $x$ בלבד.

תמונה: המלבן שמתחת לפרבולה

הקודקודים $P$ ו- $Q$ יושבים על הגרף $y = 12 - x^2$ , והבסיס על ציר ה- $x$ . אם $P = (x, 12 - x^2)$ , אז רוחב המלבן $2x$ (הגרף סימטרי) וגובהו $12 - x^2$ — שיעור ה- $y$ של הנקודה הוא הגובה.

מהו התחום של $x$ כאן?

Show the answer and the solution

$0 < x < \sqrt{12}$ . ב- $x = 0$ אין רוחב, וב- $x = \sqrt{12} \approx 3.46$ הגרף פוגש את ציר ה- $x$ ואין גובה.

Interactive activity

השטח המקסימלי של המלבן

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $y = 12 - x^2$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ . מהו השטח המקסימלי של המלבן?

$P = (x, 12 - x^2)$ עם $x > 0$ . מהו שטח המלבן?

$S = x(12 - x^2)$

Show the answer and the solution

זה חצי מלבן בלבד. $Q$ נמצא ב- $(-x, 12 - x^2)$ , ולכן הרוחב $2x$ .

$S = 2x(12 - x^2)$

Show the answer and the solution

כן. רוחב $2x$ כפול גובה $12 - x^2$ .

$S = 2x \cdot 12$

Show the answer and the solution

$12$ הוא הגובה של קודקוד הפרבולה, לא של $P$ . הגובה של $P$ הוא $f(x)$ .

\begin{aligned}S(x) &= 24x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{12}\end{aligned}

פותחים סוגריים.

איפה $S'(x) = 0$ בתחום?

$x = 2$

Show the answer and the solution

כן: $24 - 6x^2 = 0$ , ולכן $x^2 = 4$ . $x = -2$ מחוץ לתחום.

$x = \sqrt{12}$

Show the answer and the solution

זה קצה התחום — שם הגובה $0$ והשטח $0$ .

$x = 4$

Show the answer and the solution

$x^2 = 4$ נותן $x = 2$ , לא $4$ .

\begin{aligned}S'(x) &= 24 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

משמאל ל- $2$ הנגזרת חיובית, מימין שלילית: מקסימום.

Show the answer and the solution

$S(2) = 4 \cdot 8 = 32$ . המלבן: רוחב $4$ , גובה $8$ , והקודקוד $P = (2, 8)$ .

Do the activity on elev

הקטע האנכי בין שני גרפים

הקטע האנכי AB בין שני הגרפים

הקטע האנכי הארוך ביותר

הקטע $AB$ מאונך לציר ה- $x$ : $A$ על $f(x) = -x^2 + 6x$ ו- $B$ על $g(x) = x^2 - 2x$ , באותו $x$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך המקסימלי של $AB$ ?

\begin{aligned}-x^2 + 6x &= x^2 - 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ 4\end{aligned}

נקודות החיתוך קובעות את התחום $0 < x < 4$

\begin{aligned}L(x) &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 8x\end{aligned}

העליון פחות התחתון, באותו $x$

\begin{aligned}L'(x) &= -4x + 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום: הנגזרת עוברת מ- $+$ ל- $-$

L(2) = 8

$A = (2, 8)$ ו- $B = (2, 0)$

מה מיוחד בשיפועים של $f$ ושל $g$ בנקודה שבה הקטע הארוך ביותר?

Show the answer and the solution

הם שווים: $L'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$ , ולכן $f'(2) = g'(2) = 2$ . המשיקים ב- $A$ וב- $B$ מקבילים.

המרחק הקצר ביותר מנקודה לגרף

Interactive activity

מהו המרחק הקצר ביותר מהנקודה $A(0, 3)$ לגרף $y = x^2$ ?

A(0, 3), \quad P(x, x^2)

לחצו «להתחיל». נקודה כללית על הגרף היא $P(x, x^2)$ .

הבעה

\begin{aligned}d^2 &= (x - 0)^2 + (x^2 - 3)^2 \\ &= x^4 - 5x^2 + 9\end{aligned}

נוסחת המרחק — וממזערים את $d^2$ , בלי שורש.

גזירה

\begin{aligned}(d^2)' &= 4x^3 - 10x \\ &= 2x(2x^2 - 5)\end{aligned}

מוציאים גורם משותף.

נקודות חשודות

\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= \pm\sqrt{2.5}\end{aligned}

שלוש נקודות. בכל $x$ ממשי — אין קצוות.

סיווג

\begin{aligned}d^2(0) &= 9 \\ \quad d^2(\pm\sqrt{2.5}) &= 6.25 - 12.5 + 9 \\ &= 2.75\end{aligned}

ב- $x = 0$ יש מקסימום מקומי של המרחק; המינימום בשתי הנקודות הסימטריות.

תשובה

\begin{aligned}d_{min} &= \sqrt{2.75} \\ &= \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66\end{aligned}

הנקודות הקרובות ביותר: $(\pm\sqrt{2.5},\, 2.5)$ .

הקודקוד $(0, 0)$ נראה «הכי קרוב», אבל המרחק אליו $3$ . מה שנראה בעין צריך לעבור טבלת סימנים.

Do the activity on elev

המרחק מ-A(0, 3) לנקודה P על y = x²

שלושה משפטים שפותרים כמעט כל בעיה על גרף: נקודה על הגרף היא $(x, f(x))$ ; אורך אנכי הוא הפרש $y$ ; מרחק בין נקודות הוא $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ — וממזערים את הריבוע.

הטעויות של בעיות על גרף.

S = x(12 - x^2)

S = 2x(12 - x^2)

מלבן סימטרי לציר ה- $y$ : הרוחב $2x$ . בדקו תמיד מה $x$ מסמן בשרטוט.

L(x) = g(x) - f(x)

L(x) = f(x) - g(x)

אורך הוא העליון פחות התחתון. בדקו בנקודה אחת מי מעל: $f(1) = 5 > g(1) = -1$ .

\begin{aligned}d_{min} &= d(0) \\ &= 3\end{aligned}

d_{min} = \frac{\sqrt{11}}{2}

הקודקוד אינו בהכרח הנקודה הקרובה. $x = 0$ מאפס את הנגזרת — אבל כמקסימום מקומי.

Exercises

Exercise 1

מלבן מתחת לגרף y = 12 − x²

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $y = 12 - x^2$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח המקסימלי של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

\begin{aligned}P &= (x, 12 - x^2) \\ \quad 0 < x < \sqrt{12}\end{aligned}

\begin{aligned}S(x) &= 2x(12 - x^2) \\ &= 24x - 2x^3\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= 24 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום: מ- $+$ ל- $-$

\begin{aligned}S(2) &= 4 \cdot 8 \\ &= 32\end{aligned}

הרוחב הוא $2x$ , לא $x$ — $Q$ נמצא ב- $-x$ . מי שכותב $x(12 - x^2)$ מוצא את אותו $x$ אבל שטח $16$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מלבן ברביע הראשון, P על הגרף y = 9 − x²

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעותיו על הצירים, והקודקוד $P$ על הגרף $y = 9 - x^2$ , כמו בשרטוט. מהו השטח המקסימלי של המלבן? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 10.39

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= x(9 - x^2) \\ &= 9x - x^3 \\ \quad 0 < x < 3\end{aligned}

כאן הרוחב $x$ — המלבן מתחיל בראשית

\begin{aligned}S'(x) &= 9 - 3x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

\begin{aligned}S(\sqrt{3}) &= \sqrt{3} \cdot 6 \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

כאן המלבן אינו סימטרי — צלע אחת על ציר ה- $y$ , והרוחב $x$ . במלבן סימטרי לציר ה- $y$ הרוחב היה $2x$ — קראו בשרטוט איפה המלבן מתחיל.

Check the answer on elev

Exercise 3

הקטע האנכי AB בין שני הגרפים

נתונות $f(x) = -x^2 + 6x$ ו- $g(x) = x^2 - 2x$ . ישר המאונך לציר ה- $x$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך המקסימלי של $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= g(x) \ \Rightarrow \ 2x^2 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ 4\end{aligned}

נקודות החיתוך

\begin{aligned}L(x) &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 8x \\ \quad 0 < x < 4\end{aligned}

העליון פחות התחתון

\begin{aligned}L'(x) &= -4x + 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}L(2) &= -8 + 16 \\ &= 8\end{aligned}

אורך הוא הפרש גבהים באותו $x$ — לא מרחק בין נקודות קיצון של כל גרף לחוד.

Check the answer on elev

Exercise 4

המרחק מ-A(0, 3) לנקודה P על y = x²

מהו המרחק הקצר ביותר מהנקודה $A(0, 3)$ לגרף $y = x^2$ ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 1.66

Worked solution:

\begin{aligned}d^2 &= x^2 + (x^2 - 3)^2 \\ &= x^4 - 5x^2 + 9\end{aligned}

\begin{aligned}(d^2)' &= 2x(2x^2 - 5) \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}d^2(0) &= 9 \\ \quad d^2(\pm\sqrt{2.5}) &= 2.75\end{aligned}

משווים

d = \sqrt{2.75} \approx 1.66

$x = 0$ מאפס את הנגזרת — אבל שם המרחק מקסימלי מקומית ( $3$ ). ואל תשכחו להוציא שורש מ- $2.75$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

המרחק מ-A(0, 3) לנקודה P על y = x²

באילו נקודות על הגרף $y = x^2$ המרחק מהנקודה $A(0, 3)$ הקטן ביותר?

$(\sqrt{2.5},\, 2.5)$ בלבד
$(\pm\sqrt{2.5},\, 2.5)$
$(\pm 1,\, 1)$
$(0,\, 0)$

Show the answer and the solution

Answer: B $(\pm\sqrt{2.5},\, 2.5)$

Worked solution:

\begin{aligned}(d^2)' &= 2x(2x^2 - 5) \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \pm\sqrt{2.5} \ \Rightarrow \ y \\ &= 2.5\end{aligned}

מינימום בשתיהן

\begin{aligned}d^2(0) &= 9 > 2.75 \\ \quad d^2(\pm 1) &= 5 > 2.75\end{aligned}

הנכונה: $(\pm\sqrt{2.5},\, 2.5)$ . הגרף והנקודה סימטריים לציר ה- $y$ , ולכן יש שתי נקודות קרובות. $(0, 0)$ נמצאת במרחק $3$ — מקסימום מקומי.

Check the answer on elev

Exercise 6

המרחק מ-A(4, 0) לנקודה P על הגרף y = √x

מהו המרחק הקצר ביותר מהנקודה $A(4, 0)$ לגרף $y = \sqrt{x}$ , כמו בשרטוט? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 1.94

Worked solution:

\begin{aligned}P &= (x, \sqrt{x}) \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

\begin{aligned}d^2 &= (x - 4)^2 + x \\ &= x^2 - 7x + 16\end{aligned}

$(\sqrt{x})^2 = x$

\begin{aligned}(d^2)' &= 2x - 7 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5\end{aligned}

מינימום; גם $d^2(0) = 16$ גדול יותר

d = \sqrt{3.75} \approx 1.94

ריבוע של $\sqrt{x}$ הוא $x$ — לא $\sqrt{x}$ ולא $x^2$ . והתחום $x \ge 0$ סגור משמאל: בודקים גם את $x = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

המרחק מ-A(4, 0) לנקודה P על הגרף y = √x

מחפשים את המרחק הקצר ביותר מ- $A(4, 0)$ לגרף $y = \sqrt{x}$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

d^2 = (x - 4)^2 + (\sqrt{x})^2

d^2 = x^2 - 8x + 16 + \sqrt{x}

(d^2)' = 2x - 7

x = 3.5

Show the answer and the solution

Answer: $d^2 = x^2 - 8x + 16 + \sqrt{x}$ → $d^2 = x^2 - 7x + 16$

Worked solution:

(\sqrt{x})^2 = x

הריבוע מבטל את השורש

x^2 - 8x + 16 + x = x^2 - 7x + 16

$(\sqrt{x})^2 = x$ . מי שמשאיר $\sqrt{x}$ מקבל נגזרת עם שבר, ומפסיד את כל היתרון של מזעור $d^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

המשולש OAP, P על הגרף y = 9 − x²

$P$ נקודה על הגרף $y = 9 - x^2$ ברביע הראשון, ו- $A$ היטלה על ציר ה- $x$ . $O$ ראשית הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח המקסימלי של המשולש $OAP$ ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 5.2

Worked solution:

\begin{aligned}OA &= x \\ \quad AP &= 9 - x^2 \\ \quad 0 < x < 3\end{aligned}

משולש ישר-זווית ב- $A$

S(x) = \frac{x(9 - x^2)}{2}

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{9 - 3x^2}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

\begin{aligned}S(\sqrt{3}) &= \frac{\sqrt{3} \cdot 6}{2} \\ &= 3\sqrt{3} \approx 5.20\end{aligned}

זה חצי מהמלבן של אותה נקודה — ולכן המקסימום באותו $x = \sqrt{3}$ . מי ששוכח את החצי עונה $10.39$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

מלבן מתחת לגרף y = 4/x

$P$ נקודה על הגרף $y = \frac{4}{x}$ ברביע הראשון. המלבן שצלעותיו על הצירים וקודקודו $P$ (כמו בשרטוט) — שטחו זהה לכל מיקום של $P$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}P &= \left(x, \frac{4}{x}\right) \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}S &= x \cdot \frac{4}{x} \\ &= 4\end{aligned}

לא תלוי ב- $x$

נכון: השטח תמיד $4$ . כאן אין מה למקסם — וזה בדיוק מה ששואלים לפעמים. לפני שגוזרים, מפשטים.

Check the answer on elev

Exercise 10

מלבן מתחת לגרף y = 4/x

$P$ נקודה על הגרף $y = \frac{4}{x}$ ברביע הראשון. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן שצלעותיו על הצירים וקודקודו $P$ , כמו בשרטוט?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}L(x) &= 2\left(x + \frac{4}{x}\right) \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}L'(x) &= 2\left(1 - \frac{4}{x^2}\right) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מינימום: מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}L(2) &= 2(2 + 2) \\ &= 8\end{aligned}

השטח קבוע, אבל ההיקף לא: הוא מינימלי כשהמלבן הוא ריבוע $2 \times 2$ . אל תשכחו את ה- $2$ שלפני הסוגריים.

Check the answer on elev

תמונה: המלבן שמתחת לפרבולה

הקטע האנכי בין שני גרפים

המרחק הקצר ביותר מנקודה לגרף

Exercises

Keep practising on elev