Optimisation: rational functions · Optimization problems · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבעיות האלה יש שני משתנים — צלע וגובה, אורך ורוחב — ונתון קבוע שקושר ביניהם: נפח, שטח. הנתון הקבוע הוא המפתח: ממנו מבטאים משתנה אחד באמצעות השני, ומשם נולד השבר $\frac{k}{x}$ .

קודם נזכרים: ענף, אסימפטוטה, והתנהגות בקצוות

בתיבה שנפחה $32$ סמ״ק ובסיסה ריבוע שצלעו $x$ : מה קורה לגובה כש- $x$ קטן מאוד, ומה קורה לשטח הדפנות?

Show the answer and the solution

הגובה $h = \frac{32}{x^2}$ מתפוצץ: תיבה צרה וגבוהה מאוד, עם דפנות עצומות. וכש- $x$ גדול מאוד — בסיס עצום. בשני הקצוות צריך הרבה פח, ולכן יש מינימום באמצע.

האילוץ מסלק משתנה

\begin{aligned}x^2 h &= 32 \ \Longrightarrow \ h \\ &= \frac{32}{x^2}\end{aligned}

משתנה אחד במקום שניים — זה כל התפקיד של הנתון הקבוע

תיבה פתוחה בנפח 32, בשטח פח מינימלי

תיבה פתוחה מלמעלה, בסיס ריבועי שצלעו $x$ , גובה $h$ , נפח $32$ סמ״ק. כמה פח דרוש לכל הפחות?

h = \frac{32}{x^2}

האילוץ

S = x^2 + 4xh

בסיס אחד וארבע דפנות — אין מכסה

\begin{aligned}S(x) &= x^2 + \frac{128}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

מציבים — ונשאר משתנה אחד. התחום פתוח

\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{128}{x^2} \\ &= \frac{2(x^3 - 64)}{x^2}\end{aligned}

מכנה משותף

\begin{aligned}x^3 &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \quad S(4) &= 16 + 32 \\ &= 48\end{aligned}

שטח פח מינימלי: $48$ סמ״ר

מדוע בתיבה פתוחה השטח הוא $x^2 + 4xh$ ולא $2x^2 + 4xh$ ?

Show the answer and the solution

כי אין מכסה: בסיס אחד בלבד. בתיבה סגורה היו שני בסיסים — $2x^2$ . סמנו בשרטוט מה פתוח ומה סגור לפני שכותבים את השטח.

פותרים יחד: הכרזה עם שוליים

Interactive activity

כרזה בשטח הדפסה קבוע

על כרזה מלבנית מדפיסים אזור מלבני בשטח $96$ סמ״ר. משמאל ומימין לאזור נשארים שוליים של $2$ ס״מ, ולמעלה ולמטה $3$ ס״מ. מהו השטח הקטן ביותר של הכרזה כולה?

נסמן ב- $x$ את רוחב אזור ההדפסה. מהו גובהו?

$96 - x$

Show the answer and the solution

זה היה נכון אילו ההיקף היה נתון. נתון השטח — ולכן מחלקים.

$\frac{96}{x}$

Show the answer and the solution

כן. רוחב כפול גובה שווה $96$ .

$\frac{x}{96}$

Show the answer and the solution

הפוך: $x \cdot \frac{x}{96}$ אינו $96$ .

y = \frac{96}{x}

האילוץ.

מהם ממדי הכרזה כולה?

$(x + 2)$ על $(y + 3)$

Show the answer and the solution

יש שוליים משני הצדדים: $2 + 2$ ברוחב ו- $3 + 3$ בגובה.

$(x + 4)$ על $(y + 6)$

Show the answer and the solution

כן. שוליים משני הצדדים.

\begin{aligned}A(x) &= (x + 4)\left(\frac{96}{x} + 6\right) \\ &= 120 + 6x + \frac{384}{x}\end{aligned}

פותחים סוגריים. התחום: $x > 0$ .

איפה $A'(x) = 0$ ?

$6 + \frac{384}{x^2} = 0$

Show the answer and the solution

הנגזרת של $\frac{384}{x}$ היא $-\frac{384}{x^2}$ — עם מינוס.

$6 - \frac{384}{x^2} = 0$

Show the answer and the solution

כן. ומכאן $x^2 = 64$ .

\begin{aligned}x^2 &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8 \\ \quad y &= 12\end{aligned}

משמאל ל- $8$ הנגזרת שלילית, מימין חיובית: מינימום.

Show the answer and the solution

הכרזה $12$ על $18$ , ושטחה $216$ סמ״ר. בדיקה: $A(8) = 120 + 48 + 48 = 216$ ✓.

Do the activity on elev

הפתרון של $x^2 = 64$ הוא גם $x = -8$ . למה לא כותבים אותו?

Show the answer and the solution

בגלל התחום: $x$ הוא רוחב, ולכן $x > 0$ . הפתרון השלילי נפסל בגלל משמעות הבעיה, לא בגלל החשבון.

שבר כמו $\frac{128}{x}$ נגזר הכי בקלות אחרי שכותבים אותו $128x^{-1}$ : הנגזרת $-128x^{-2}$ . בלי כלל המנה, ובלי לאבד את המינוס. ובמינימום של $ax + \frac{b}{x}$ שני המחוברים שווים — בדיקה מהירה לתשובה.

שלוש טעויות של בעיות עם אילוץ.

S = 2x^2 + 4xh

S = x^2 + 4xh

תיבה פתוחה: בסיס אחד. קראו את השאלה פעמיים.

\left(\frac{128}{x}\right)' = \frac{128}{x^2}

\left(\frac{128}{x}\right)' = -\frac{128}{x^2}

בלי המינוס המשוואה $2x + \frac{128}{x^2} = 0$ אין לה פתרון חיובי — וזה סימן שטעיתם.

\begin{aligned}x^2 &= 64 \Rightarrow x \\ &= \pm 8\end{aligned}

x > 0 \Rightarrow x = 8

אורך חיובי. התחום פוסל את $-8$ .

Exercises

Exercise 1

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. מהו הביטוי לגובה התיבה?

$h = 32 - x^2$
$h = \frac{x^2}{32}$
$h = \frac{32}{x}$
$h = \frac{32}{x^2}$

Show the answer and the solution

Answer: D $h = \frac{32}{x^2}$

Worked solution:

x^2 \cdot h = 32

נפח = שטח בסיס כפול גובה

h = \frac{32}{x^2}

הנכונה: $h = \frac{32}{x^2}$ . $\frac{32}{x}$ שוכח שהבסיס הוא $x^2$ , ו- $32 - x^2$ מחסר במקום לחלק.

Check the answer on elev

Exercise 2

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. מהו הביטוי לשטח הפח הדרוש?

$S(x) = x^2 + \frac{32}{x}$
$S(x) = x^2 + \frac{128}{x^2}$
$S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$
$S(x) = 2x^2 + \frac{128}{x}$

Show the answer and the solution

Answer: C $S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$

Worked solution:

S = x^2 + 4xh

בסיס אחד וארבע דפנות

\begin{aligned}S &= x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} \\ &= x^2 + \frac{128}{x}\end{aligned}

הנכונה: $S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$ . $2x^2$ מוסיף מכסה שאין, $\frac{32}{x}$ סופר דופן אחת במקום ארבע.

Check the answer on elev

Exercise 3

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. מצאו את $x$ שעבורו שטח הפח מינימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= x^2 + \frac{128}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{128}{x^2} \\ &= 0\end{aligned}

$\frac{128}{x} = 128x^{-1}$

\begin{aligned}2x^3 &= 128 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מכפילים ב- $x^2 > 0$

S'(2) < 0, \quad S'(5) > 0

מינימום

מי ששוכח את המינוס בנגזרת של $\frac{128}{x}$ מקבל $2x^3 = -128$ — ואין פתרון חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 4

תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ , כמו בשרטוט. נפח התיבה $32$ סמ״ק. חשבו את שטח הפח המינימלי (בסמ״ר).

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

x = 4

נקודת המינימום

\begin{aligned}S(4) &= 16 + \frac{128}{4} \\ &= 16 + 32 \\ &= 48\end{aligned}

מציבים ב- $S$

\begin{aligned}h &= \frac{32}{16} \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: הגובה חצי מהצלע

נשאל השטח, לא $x$ . ובסיס $4 \times 4$ עם גובה $2$ נותן באמת נפח $32$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x) = x + \frac{9}{x}$ בתחום $x > 0$ . מצאו את $x$ שבו $f$ מינימלית.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{9}{x^2} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

רק החיובי בתחום

f'(1) < 0, \quad f'(4) > 0

מינימום

$x = -3$ נפסל בגלל התחום. ובמינימום שני המחוברים שווים: $3 = \frac{9}{3}$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו הערך הקטן ביותר של $f(x) = x + \frac{16}{x}$ בתחום $x > 0$ ?

$17$
$-8$
$8$
$4$

Show the answer and the solution

Answer: C $8$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{16}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}f(4) &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

הנכונה: $8$ . $4$ הוא המקום ( $x$ ), לא הערך. $17$ הוא $f(1)$ — סתם נקודה. $-8$ מתקבל ב- $x = -4$ , מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 7

הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 200 מ״ר.

חלקה מלבנית בשטח $200$ מ״ר צמודה לקיר, כמו בשרטוט. גודרים את שלושת הצדדים שאינם על הקיר. מהו אורך הגדר הקצר ביותר (במ׳)?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= CD \\ &= x \\ \quad BC &= \frac{200}{x}\end{aligned}

האילוץ: השטח

\begin{aligned}L(x) &= 2x + \frac{200}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

אורך הגדר

\begin{aligned}L'(x) &= 2 - \frac{200}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מינימום: מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}L(10) &= 20 + 20 \\ &= 40\end{aligned}

הגדר אינה היקף מלא: הקיר חוסך צד אחד. מי שכותב $2x + \frac{400}{x}$ גודר גם את הקיר.

Check the answer on elev

Exercise 8

EFGH — אזור ההדפסה. שוליים של 2 ס״מ מימין ומשמאל, ו-3 ס״מ למעלה ולמטה.

על כרזה מלבנית מדפיסים אזור מלבני בשטח $96$ סמ״ר. משמאל ומימין נשארים שוליים של $2$ ס״מ, ולמעלה ולמטה $3$ ס״מ, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של הכרזה (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 216

Worked solution:

\begin{aligned}EF &= x \\ \quad FG &= \frac{96}{x}\end{aligned}

אזור ההדפסה

\begin{aligned}A(x) &= (x + 4)\left(\frac{96}{x} + 6\right) \\ &= 120 + 6x + \frac{384}{x}\end{aligned}

הכרזה כולה

\begin{aligned}A'(x) &= 6 - \frac{384}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}A(8) &= 12 \cdot 18 \\ &= 216\end{aligned}

השוליים נמצאים משני צדי האזור: $x + 4$ ולא $x + 2$ . ובתשובה — שטח הכרזה, לא שטח ההדפסה ( $96$ ).

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל פונקציה (בתחום $x > 0$ ) את הנקודה שבה היא מינימלית

$x + \frac{4}{x}$
$x + \frac{25}{x}$
$4x + \frac{1}{x}$
$x^2 + \frac{54}{x}$

$x = \frac{1}{2}$
$x = 2$
$x = 3$
$x = 5$

Show the answer and the solution

Answer: $x + \frac{4}{x}$ — $x = 2$ · $x + \frac{25}{x}$ — $x = 5$ · $4x + \frac{1}{x}$ — $x = \frac{1}{2}$ · $x^2 + \frac{54}{x}$ — $x = 3$

Worked solution:

\begin{aligned}\left(x + \frac{k}{x}\right)' &= 1 - \frac{k}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{k}\end{aligned}

\begin{aligned}4 - \frac{1}{x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}2x - \frac{54}{x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הכלל $x = \sqrt{k}$ נכון רק ל- $x + \frac{k}{x}$ . כשיש מקדם ( $4x$ ) או חזקה ( $x^2$ ) — גוזרים מחדש.

Check the answer on elev

Exercise 10

בבעיית קיצון עם פונקציה רציונלית אין צורך לקבוע תחום, כי מספיק לדעת איפה המכנה מתאפס.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

S(x) = x^2 + \frac{128}{x}

המכנה מתאפס רק ב- $x = 0$

x > 0

אבל $x$ הוא אורך צלע

\begin{aligned}x &= -4 \ \Rightarrow \ S(-4) \\ &= -16\end{aligned}

ערך «שטח» שלילי — חסר משמעות

לא נכון. בפונקציה רציונלית יש שני מקורות לתחום: איסור ההצבה, וגם משמעות הגודל בבעיה. אורך חייב להיות חיובי גם כשהמכנה מוגדר.

Check the answer on elev

קודם נזכרים: ענף, אסימפטוטה, והתנהגות בקצוות

האילוץ מסלק משתנה

פותרים יחד: הכרזה עם שוליים

Exercises

Keep practising on elev