Set 5 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות ברמת הבגרות: פרמטרים, נקודה חשודה שנופלת מחוץ לתחום, מינימום שיושב בקצה, ושאלות «האם נכון ש…».

בבגרות הנימוק שווה נקודות: כתבו במילים מה xx, מה התחום ולמה, ואיך סיווגתם. תשובה נכונה בלי טבלת סימנים אינה תשובה מלאה.

Exercises

Exercise 1

גיליון 24 על 15, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx024015

מגיליון שממדיו 2424 ס״מ על 1515 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

Show the answer and the solution

Answer: 486

Worked solution:

V(x)=x(24−2x)(15−2x)=4x3−78x2+360x0<x<7.5\begin{aligned}V(x) &= x(24 - 2x)(15 - 2x) \\ &= 4x^3 - 78x^2 + 360x \\ \quad 0 < x < 7.5\end{aligned}
V′(x)=12x2−156x+360=12(x−3)(x−10)\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 156x + 360 \\ &= 12(x - 3)(x - 10)\end{aligned}
x=3(x=10∉(0,7.5))x = 3 \quad (x = 10 \notin (0, 7.5))

מקסימום

V(3)=3⋅18⋅9=486\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot 18 \cdot 9 \\ &= 486\end{aligned}

x=10x = 10 «מתאים» לצלע של 2424, אבל 15−20<015 - 20 < 0. תמיד הצלע הקצרה קובעת.

Check the answer on elev

Exercise 2

מלבן בחצי מעגל שרדיוסו 5
Px-50505x

בחצי מעגל שרדיוסו 55 חסום מלבן שבסיסו על הקוטר, כמו בשרטוט. מהו ההיקף הגדול ביותר של המלבן? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 22.36

Worked solution:

P(x)=4x+225−x20<x<5\begin{aligned}P(x) &= 4x + 2\sqrt{25 - x^2} \\ \quad 0 < x < 5\end{aligned}

בסיס 2x2x פעמיים, גובה פעמיים

P′(x)=4−2x25−x2=0 ⇒ 225−x2=x\begin{aligned}P'(x) &= 4 - \frac{2x}{\sqrt{25 - x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 2\sqrt{25 - x^2} \\ &= x\end{aligned}
4(25−x2)=x2 ⇒ x=25\begin{aligned}4(25 - x^2) &= x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

בדיקה: 25=225−202\sqrt{5} = 2\sqrt{25 - 20} ✓

P=85+25=105≈22.36\begin{aligned}P &= 8\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \\ &= 10\sqrt{5} \approx 22.36\end{aligned}

כאן אין טריק של ריבוע: PP הוא סכום, לא מכפלה. והמלבן עם ההיקף הגדול אינו המלבן עם השטח הגדול (x≈3.54x \approx 3.54).

Check the answer on elev

Exercise 3

המרחק מראשית הצירים לנקודה P על y = x² − 6

מהו המרחק הקצר ביותר מראשית הצירים לגרף y=x2−6y = x^2 - 6? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 2.4

Worked solution:

d2=x2+(x2−6)2=x4−11x2+36\begin{aligned}d^2 &= x^2 + (x^2 - 6)^2 \\ &= x^4 - 11x^2 + 36\end{aligned}
(d2)′=2x(2x2−11)=0 ⇒ x=0 x2=5.5\begin{aligned}(d^2)' &= 2x(2x^2 - 11) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x^2 &= 5.5\end{aligned}
d2(0)=36d2(±5.5)=30.25−60.5+36=5.75\begin{aligned}d^2(0) &= 36 \\ \quad d^2(\pm\sqrt{5.5}) &= 30.25 - 60.5 + 36 \\ &= 5.75\end{aligned}
d=5.75≈2.40d = \sqrt{5.75} \approx 2.40

הקודקוד (0,−6)(0, -6) במרחק 66 — מקסימום מקומי של המרחק. הנקודות הקרובות: (±5.5,−0.5)(\pm\sqrt{5.5}, -0.5).

Check the answer on elev

Exercise 4

האם נכון ש: לכל 0<a<120 < a < \frac{1}{2}, הנקודה על הגרף y=xy = \sqrt{x} הקרובה ביותר לנקודה (a,0)(a, 0) היא ראשית הצירים?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

d2=(x−a)2+x=x2+(1−2a)x+a2x≥0\begin{aligned}d^2 &= (x - a)^2 + x \\ &= x^2 + (1 - 2a)x + a^2 \\ \quad x \ge 0\end{aligned}
(d2)′=2x+1−2a>0(d^2)' = 2x + 1 - 2a > 0

כי 1−2a>01 - 2a > 0 ו-x≥0x \ge 0

dmin2=d2(0)=a2\begin{aligned}d^2_{min} &= d^2(0) \\ &= a^2\end{aligned}

המינימום בקצה

נכון. d2d^2 עולה בכל התחום, ולכן המינימום בקצה x=0x = 0 — שם הנגזרת אינה אפס. אין נקודה חשודה, ובכל זאת יש מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 5

xhx
תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

תיבה פתוחה מלמעלה, בסיסה ריבוע שצלעו xx ונפחה VV, כמו בשרטוט. שטח הפח הקטן ביותר האפשרי הוא 7575 סמ״ר. מצאו את VV (בסמ״ק).

Show the answer and the solution

Answer: 62.5

Worked solution:

S(x)=x2+4VxS(x) = x^2 + \frac{4V}{x}

h=Vx2h = \frac{V}{x^2}

S′(x)=2x−4Vx2=0 ⇒ x3=2V\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{4V}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 2V\end{aligned}
Smin=x2+4Vx=x2+2x2=3x2\begin{aligned}S_{min} &= x^2 + \frac{4V}{x} \\ &= x^2 + 2x^2 \\ &= 3x^2\end{aligned}

4V=2x34V = 2x^3

3x2=75 ⇒ x=5V=1252=62.5\begin{aligned}3x^2 &= 75 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \quad V &= \frac{125}{2} \\ &= 62.5\end{aligned}

הפרמטר VV נשאר בפנים עד הסוף: 4Vx=2x2\frac{4V}{x} = 2x^2 במינימום. מי שמנסה למצוא xx לפני שמשווה ל-7575 נתקע.

Check the answer on elev

Exercise 6

המשולש OAP, P על הגרף y = √(18 − x)
OAP0369121518012345xy

PP נקודה על הגרף y=18−xy = \sqrt{18 - x} עם 0<x<180 < x < 18, ו-AA היטלה על ציר ה-xx. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש OAPOAP (OO ראשית הצירים), כמו בשרטוט? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 14.7

Worked solution:

S(x)=x18−x2S(x) = \frac{x\sqrt{18 - x}}{2}
S′(x)=12(18−x−x218−x)=36−3x418−x\begin{aligned}S'(x) &= \frac{1}{2}\left(\sqrt{18 - x} - \frac{x}{2\sqrt{18 - x}}\right) \\ &= \frac{36 - 3x}{4\sqrt{18 - x}}\end{aligned}
36−3x=0 ⇒ x=12\begin{aligned}36 - 3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

מקסימום: המונה עובר מ-++ ל-−-

S(12)=1262=66≈14.70\begin{aligned}S(12) &= \frac{12\sqrt{6}}{2} \\ &= 6\sqrt{6} \approx 14.70\end{aligned}

הנגזרת הפנימית של 18−x18 - x היא −1-1 — ממנה בא המינוס. ובקצוות השטח 00, כך שהמקסימום באמת בפנים.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x בקטע [0,a][0, a], כאשר a>2a > 2. הערך הגדול ביותר של ff בקטע הוא 1818. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=3x2−3=0 ⇒ x=1\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

בקטע: מינימום f(1)=−2f(1) = -2

f(0)=0f(a)=a3−3a\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(a) &= a^3 - 3a\end{aligned}

המקסימום בקצה

a3−3a=18 ⇒ (a−3)(a2+3a+6)=0\begin{aligned}a^3 - 3a &= 18 \ \Rightarrow \ (a - 3)(a^2 + 3a + 6) \\ &= 0\end{aligned}
a=3a = 3

לגורם הריבועי אין פתרונות

הנקודה החשודה היחידה היא מינימום, ולכן המקסימום בקצה aa. מי שמחפש את המקסימום ב-f′(x)=0f'(x) = 0 לא ימצא אותו.

Check the answer on elev

Exercise 8

PQB
PQ = 3, QB = 2. חותרים מ-P אל נקודה על הקטע QB, והולכים משם אל B.

סירה נמצאת 33 ק״מ מחוף ישר, מול הנקודה QQ. עיירה BB נמצאת על החוף 22 ק״מ מ-QQ, כמו בשרטוט. חותרים ב-33 קמ״ש והולכים ב-55 קמ״ש. לאיזו נקודה על הקטע QBQB כדאי לחתור כדי להגיע מהר ביותר?

  1. לנקודה במרחק 11 ק״מ מ-QQ
  2. לנקודה במרחק 2.252.25 ק״מ מ-QQ
  3. ישירות לעיירה BB
  4. לנקודה QQ
Show the answer and the solution

Answer: C ישירות לעיירה BB

Worked solution:

T(x)=x2+93+2−x50≤x≤2\begin{aligned}T(x) &= \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3} + \frac{2 - x}{5} \\ \quad 0 \le x \le 2\end{aligned}
T′(x)=0 ⇒ x=2.25∉[0,2]\begin{aligned}T'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2.25 \notin [0, 2]\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לקטע

T′(x)<0,0≤x≤2T'(x) < 0, \quad 0 \le x \le 2

TT יורדת בכל הקטע

T(2)=133≈1.20<T(0)=1.4\begin{aligned}T(2) &= \frac{\sqrt{13}}{3} \approx 1.20 < T(0) \\ &= 1.4\end{aligned}

הנכונה: ישירות לעיירה BB. 2.252.25 פותר את T′(x)=0T'(x) = 0 — אבל הוא מעבר לעיירה, מחוץ לקטע. כש-TT יורדת כל הדרך, המינימום בקצה.

Check the answer on elev

Exercise 9

הקטע האנכי AB בין y = 4x לבין y = x³
AB00.511.52012345678xy

נתונות f(x)=4xf(x) = 4x ו-g(x)=x3g(x) = x^3. ישר המקביל לציר ה-yy חותך אותן ב-AA וב-BB, עבור 0≤x≤20 \le x \le 2, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 3.08

Worked solution:

L(x)=4x−x30≤x≤2\begin{aligned}L(x) &= 4x - x^3 \\ \quad 0 \le x \le 2\end{aligned}

בקטע הזה 4x≥x34x \ge x^3

L′(x)=4−3x2=0 ⇒ x=23\begin{aligned}L'(x) &= 4 - 3x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}}\end{aligned}
L=83−833=1633≈3.08\begin{aligned}L &= \frac{8}{\sqrt{3}} - \frac{8}{3\sqrt{3}} \\ &= \frac{16}{3\sqrt{3}} \approx 3.08\end{aligned}
L(0)=L(2)=0\begin{aligned}L(0) &= L(2) \\ &= 0\end{aligned}

הקצוות

(23)3=833\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8}{3\sqrt{3}}, לא 83\frac{8}{\sqrt{3}}. חשבו חזקה של שבר עם שורש לאט.

Check the answer on elev

Exercise 10

xhx
תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

סדרו את שורות הפתרון: תיבה פתוחה עם בסיס ריבועי, ששטח הפח המינימלי שלה 7575. מצאו את הנפח VV.

  • Smin=3x2=75S_{min} = 3x^2 = 75
  • S′(x)=2x−4Vx2=0S'(x) = 2x - \frac{4V}{x^2} = 0
  • S(x)=x2+4VxS(x) = x^2 + \frac{4V}{x}
  • x=5, V=62.5x = 5, \ V = 62.5
  • x3=2Vx^3 = 2V
Show the answer and the solution

Answer: S(x)=x2+4VxS(x) = x^2 + \frac{4V}{x} · S′(x)=2x−4Vx2=0S'(x) = 2x - \frac{4V}{x^2} = 0 · x3=2Vx^3 = 2V · Smin=3x2=75S_{min} = 3x^2 = 75 · x=5, V=62.5x = 5, \ V = 62.5

Worked solution:

S→S′→x3=2V→Smin→VS \to S' \to x^3 = 2V \to S_{min} \to V

הפונקציה, הנגזרת, הקשר, ההשוואה לנתון, התשובה

אי אפשר להשוות ל-7575 לפני שיודעים איפה המינימום: קודם x3=2Vx^3 = 2V, ורק אז Smin=3x2S_{min} = 3x^2.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade