Practice · Optimization problems · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: בעיות מספרים ותנועה, קטע סגור, גדר ותיבה, נקודה שזזה על גרף, אילוץ שיוצר שבר, ושורש שנכנס דרך פיתגורס. בכל שאלה: סימון, הבעה, תחום, גזירה, סיווג — ותשובה למה שנשאל.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + 2y = 20$ . מהי המכפלה $xy$ הגדולה ביותר?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 20 - 2y \\ \quad 0 < y < 10\end{aligned}

מבטאים משתנה אחד, ורושמים תחום

\begin{aligned}P(y) &= y(20 - 2y) \\ &= 20y - 2y^2\end{aligned}

\begin{aligned}P'(y) &= 20 - 4y \\ &= 0 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

$P'$ עובר מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}x &= 10 \\ \quad P &= 50\end{aligned}

המכפלה הגדולה ביותר היא $50$ , עבור $x = 10$ ו- $y = 5$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

ילד בגן סאקר בירושלים זורק כדור ישר למעלה. גובה הכדור (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = 20t - 5t^2$ , עבור $0 \le t \le 4$ . מהו הגובה הגדול ביותר של הכדור?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

\begin{aligned}h'(t) &= 20 - 10t \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(2) &= 40 - 20 \\ &= 20 \\ \quad h(4) &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

הגובה הגדול ביותר הוא $20$ מטרים, אחרי $2$ שניות. שאלו על הגובה — לא על הזמן.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את הערך הקטן ביותר של $f(x) = x^3 - 12x$ בקטע $[0, 3]$ .

Show the answer and the solution

Answer: -16

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$x = -2$ מחוץ לקטע

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16 \\ \quad f(3) &= 27 - 36 \\ &= -9\end{aligned}

המועמדים: הנקודה החשודה והקצוות

הערך הקטן ביותר בקטע הוא $-16$ , ב- $x = 2$ .

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

במושב בעמק יזרעאל רוצים לגדר ערוגה מלבנית שצלע אחת שלה צמודה לקיר של מחסן, ולכן מגדרים רק שלוש צלעות. יש $60$ מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של הערוגה (במ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 450

Worked solution:

x \ ,\ 60 - 2x

שתי צלעות מאונכות לקיר, $x$ , והצלע המקבילה לקיר

\begin{aligned}S(x) &= x(60 - 2x) \\ \quad 0 < x < 30\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= 60 - 4x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 15\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(15) &= 15 \cdot 30 \\ &= 450\end{aligned}

השטח הגדול ביותר הוא $450$ מ״ר: $15$ מ׳ על $30$ מ׳.

Check the answer on elev

Exercise 5

מלבן חסום מתחת לגרף $y = 27 - x^2$ : הבסיס שלו על ציר ה- $x$ , ושני הקודקודים העליונים $P(x,\,27 - x^2)$ ו- $Q(-x,\,27 - x^2)$ על הגרף. מהו השטח המקסימלי של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= 2x(27 - x^2) \\ &= 54x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{27}\end{aligned}

רוחב $2x$ , גובה — שיעור ה- $y$ של הנקודה

\begin{aligned}S'(x) &= 54 - 6x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}S(3) &= 6 \cdot 18 \\ &= 108\end{aligned}

השטח המקסימלי הוא $108$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו $x$ ס״מ. נפח התיבה $500$ סמ״ק. מהו שטח הפח הקטן ביותר הדרוש (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 300

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 h &= 500 \Rightarrow h \\ &= \frac{500}{x^2}\end{aligned}

האילוץ מסלק משתנה

\begin{aligned}S(x) &= x^2 + 4xh \\ &= x^2 + \frac{2000}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

בסיס וארבע דפנות

\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{2000}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x^3 \\ &= 1000 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

$S'$ עובר מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}S(10) &= 100 + 200 \\ &= 300\end{aligned}

שטח הפח הקטן ביותר $300$ סמ״ר: בסיס $10$ על $10$ וגובה $5$ ס״מ.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונות $f(x) = -x^2 + 8x$ ו- $g(x) = x^2 - 4x$ . ישר המאונך לציר ה- $x$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך המקסימלי של $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

\begin{aligned}-x^2 + 8x &= x^2 - 4x \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך — התחום

\begin{aligned}AB &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 12x \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

בתחום $f$ מעל $g$

\begin{aligned}-4x + 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \quad AB &= -18 + 36 \\ &= 18\end{aligned}

האורך המקסימלי הוא $18$ , ב- $x = 3$ .

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

מהו המרחק הקצר ביותר מהנקודה $A(0, 3)$ לגרף $y = x^2$ ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 1.66

Worked solution:

\begin{aligned}d^2 &= x^2 + (x^2 - 3)^2 \\ &= x^4 - 5x^2 + 9\end{aligned}

ממזערים את מה שמתחת לשורש

\begin{aligned}4x^3 - 10x &= 2x(2x^2 - 5) \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 &= 2.5 \Rightarrow d^2 \\ &= 6.25 - 12.5 + 9 \\ &= 2.75\end{aligned}

ב- $x = 0$ מקסימום מקומי, $d^2 = 9$

d = \sqrt{2.75} \approx 1.66

המרחק הקצר ביותר הוא בקירוב $1.66$ , בנקודות $x = \pm\sqrt{2.5}$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

מציל בחוף בתל אביב עומד על קו המים. שחיין נמצא $30$ מ׳ בתוך הים, מול נקודה על החוף שמרוחקת $40$ מ׳ מהמציל. המציל רץ לאורך החוף $x$ מטרים במהירות $5$ מ׳ לשנייה, ומשם שוחה בקו ישר אל השחיין במהירות $3$ מ׳ לשנייה. מהו הזמן הקצר ביותר (בשניות) שבו הוא מגיע לשחיין?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

\begin{aligned}T(x) &= \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{(40 - x)^2 + 900}}{3} \\ \quad 0 \le x \le 40\end{aligned}

דרך השחייה — לפי פיתגורס

\begin{aligned}T'(x) &= \frac{1}{5} - \frac{40 - x}{3\sqrt{(40 - x)^2 + 900}} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}u &= 40 - x:\ 3\sqrt{u^2 + 900} \\ &= 5u \Rightarrow 16u^2 \\ &= 8100 \Rightarrow u \\ &= 22.5\end{aligned}

\begin{aligned}T(17.5) &= 3.5 + \frac{37.5}{3} \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}T(0) &= \frac{50}{3} \approx 16.7 \\ \quad T(40) &= 8 + 10 \\ &= 18\end{aligned}

הקצוות — ארוכים יותר

הזמן הקצר ביותר הוא $16$ שניות: רצים $17.5$ מ׳ ושוחים $37.5$ מ׳.

Check the answer on elev

Exercise 10

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעותיו על הצירים, והקודקוד $P$ על הגרף $y = a - x^2$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. השטח המקסימלי של המלבן הוא $16$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= x(a - x^2) \\ &= ax - x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{a}\end{aligned}

פותרים כאילו $a$ מספר

\begin{aligned}S'(x) &= a - 3x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= \frac{a}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}S_{max} &= x(a - x^2) \\ &= x \cdot \frac{2a}{3} \\ &= x \cdot 2x^2 \\ &= 2x^3\end{aligned}

כי $a = 3x^2$

\begin{aligned}2x^3 &= 16 \Rightarrow x \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 12\end{aligned}

משווים לנתון

$a = 12$ . בדיקה: $S(2) = 2(12 - 4) = 16$ .

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev