Quotient rule

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו גזרנו פולינומים. בפרק הזה המשתנה יורד למכנה: 1x\frac{1}{x}, x+1x−1\frac{x+1}{x-1}, x2x2+4\frac{x^2}{x^2+4}. פונקציה שהיא מנה של שני פולינומים נקראת פונקציה רציונלית. מתחילים מהפשוטה שבהן — ומהציור שלה.

השיפוע של ההיפרבולה y=1xy=\frac{1}{x}

שלושה משיקים להיפרבולה y = 1/x
m = -1/4m = -1m = -1-4-3-2-101234-4-3-2-11234xy
שלושה משיקים: ב-x=1x=1, ב-x=2x=2 וב-x=−1x=-1. כולם יורדים, ובכל ענף — ככל שמתרחקים מ-x=0x=0 המשיק נעשה שטוח יותר.

הסתכלו על שלושת המשיקים. מה הסימן של השיפוע בכל אחד מהם? ומה קורה לשיפוע כש-xx מתרחק מאפס?

Show the answer and the solution

כל השיפועים שליליים — ההיפרבולה יורדת בשני הענפים. ליד x=0x=0 המשיק תלול מאוד, ורחוק מאפס הוא כמעט אופקי: בנקודה x=1x=1 השיפוע −1-1, ובנקודה x=2x=2 הוא רק −14-\frac{1}{4}.

הנגזרת של 1x\frac{1}{x} — לפי ההגדרה

את השיפוע שראינו בציור אפשר לחשב בדיוק, באותה דרך שבה גזרנו x2x^2: מנת ההפרשים, ואז h→0h \to 0. השלב שדורש זהירות הוא חיסור שברים — מכנה משותף.

(1x)′=−1x2x≠0\begin{aligned}\left(\frac{1}{x}\right)' &= -\frac{1}{x^2} \\ \qquad x \neq 0\end{aligned}

חשבו את השיפוע של המשיק ל-y=1xy=\frac{1}{x} בנקודה שבה x=2x=2, והשוו לציור.

Show the answer and the solution

f′(2)=−122=−14f'(2)=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4} — בדיוק השיפוע של המשיק האמצעי בציור.

אותה תוצאה יוצאת מכלל החזקה: 1x=x−1\frac{1}{x}=x^{-1}, ולכן הנגזרת היא −1⋅x−2=−1x2-1 \cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}. שתי דרכים, תשובה אחת — סימן טוב.

כלל המנה

כלל המנה דומה לכלל המכפלה — עם שני הבדלים שעולים הכי הרבה נקודות: מינוס במקום פלוס, ומכנה בריבוע.

(f(x)g(x))′=f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}
f′(x) g(x)f'(x)\,g(x)

קודם נגזרת המונה כפול המכנה.

− f(x) g′(x)- \ f(x)\,g'(x)

ואז מחסרים את המונה כפול נגזרת המכנה.

[g(x)]2\left[g(x)\right]^2

והכול מחולק במכנה בריבוע.

בכלל המכפלה הסדר לא חשוב — חיבור הוא חילופי. כאן הוא קריטי: חיסור אינו חילופי, והחלפת הסדר הופכת את סימן התוצאה כולה.

מנה פשוטה

גזרו: h(x)=x2x+1h(x) = \dfrac{x^2}{x+1}

f(x)=x2g(x)=x+1\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \quad g(x) &= x+1\end{aligned}

מזהים מונה ומכנה

f′(x)=2xg′(x)=1\begin{aligned}f'(x) &= 2x \\ \quad g'(x) &= 1\end{aligned}

וגוזרים כל אחד

2x(x+1)−x2⋅1(x+1)2\frac{2x(x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}

מציבים בכלל

2x2+2x−x2(x+1)2\frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2}

פותחים את המונה

x2+2x(x+1)2\frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

מכנסים

את המכנה לא פותחים. (x+1)2(x+1)^2 נשאר כך: אחר כך משווים את הנגזרת לאפס, ואז רק המונה חשוב — מנה מתאפסת כשהמונה מתאפס.

מתי הנגזרת x2+2x(x+1)2\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2} מתאפסת?

Show the answer and the solution

כשהמונה מתאפס: x2+2x=0x^2 + 2x = 0, כלומר x(x+2)=0x(x+2) = 0 ולכן x=0x = 0 או x=−2x = -2. המכנה לא יכול להתאפס — x=−1x = -1 אינו בתחום ההגדרה מלכתחילה.

תחום ההגדרה — לפני הכול

במנה יש תמיד תנאי: המכנה שונה מאפס. הוא נקבע לפני הגזירה ונשאר בתוקף אחריה — גם הנגזרת אינה מוגדרת שם.

מנה עם מינוס במכנה

גזרו: f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}

x≠1x \neq 1

תחום ההגדרה

1⋅(x−1)−(x+1)⋅1(x−1)2\frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2}

הכלל

x−1−x−1(x−1)2\frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2}

פותחים — שימו לב למינוס לפני הסוגריים

−2(x−1)2\frac{-2}{(x-1)^2}

ומקבלים

התוצאה שלילית תמיד (המכנה ריבוע, ולכן חיובי). כלומר הפונקציה יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה — מסקנה שלמה, מנגזרת אחת.

בשלב הפתיחה קיבלנו x−1−x−1x - 1 - x - 1. מאיפה בא המינוס השני?

Show the answer and the solution

מהמינוס שלפני הסוגריים: −(x+1)=−x−1-(x+1) = -x - 1. זו הטעות הנפוצה ביותר בכלל המנה — לחסר רק את האיבר הראשון בסוגריים.

שלוש הטעויות של כלל המנה.

f(x) g′(x)−f′(x) g(x)[g(x)]2\frac{f(x)\,g'(x) - f'(x)\,g(x)}{\left[g(x)\right]^2}
f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

סדר הפוך — והתוצאה כולה מקבלת סימן הפוך. נגזרת חיובית הופכת לשלילית, וכל מסקנה על עלייה וירידה מתהפכת איתה.

f′(x) g(x)−f(x) g′(x)g(x)\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{g(x)}
f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

המכנה בריבוע. בלי הריבוע אפילו המעלה של התוצאה שגויה.

(f(x)g(x))′=f′(x)g′(x)\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)}{g'(x)}
(f(x)g(x))′=f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

הנגזרת אינה מתחלקת בין המונה למכנה. בדיקה: x2x=x\frac{x^2}{x}=x ונגזרתו 11, אבל 2x1=2x\frac{2x}{1}=2x.

Exercises

Exercise 1

מהו הכלל לגזירת f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}?

  1. f′(x) g(x)−f(x) g′(x)g(x)\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{g(x)}
  2. f(x) g′(x)−f′(x) g(x)[g(x)]2\dfrac{f(x)\,g'(x) - f'(x)\,g(x)}{\left[g(x)\right]^2}
  3. f′(x)g′(x)\dfrac{f'(x)}{g'(x)}
  4. f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}
Show the answer and the solution

Answer: D f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

Worked solution:

f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

הכלל

שתי המלכודות בתשובות האחרות: סדר הפוך בחיסור, ומכנה בלי ריבוע. והנוסחה f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)} — גזירה נפרדת של מונה ומכנה — שגויה לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 2

גזרו: f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}

  1. 1x2\dfrac{1}{x^2}
  2. −1x2-\dfrac{1}{x^2}
  3. −12x-\dfrac{1}{2x}
  4. 00
Show the answer and the solution

Answer: B −1x2-\dfrac{1}{x^2}

Worked solution:

0⋅x−1⋅1x2\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2}

כלל המנה

−1x2-\frac{1}{x^2}

התוצאה

אפשר גם בלי הכלל: 1x=x−1\frac{1}{x} = x^{-1}, ולפי כלל החזקה −1⋅x−2-1 \cdot x^{-2}. אותה תשובה. המלכודת היא לשכוח את המינוס — אבל הציור מזכיר: ההיפרבולה יורדת.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון f(x)=x2x+1f(x) = \dfrac{x^2}{x+1}. חשבו את f′(1)f'(1).

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

f′(x)=x2+2x(x+1)2f'(x) = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}

הנגזרת

1+24=34\frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}

מציבים

0.750.75. עם פלוס במקום מינוס היה יוצא 54\frac{5}{4} — תשובה שונה לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 4

גזרו: f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}

  1. 2(x−1)2\dfrac{2}{(x-1)^2}
  2. 2x(x−1)2\dfrac{2x}{(x-1)^2}
  3. −2(x−1)2\dfrac{-2}{(x-1)^2}
  4. 11
Show the answer and the solution

Answer: C −2(x−1)2\dfrac{-2}{(x-1)^2}

Worked solution:

(x−1)−(x+1)(x−1)2\frac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2}

הכלל

x−1−x−1(x−1)2=−2(x−1)2\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}

המינוס חל על שני האיברים

התשובה 2(x−1)2\frac{2}{(x-1)^2} מתקבלת בדיוק כשמחסרים רק את האיבר הראשון בסוגריים.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}. חשבו את f′(2)f'(2).

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f′(x)=−2(x−1)2f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2}

הנגזרת

−21=−2\frac{-2}{1} = -2

מציבים

שלילי — ואכן הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2x−3f(x) = \dfrac{x^2}{x-3} ושל נגזרתה?

  1. x≠3x \neq 3 בפונקציה בלבד
  2. כל xx
  3. x≠3x \neq 3 בשתיהן
  4. x>3x > 3
Show the answer and the solution

Answer: C x≠3x \neq 3 בשתיהן

Worked solution:

x−3≠0x - 3 \neq 0

המכנה

(x−3)2≠0(x-3)^2 \neq 0

וגם במכנה של הנגזרת

הגזירה אינה מרחיבה את תחום ההגדרה. הערך הפסול נשאר פסול.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון f(x)=3xx2+1f(x) = \dfrac{3x}{x^2+1}. חשבו את f′(0)f'(0).

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

3(x2+1)−3x⋅2x(x2+1)2\frac{3(x^2+1) - 3x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

הכלל

3−3x2(x2+1)2\frac{3 - 3x^2}{(x^2+1)^2}

מכנסים

31=3\frac{3}{1} = 3

מציבים x=0x=0

כאן המכנה x2+1x^2+1 לעולם אינו אפס — תחום ההגדרה הוא כל xx.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}. כמה פתרונות יש למשוואה f′(x)=0f'(x) = 0?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

f′(x)=−2(x−1)2f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2}

הנגזרת

−2≠0-2 \neq 0

המונה קבוע ואינו מתאפס

אין נקודות קיצון בכלל. נגזרת שהמונה שלה קבוע לא מתאפסת לעולם.

Check the answer on elev

Exercise 9

f(x)=g(x)xf(x) = \dfrac{g(x)}{x}, ונתון g(1)=4g(1) = 4 ו-g′(1)=2g'(1) = 2. מהו f′(1)f'(1)?

  1. 22
  2. −2-2
  3. 66
  4. −6-6
Show the answer and the solution

Answer: B −2-2

Worked solution:

f′(x)=g′(x)⋅x−g(x)⋅1x2f'(x) = \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot 1}{x^2}

כלל המנה

2⋅1−41=−2\frac{2 \cdot 1 - 4}{1} = -2

מציבים

המלכודת: להפוך את הסדר ולקבל +2+2. בלי לדעת מהי gg — מספיקים הערכים בנקודה, וכך זה מופיע בבגרות.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון f(x)=1g(x)f(x) = \dfrac{1}{g(x)}, כאשר gg גזירה ו-g(x)≠0g(x) \neq 0. הוכיחו: f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{-g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}.

  • כלל המנה: (u(x)v(x))′=u′(x) v(x)−u(x) v′(x)[v(x)]2\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\left[v(x)\right]^2}
  • u(x)=1u(x) = 1 ו-v(x)=g(x)v(x) = g(x)

f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{-g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

Show the answer and the solution
  1. f′(x)=(1)′⋅g(x)−1⋅g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{(1)' \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} — הצבה בכלל המנה עם מונה 11
  2. (1)′=0(1)' = 0 — נגזרת של מספר קבוע היא אפס
  3. f′(x)=0−g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{0 - g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} — הצבת נגזרת המונה
  4. f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{-g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} — פישוט המונה

Worked solution:

f′(x)=0⋅g(x)−1⋅g′(x)[g(x)]2f'(x)=\frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

כלל המנה עם מונה 11

f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x)=\frac{-g'(x)}{[g(x)]^2}

נגזרת של קבוע היא אפס

המלכודת: לכתוב 1g′(x)\frac{1}{g'(x)}. נגזרת של 1g\frac{1}{g} איננה אחד חלקי הנגזרת.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade