Vertical asymptote and removable point

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפונקציה רציונלית יש ערכים של xx שאסור להציב: אלה שבהם המכנה מתאפס. הם נופלים מתחום ההגדרה. אבל מה עושה הגרף ליד ערך כזה? מתברר שיש שתי תמונות שונות לגמרי. הסתכלו על שתיהן לפני שנקרא להן בשם.

בשני הגרפים x=2x=2 אינו בתחום ההגדרה. מה ההבדל בין מה שקורה ליד x=2x=2 בגרף הראשון לבין מה שקורה בשני?

Show the answer and the solution

בגרף הראשון הערכים גדלים ללא גבול — הגרף עולה לשמיים מצד אחד ויורד לתהום מהצד השני. בגרף השני הערכים מתקרבים בשקט ל-44, ורק הנקודה עצמה חסרה: חור בגרף.

אסימפטוטה אנכית: המונה לא מתאפס

נציב ב-f(x)=1x−2f(x)=\frac{1}{x-2} ערכים קרובים ל-22:

x=2.1⇒f(x)=10\begin{aligned}x &= 2.1 \Rightarrow f(x) \\ &= 10\end{aligned}

קצת מימין

x=2.01⇒f(x)=100\begin{aligned}x &= 2.01 \Rightarrow f(x) \\ &= 100\end{aligned}

עוד יותר קרוב — ערך גדול פי עשרה

x=1.99⇒f(x)=−100\begin{aligned}x &= 1.99 \Rightarrow f(x) \\ &= -100\end{aligned}

קצת משמאל — שלילי וגדול בערכו המוחלט

המונה נשאר 11, והמכנה נעשה זעיר — ומספר קבוע חלקי מספר זעיר הוא ענק. כשהערכים של ff גדלים ללא גבול כאשר xx מתקרב ל-aa, הישר x=ax=a נקרא אסימפטוטה אנכית. בכתיב חצים: כש-x→2x \to 2 מימין, f(x)→∞f(x) \to \infty.

נקודה סליקה: גם המונה מתאפס

ב-g(x)=x2−4x−2g(x)=\frac{x^2-4}{x-2} גם המונה מתאפס ב-x=2x=2. מפרקים: (x−2)(x+2)x−2\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}. הגורם x−2x-2 מצטמצם — אבל רק כש-x≠2x \neq 2. לכן g(x)=x+2g(x)=x+2 לכל x≠2x \neq 2: הגרף הוא ישר עם חור אחד, והחור נמצא בגובה 2+2=42+2=4.

מכנה=0 מונה≠0\begin{aligned}\text{מכנה} &= 0 \\ \ \text{מונה}\neq 0\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית — אין מה לבדוק עוד.

מכנה=0 מונה=0\begin{aligned}\text{מכנה} &= 0 \\ \ \text{מונה} &= 0\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים, ובודקים שוב את המכנה המצומצם: אם הוא עדיין מתאפס — אסימפטוטה; אם לא — נקודה סליקה.

שני ערכים אסורים, שתי תמונות

מצאו אסימפטוטות אנכיות ונקודות סליקות של f(x)=x−1x2−1f(x)=\dfrac{x-1}{x^2-1}.

x2−1≠0 ⇒ x≠1, x≠−1x^2-1 \neq 0 \ \Rightarrow\ x \neq 1,\ x \neq -1

תחום ההגדרה — מהפונקציה המקורית

f(x)=x−1(x−1)(x+1)=1x+1x≠1\begin{aligned}f(x) &= \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{1}{x+1} \\ \quad x\neq 1\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

x=1: 11+1=12\begin{aligned}x &= 1:\ \frac{1}{1+1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

המכנה המצומצם לא מתאפס — נקודה סליקה (1,12)\left(1, \frac{1}{2}\right)

x=−1: x+1=0\begin{aligned}x &= -1:\ x+1 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה המצומצם מתאפס — אסימפטוטה אנכית x=−1x=-1

האם לפונקציה f(x)=x+5x2+4f(x)=\dfrac{x+5}{x^2+4} יש אסימפטוטה אנכית?

Show the answer and the solution

לא. x2≥0x^2 \geq 0 ולכן x2+4≥4x^2+4 \geq 4: המכנה לעולם אינו מתאפס. תחום ההגדרה הוא כל xx, ואין שום ערך חשוד.

את שיעור ה-yy של נקודה סליקה מחשבים בביטוי המצומצם. בביטוי המקורי הצבה נותנת 00\frac{0}{0} — שאינו מספר.

שתי טעויות שעולות נקודות.

x2−4x−2=x+2\frac{x^2-4}{x-2}=x+2
x2−4x−2=x+2x≠2\begin{aligned}\frac{x^2-4}{x-2} &= x+2 \\ \quad x \neq 2\end{aligned}

הצמצום מותר רק כש-x−2≠0x-2 \neq 0. מי ששוכח את התנאי מצייר ישר שלם — בלי החור.

x−2(x−2)2: x=2 סליקה\frac{x-2}{(x-2)^2}:\ x=2\ \text{סליקה}
x−2(x−2)2=1x−2: x=2 אסימפטוטה\begin{aligned}\frac{x-2}{(x-2)^2} &= \frac{1}{x-2}:\ x \\ &= 2\ \text{אסימפטוטה}\end{aligned}

מונה ומכנה מתאפסים יחד — אבל אחרי הצמצום המכנה עדיין מתאפס. «שניהם אפס» אינו מספיק; תמיד בודקים את המצומצם.

Exercises

Exercise 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=3xx2−5x+6f(x)=\dfrac{3x}{x^2-5x+6}?

  1. x≠2, x≠3x \neq 2,\ x \neq 3
  2. כל xx
  3. x≠−2, x≠−3x \neq -2,\ x \neq -3
  4. x≠0x \neq 0
Show the answer and the solution

Answer: A x≠2, x≠3x \neq 2,\ x \neq 3

Worked solution:

x2−5x+6=0x^2-5x+6=0

המכנה אסור להתאפס

(x−2)(x−3)=0⇒x=2 x=3\begin{aligned}(x-2)(x-3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ x &= 3\end{aligned}

מפרקים

המלכודת היא x≠0x \neq 0: המונה מתאפס שם, וזה מותר — 06=0\frac{0}{6}=0. והתשובה עם −2-2 ו-−3-3 מתקבלת מבלבול סימנים בפירוק.

Check the answer on elev

Exercise 2

לפונקציה f(x)=2x+1x+4f(x)=\dfrac{2x+1}{x+4} יש אסימפטוטה אנכית אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

x+4=0⇒x=−4\begin{aligned}x+4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -4\end{aligned}

המכנה מתאפס

2(−4)+1=−7≠02(-4)+1=-7 \neq 0

המונה לא מתאפס שם — לכן זו אסימפטוטה

המלכודת: לענות −12-\frac{1}{2}, שורש המונה. שורש המונה הוא נקודת חיתוך עם ציר ה-xx, לא אסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x2−9x−3f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}. מה קורה בגרף ב-x=3x=3?

  1. אסימפטוטה אנכית x=3x=3
  2. נקודה סליקה (3,0)(3, 0)
  3. נקודה סליקה (3,6)(3, 6)
  4. f(3)=6f(3)=6, הגרף רציף שם
Show the answer and the solution

Answer: C נקודה סליקה (3,6)(3, 6)

Worked solution:

(x−3)(x+3)x−3=x+3 x≠3\begin{aligned}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} &= x+3 \\ \ x\neq 3\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

3+3=63+3=6

הגובה של החור — בביטוי המצומצם

שתי מלכודות: (3,0)(3,0) לוקח את 00 מהמונה המקורי, ו-«f(3)=6f(3)=6» שוכח ש-33 אינו בתחום ההגדרה. יש חור, לא נקודה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x2+x−2x2−1f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}. השלימו.

לגרף יש נקודה סליקה שבה x=x= ____ ו-y=y= ____, ואסימפטוטה אנכית x=x= ____

Show the answer and the solution

Answer: לגרף יש נקודה סליקה שבה x=x= 1 ו-y=y= 1.5, ואסימפטוטה אנכית x=x= -1

Worked solution:

(x+2)(x−1)(x−1)(x+1)=x+2x+1 x≠1\begin{aligned}\frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+1)} &= \frac{x+2}{x+1} \\ \ x\neq 1\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

x=1: 32=1.5\begin{aligned}x &= 1:\ \frac{3}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

המכנה המצומצם לא מתאפס — חור

x=−1: x+1=0\begin{aligned}x &= -1:\ x+1 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה המצומצם מתאפס — אסימפטוטה

המלכודת: לחשב את yy של החור בהצבה במקור ולקבל 00\frac{0}{0}. הגובה נקבע אחרי הצמצום: 1.51.5.

Check the answer on elev

Exercise 5

מיינו: בכל פונקציה ובערך המסומן — אסימפטוטה אנכית או נקודה סליקה?

  • אסימפטוטה אנכית
  • נקודה סליקה
  • (x−4)2x−4\dfrac{(x-4)^2}{x-4} ב-x=4x=4
  • x−2(x−2)2\dfrac{x-2}{(x-2)^2} ב-x=2x=2
  • xx−5\dfrac{x}{x-5} ב-x=5x=5
  • x2−5xx−5\dfrac{x^2-5x}{x-5} ב-x=5x=5
  • x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=−1x=-1
  • x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=1x=1
Show the answer and the solution

Answer: xx−5\dfrac{x}{x-5} ב-x=5x=5 — אסימפטוטה אנכית · x2−5xx−5\dfrac{x^2-5x}{x-5} ב-x=5x=5 — נקודה סליקה · x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=−1x=-1 — נקודה סליקה · x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=1x=1 — אסימפטוטה אנכית · x−2(x−2)2\dfrac{x-2}{(x-2)^2} ב-x=2x=2 — אסימפטוטה אנכית · (x−4)2x−4\dfrac{(x-4)^2}{x-4} ב-x=4x=4 — נקודה סליקה

Worked solution:

x2−5xx−5=x\frac{x^2-5x}{x-5}=x

חור ב-x=5x=5

x+1x2−1=1x−1\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}

חור ב-−1-1, קיר ב-11

x−2(x−2)2=1x−2\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}

המכנה המצומצם עדיין מתאפס

(x−4)2x−4=x−4\frac{(x-4)^2}{x-4}=x-4

חור ב-44

הפריט המכשיל הוא x−2(x−2)2\frac{x-2}{(x-2)^2}: מונה ומכנה מתאפסים יחד, ובכל זאת זו אסימפטוטה — הגורם במכנה מופיע פעמיים, והצמצום מוריד רק אחד.

Check the answer on elev

Exercise 6

אם המונה והמכנה של פונקציה רציונלית מתאפסים שניהם ב-x=ax=a, אז ב-x=ax=a יש לגרף נקודה סליקה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x−2(x−2)2f(x)=\frac{x-2}{(x-2)^2}

דוגמה נגדית: שניהם מתאפסים ב-x=2x=2

=1x−2=\frac{1}{x-2}

אחרי הצמצום המכנה עדיין מתאפס

x=2x=2

אסימפטוטה אנכית, ולכן אין שם חור

הטענה אינה נכונה, ודוגמה נגדית אחת מספיקה. «שניהם אפס» רק אומר שצריך לצמצם; ההכרעה באה מהמכנה המצומצם.

Check the answer on elev

Exercise 7

x = 1-3-2-10123456-4-22468xy

בציור הגרף של f(x)=2x2−6xx2−4x+3f(x)=\dfrac{2x^2-6x}{x^2-4x+3}. לגרף «חור» אחד. מהו שיעור ה-yy של הנקודה הסליקה?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

המכנה מתאפס ב-11 וב-33

2x(x−3)(x−1)(x−3)=2xx−1 x≠3\begin{aligned}\frac{2x(x-3)}{(x-1)(x-3)} &= \frac{2x}{x-1} \\ \ x\neq 3\end{aligned}

מצמצמים

x=3: 62=3\begin{aligned}x &= 3:\ \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הגובה של החור

המלכודת: לחפש את החור ב-x=1x=1. שם המכנה המצומצם מתאפס — זו האסימפטוטה המקווקוות שבציור.

Check the answer on elev

Exercise 8

תלמיד חקר את f(x)=x2−16x−4f(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(x)=x2−16x−4f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}
=(x−4)(x+4)x−4=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}
=x+4=x+4
תחום ההגדרה: כל x\text{תחום ההגדרה: כל } x
Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה: כל x\text{תחום ההגדרה: כל } x → תחום ההגדרה: x≠4\text{תחום ההגדרה: } x \neq 4

Worked solution:

x−4≠0x-4 \neq 0

התנאי נקבע בפונקציה המקורית

x≠4x \neq 4

והצמצום אינו מבטל אותו

הצמצום נכון — אבל הוא מותר רק כש-x≠4x \neq 4. הגרף הוא הישר y=x+4y=x+4 עם חור ב-(4,8)(4, 8).

Check the answer on elev

Exercise 9

לאיזו מהפונקציות הבאות אין אסימפטוטה אנכית?

  1. x+3x2+3x\dfrac{x+3}{x^2+3x}
  2. xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}
  3. 1x2\dfrac{1}{x^2}
  4. xx2−1\dfrac{x}{x^2-1}
Show the answer and the solution

Answer: B xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}

Worked solution:

x2+1≥1x^2+1 \geq 1

המכנה של הראשונה לעולם אינו מתאפס

x+3x(x+3)=1x\frac{x+3}{x(x+3)}=\frac{1}{x}

ברביעית הצמצום משאיר xx במכנה — אסימפטוטה x=0x=0

המלכודת היא x+3x2+3x\frac{x+3}{x^2+3x}: מי שרואה צמצום חושב שהכול «נעלם». הצמצום מבטל את x=−3x=-3 בלבד (חור), ו-x=0x=0 נשאר קיר.

Check the answer on elev

Exercise 10

הביאו דוגמה: איזו פונקציה מקיימת את שני התנאים — אסימפטוטה אנכית x=2x=2, ונקודה סליקה ב-x=−3x=-3?

  1. 1(x−2)(x+3)\dfrac{1}{(x-2)(x+3)}
  2. x−2(x−2)(x+3)\dfrac{x-2}{(x-2)(x+3)}
  3. x+3x−2\dfrac{x+3}{x-2}
  4. x+3(x−2)(x+3)\dfrac{x+3}{(x-2)(x+3)}
Show the answer and the solution

Answer: D x+3(x−2)(x+3)\dfrac{x+3}{(x-2)(x+3)}

Worked solution:

x+3(x−2)(x+3)=1x−2 x≠−3\begin{aligned}\frac{x+3}{(x-2)(x+3)} &= \frac{1}{x-2} \\ \ x\neq -3\end{aligned}

הגורם x+3x+3 מצטמצם — חור ב-−3-3

x−2=0x-2=0

והגורם x−2x-2 נשאר — קיר ב-22

הגורם שמצטמצם יוצר את החור, והגורם שנשאר יוצר את הקיר. בפונקציה עם x−2x-2 במונה התפקידים הפוכים; בזו שבלי מונה משותף יש שני קירות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade