Horizontal asymptote · Rational functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אסימפטוטה אנכית עונה על השאלה «מה קורה ליד ערך אסור». השאלה השנייה של הפרק היא «מה קורה רחוק»: כש- $x$ גדל מאוד, או קטן מאוד — לאן הולכים ערכי הפונקציה?

f(x) = (2x + 3)/(x − 1), מקרוב

שני קווים מקווקווים:

x=1

, שם המכנה מתאפס, ו-

y=2

— הקו שהגרף נצמד אליו בשני הקצוות.

ליד $x=1$ הגרף בורח — שם יש אסימפטוטה אנכית, כמו ביחידה הקודמת. אבל בקצוות משהו אחר קורה: הגרף נרגע ומתקרב לקו $y=2$ . כדי לראות את זה באמת צריך להתרחק.

חשבו את $f(100)$ עבור $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ . האם התוצאה גדולה מ- $2$ או קטנה ממנו?

Show the answer and the solution

$f(100)=\frac{203}{99} \approx 2.051$ — קצת יותר מ- $2$ . המרחק מ- $2$ קטן, אבל אינו אפס.

טבלת ערכים

\begin{aligned}x &= 10 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{23}{9}\approx 2.556\end{aligned}

עדיין רחוק מ- $2$

\begin{aligned}x &= 100 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{203}{99}\approx 2.051\end{aligned}

מתקרב

\begin{aligned}x &= 1000 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{2003}{999}\approx 2.005\end{aligned}

כמעט $2$ — מלמעלה

\begin{aligned}x &= -1000 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{-1997}{-1001}\approx 1.995\end{aligned}

בצד השלילי — כמעט $2$ מלמטה

כש- $x \to \infty$ , $f(x) \to 2$ , וגם כש- $x \to -\infty$ , $f(x) \to 2$ . ישר אופקי $y=k$ שאליו ערכי הפונקציה מתקרבים כש- $x$ מתרחק נקרא אסימפטוטה אופקית. כאן: $y=2$ .

למה דווקא $2$ ?

כש- $x$ הוא מיליון, ה- $+3$ שבמונה וה- $-1$ שבמכנה הם פירורים לעומת $2x$ ו- $x$ . המונה הוא «בערך $2x$ », המכנה «בערך $x$ », והמנה — בערך $2$ . את הביטוי מכריעים האיברים עם החזקה הגבוהה ביותר.

\frac{3x+1}{x^2+2}

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה: המכנה גדל מהר יותר, והמנה מתקרבת ל- $0$ . אסימפטוטה $y=0$ .

\frac{4x-1}{2x+5}

המעלות שוות: המנה מתקרבת ליחס בין המקדמים המובילים, $\frac{4}{2}$ . אסימפטוטה $y=2$ .

\frac{x^2+1}{x-3}

מעלת המונה גדולה: הערכים גדלים ללא גבול. אין אסימפטוטה אופקית.

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{5-2x}{x+1}$ ?

Show the answer and the solution

$y=-2$ . האיבר המוביל במונה הוא $-2x$ — לא $5$ , אף שהוא כתוב ראשון. היחס $\frac{-2x}{x}=-2$ .

Interactive activity

מוצאים אסימפטוטה אופקית

f(x)=\frac{6x^2-x}{3x^2+2x+5}

לחצו «להתחיל» — ארבעה שלבים, ובלי לחשב אף פעם עם אינסוף.

מעלות

x^2 \text{ במונה},\quad x^2 \text{ במכנה}

המעלות שוות — ולכן יש אסימפטוטה אופקית שאינה $y=0$ .

איברים מובילים

\frac{6x^2-x}{3x^2+2x+5} \approx \frac{6x^2}{3x^2}

כש- $x$ גדול מאוד, השאר זניח לעומת האיברים עם $x^2$ .

היחס

\frac{6x^2}{3x^2}=2

ה- $x^2$ מצטמצם, ונשאר יחס המקדמים.

בדיקה

f(100)=\frac{59900}{30205}\approx 1.983

מספר גדול אחד כבדיקת שפיות: אכן קרוב ל- $2$ . מסקנה: $y=2$ .

שימו לב: בשום שלב לא כתבנו $\frac{\infty}{\infty}$ . מחשבים עם מספרים גדולים ועם חצים — לא עם אינסוף.

Do the activity on elev

אסימפטוטות — ואם הגרף חוצה אחת מהן

מצאו את כל האסימפטוטות של $f(x)=\dfrac{x^2-1}{2x^2+x}$ , ובדקו אם הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית.

\begin{aligned}2x^2+x &= x(2x+1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

הערכים האסורים

\begin{aligned}x &= 0:\ -1\neq 0;\quad x \\ &= -\frac{1}{2}:\ -\frac{3}{4}\neq 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס בהם — שתי אסימפטוטות אנכיות

\begin{aligned}\frac{x^2}{2x^2} &= \frac{1}{2} \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מעלות שוות — אסימפטוטה אופקית

\begin{aligned}\frac{x^2-1}{2x^2+x} &= \frac{1}{2} \Rightarrow 2x^2-2 \\ &= 2x^2+x \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

משווים לגובה האסימפטוטה

\left(-2, \frac{1}{2}\right)

הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית בנקודה הזו

אסימפטוטה אופקית מתארת מה קורה בקצוות. באמצע הגרף מותר לו לחצות אותה — כמו בדוגמה. אסימפטוטה אנכית, לעומת זאת, הגרף לעולם אינו חוצה: שם הפונקציה אינה מוגדרת.

שתי טעויות קלאסיות.

\frac{2x+3}{x-1} \to \frac{3}{-1}=-3

\frac{2x+3}{x-1} \to \frac{2}{1}=2

המספרים החופשיים הם מה שקובע ליד $x=0$ — לא רחוק. רחוק מכריעים האיברים המובילים.

\frac{5-2x}{x+1} \to 5

\frac{5-2x}{x+1} \to -2

האיבר המוביל הוא זה עם החזקה הגבוהה, לא זה שכתוב ראשון.

Exercises

Exercise 1

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ ?

$y=3$
$y=-\frac{1}{2}$
$y=0$
$x=-2$

Show the answer and the solution

Answer: A $y=3$

Worked solution:

\frac{3x}{x}=3

מעלות שוות — יחס המקדמים המובילים

$y=-\frac{1}{2}$ הוא יחס המספרים החופשיים — הערך $f(0)$ , לא ההתנהגות רחוק. ו- $x=-2$ היא האסימפטוטה האנכית.

Check the answer on elev

Exercise 2

האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{4x^2+1}{2x^2-x}$ היא $y=k$ . מהו $k$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\frac{4x^2}{2x^2}=2

האיברים המובילים

המלכודת: לחשוב שכי יש $-x$ במכנה «אין אסימפטוטה». קובעת רק החזקה הגבוהה, $x^2$ , שמופיעה משני הצדדים.

Check the answer on elev

Exercise 3

האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{7x+2}{x^2+1}$ היא $y=k$ . מהו $k$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

7x+2:\ 1,\quad x^2+1:\ 2

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

f(100)=\frac{702}{10001}\approx 0.07

בדיקה: קרוב לאפס

המלכודת: לענות $7$ , יחס המקדמים. יחס מקדמים נכון רק כשהמעלות שוות; כאן המכנה גדל מהר יותר.

Check the answer on elev

Exercise 4

לאיזו פונקציה אין אסימפטוטה אופקית?

$\dfrac{x^2+1}{x-1}$
$\dfrac{x}{x^2-1}$
$\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$
$\dfrac{1-x^2}{3x^2}$

Show the answer and the solution

Answer: A $\dfrac{x^2+1}{x-1}$

Worked solution:

x^2+1:\ 2,\quad x-1:\ 1

מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה

f(100)=\frac{10001}{99}\approx 101

הערכים גדלים ללא גבול

הפונקציה $\frac{1-x^2}{3x^2}$ מבלבלת בגלל המינוס — אבל יש לה אסימפטוטה $y=-\frac{1}{3}$ . רק כשהמונה «חזק» מהמכנה אין אסימפטוטה אופקית.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ . חשבו את $f(50)$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.102

Worked solution:

f(50)=\frac{103}{49}

מציבים

\approx 2.102

מחלקים ומעגלים

התשובה $2$ היא המלכודת: הערך קרוב לאסימפטוטה, אבל אינו שווה לה. רחוק ככל שנלך, $f(x) \neq 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה $f(x)=\dfrac{6-3x}{2x+4}$ . השלימו.

האסימפטוטה האנכית היא $x=$ ____, והאסימפטוטה האופקית היא $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: האסימפטוטה האנכית היא $x=$ -2, והאסימפטוטה האופקית היא $y=$ -1.5

Worked solution:

\begin{aligned}2x+4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

המונה שם $12 \neq 0$

\frac{-3x}{2x}=-\frac{3}{2}

האיברים המובילים — עם הסימן

המלכודת: $y=\frac{3}{2}$ או $y=\frac{6}{4}$ . האיבר המוביל במונה הוא $-3x$ והמינוס שלו נשאר.

Check the answer on elev

Exercise 7

הגרף של פונקציה רציונלית אינו יכול לחתוך את האסימפטוטה האופקית שלו.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=\frac{2x}{x^2+1}

דוגמה נגדית: אסימפטוטה $y=0$

f(0)=0

והגרף עובר בנקודה $(0,0)$ שעל האסימפטוטה

הטענה אינה נכונה. אסימפטוטה אופקית מתארת מה קורה כש- $x \to \pm\infty$ בלבד; באמצע מותר לגרף לחצות אותה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה $f(x)=\dfrac{x^2+3x}{x^2+1}$ . באיזה $x$ הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית שלו? תנו תשובה עשרונית, מעוגלת לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.3333333333333333

Worked solution:

y=1

מעלות שוות, יחס מקדמים $1$

x^2+3x=x^2+1

משווים את $f$ ל- $1$

\begin{aligned}3x &= 1 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{3}\approx 0.333\end{aligned}

האיבר $x^2$ מצטמצם

המלכודת: לחשוב שאין פתרון «כי לא נוגעים באסימפטוטה». ה- $x^2$ מצטמצם, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה עם פתרון יחיד.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטה האופקית שלה.

$\dfrac{2x+1}{x-3}$
$\dfrac{x+1}{x^2-3}$
$\dfrac{1-4x^2}{2x^2+x}$
$\dfrac{x^2}{x+1}$

$y=-2$
$y=0$
$y=2$
אין אסימפטוטה אופקית

Show the answer and the solution

Answer: $\dfrac{2x+1}{x-3}$ — $y=2$ · $\dfrac{x+1}{x^2-3}$ — $y=0$ · $\dfrac{1-4x^2}{2x^2+x}$ — $y=-2$ · $\dfrac{x^2}{x+1}$ — אין אסימפטוטה אופקית

Worked solution:

\frac{2x}{x}=2

מעלות שוות

1<2 \Rightarrow y=0

מעלת המונה קטנה

\frac{-4x^2}{2x^2}=-2

האיבר המוביל שלילי

2>1

מעלת המונה גדולה

ב- $\frac{1-4x^2}{2x^2+x}$ המוביל הוא $-4x^2$ , והמינוס שלו קובע את הסימן: $y=-2$ ולא $y=2$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

עבור איזה ערך של $a$ האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{ax-3}{2x+1}$ היא $y=4$ ?

$a=8$
$a=2$
$a=-12$
$a=4$

Show the answer and the solution

Answer: A $a=8$

Worked solution:

\frac{ax}{2x}=\frac{a}{2}

האסימפטוטה האופקית

\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 4 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

משווים ל- $4$

$a=4$ שוכח לחלק במקדם של המכנה, ו- $a=2$ מחלק במקום לכפול. ו- $a=-12$ מערב את המספר החופשי $-3$ בחישוב — אבל רחוק הוא אינו משפיע: קובעים רק $ax$ ו- $2x$ .

Check the answer on elev

טבלת ערכים

למה דווקא 222?

Exercises

Keep practising on elev

למה דווקא $2$ ?