Sketch before differentiating · Rational functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפני שגוזרים פונקציה רציונלית — מציירים סקיצה. ארבעה נתונים שמחושבים בלי נגזרת בונים שלד כמעט שלם של הגרף. הנגזרת תבוא אחר כך, כדי לאשר ולדייק, לא כדי לגלות מאפס.

1

תחום הגדרה — אילו ערכים אסורים.

2

נקודות חיתוך עם הצירים — המונה מתאפס; ו- $f(0)$ אם $0$ בתחום.

3

אסימפטוטות — אנכיות מהערכים האסורים, אופקית מההתנהגות רחוק.

4

סימן $f$ בכל תחום — איפה הגרף מעל ציר ה- $x$ ואיפה מתחתיו.

דוגמה אחת, מההתחלה עד הציור

Interactive activity

סקיצה בלי נגזרת

f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-1}

לחצו «להתחיל». כל שלב מוסיף פרט אחד לציור.

תחום

x^2-1\neq 0 \Rightarrow x\neq \pm 1

שני ערכים אסורים. המונה שם הוא $1-4=-3\neq 0$ , ולכן שניהם אסימפטוטות אנכיות.

ציר x

\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $(-2,0)$ וב- $(2,0)$ .

ציר y

\begin{aligned}f(0) &= \frac{-4}{-1} \\ &= 4\end{aligned}

והוא חותך את ציר ה- $y$ ב- $(0,4)$ .

רחוק

\begin{aligned}\frac{x^2}{x^2} &= 1 \Rightarrow y \\ &= 1\end{aligned}

מעלות שוות — אסימפטוטה אופקית $y=1$ .

סימן

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x<-2 & -2<x<-1 & -1<x<1 & 1<x<2 & x>2 \\ \hline + & - & + & - & + \end{array}

הסימן מתחלף רק במקומות שבהם מונה או מכנה מתאפסים. בודקים נקודה אחת בכל תחום — למשל $f(0)=4>0$ .

ציור

x \to \pm 1 \text{ מבפנים}:\ f(x) \to \infty

בענף האמצעי $f>0$ וליד $\pm 1$ הערכים ענקיים — הגרף יורד מלמעלה, עובר ב- $(0,4)$ ועולה שוב.

שישה שלבים, ואף נגזרת. הסקיצה כבר «יודעת» שבענף האמצעי יש נקודה נמוכה ביותר.

Do the activity on elev

לפי הסקיצה בלבד: האם בענף האמצעי, $-1<x<1$ , יש נקודת קיצון? מאיזה סוג?

Show the answer and the solution

כן — מינימום. הגרף יורד מלמעלה ליד $x=-1$ ועולה חזרה ליד $x=1$ , ולכן באמצע יש נקודה נמוכה ביותר. הנגזרת $f'(x)=\frac{6x}{(x^2-1)^2}$ מאשרת: היא מתאפסת ב- $x=0$ .

מאיזה צד הגרף מתקרב לקיר?

ליד אסימפטוטה אנכית הגרף הולך ל- $\infty$ או ל- $-\infty$ — והסימן של $f$ ליד הקיר מכריע. כשהגורם במכנה בריבוע, הסימן אינו מתחלף בשני צדי הקיר.

Interactive activity

שני צדי הקיר

נתונה $f(x)=\dfrac{x-3}{(x+1)^2}$ . איך נראה הגרף ליד $x=-1$ , ואיך הוא מתנהג רחוק?

ליד $x=-1$ , מה הסימן של המונה?

שלילי: $-1-3=-4$

Show the answer and the solution

נכון. ליד $-1$ המונה קרוב ל- $-4$ , משני הצדדים.

חיובי

Show the answer and the solution

הציבו: $-1-3=-4$ .

אפס

Show the answer and the solution

המונה מתאפס רק ב- $x=3$ .

המונה שלילי משני צדי הקיר.

x \approx -1:\quad x-3 \approx -4

ומה סימן המכנה $(x+1)^2$ משני הצדדים?

חיובי בשני הצדדים

Show the answer and the solution

ריבוע של מספר שאינו אפס — תמיד חיובי.

שלילי משמאל, חיובי מימין

Show the answer and the solution

זה נכון ל- $x+1$ , לא לריבוע שלו.

שלילי בשני הצדדים

Show the answer and the solution

ריבוע אינו שלילי לעולם.

מונה קרוב ל- $-4$ , חלקי מכנה חיובי שהולך ומתקרב לאפס — המנה שלילית וגדלה בערכה המוחלט.

x \to -1:\quad x-3 \approx -4,\quad (x+1)^2 \to 0^{+}

אז לאן הולך הגרף ליד $x=-1$ ?

למטה, משני הצדדים

Show the answer and the solution

$f(x) \to -\infty$ מימין ומשמאל — שני הענפים צוללים.

למעלה משמאל, למטה מימין

Show the answer and the solution

כך מתנהגת $\frac{1}{x+1}$ . כאן הריבוע מבטל את החלפת הסימן.

למעלה משני הצדדים

Show the answer and the solution

המונה שלילי — המנה שלילית.

שני הענפים יורדים לאורך הקיר.

x \to -1:\quad f(x) \to -\infty

ורחוק, כש- $x \to \infty$ ?

מתקרב ל- $0$ מלמעלה

Show the answer and the solution

מעלת המונה קטנה: $y=0$ . ול- $x>3$ המונה חיובי — הגרף מעל הציר.

מתקרב ל- $1$

Show the answer and the solution

יחס מקדמים מתאים רק למעלות שוות. כאן $1<2$ .

מתקרב ל- $0$ מלמטה

Show the answer and the solution

ל- $x>3$ גם המונה וגם המכנה חיוביים.

הגרף חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=3$ ומתקרב אליו שוב מלמעלה.

x \to \infty:\quad f(x) \to 0,\ f(x)>0

Show the answer and the solution

ליד $x=-1$ שני הענפים יורדים ל- $-\infty$ , הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $(3,0)$ , ורחוק הוא מתקרב ל- $y=0$ מלמעלה. מכאן כבר ברור: אחרי $x=3$ הגרף עולה ואז יורד חזרה לאפס — חייב להיות שם מקסימום.

Do the activity on elev

מה יודעים בלי לגזור?

מה אפשר לומר על הגרף של $f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$ לפני כל נגזרת?

x^2+4 \geq 4

המכנה חיובי תמיד: תחום ההגדרה כל $x$ , ואין אסימפטוטה אנכית

\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff x \\ &= 0\end{aligned}

נקודת חיתוך יחידה — הראשית

y=0

מעלת המונה קטנה — אסימפטוטה אופקית

x>0 \Rightarrow f(x)>0,\quad x<0 \Rightarrow f(x)<0

הסימן — כמו הסימן של המונה

\text{ל-}x>0:\ 0 \nearrow \ \searrow 0

הגרף יוצא מאפס, חיובי, וחוזר לאפס — ולכן יש מקסימום

למה בדוגמה חייבת להיות נקודת מקסימום כש- $x>0$ ?

Show the answer and the solution

כי $f(0)=0$ , כל הערכים ל- $x>0$ חיוביים, ורחוק הם שוב מתקרבים ל- $0$ . גרף שעולה מאפס וחוזר לאפס חייב להגיע לגובה מקסימלי באמצע.

השורה הראשונה בכל פתרון היא תחום ההגדרה. כל מסקנה אחרת — שורש, סימן, קיצון — נבדקת מולו.

שתי טעויות סקיצה.

\frac{1}{(x+1)^2}:\quad -\ \big|_{-1}\ +

\frac{1}{(x+1)^2}:\quad +\ \big|_{-1}\ +

גורם בריבוע לא מחליף סימן. ליד קיר כזה שני הענפים הולכים לאותו כיוון.

\begin{aligned}f(0)<0 \\ \ f(2)>0 \Rightarrow f(x_0) &= 0 \\ \ \ 0<x_0<2\end{aligned}

x=1 \notin D

אין בהכרח שורש בין $0$ ל- $2$ : $x=1$ מחוץ לתחום, והסימן התחלף בקיר. ב- $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ הסימן מתחלף באסימפטוטה, לא בשורש. מעבר מסימן לסימן מבטיח שורש רק כשהפונקציה מוגדרת בכל הקטע.

Exercises

Exercise 1

באיזו נקודה חותך הגרף של $f(x)=\dfrac{2x-6}{x+3}$ את ציר ה- $y$ ? כתבו את שיעור ה- $y$ .

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f(0)=\frac{-6}{3}

מציבים $x=0$

=-2

מחשבים

המלכודת: להציב $y=0$ ולקבל $x=3$ — זו נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ . עם ציר ה- $y$ מציבים $x=0$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=\dfrac{x-5}{x+2}$ . השלימו את נתוני הסקיצה.

חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____. חיתוך עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____. אסימפטוטה אנכית: $x=$ ____. אסימפטוטה אופקית: $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x=$ 5. חיתוך עם ציר ה- $y$ : $y=$ -2.5. אסימפטוטה אנכית: $x=$ -2. אסימפטוטה אופקית: $y=$ 1

Worked solution:

\begin{aligned}x-5 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

המונה מתאפס

f(0)=-\frac{5}{2}

הצבת אפס

\begin{aligned}x+2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

המכנה מתאפס

\frac{x}{x}=1

מעלות שוות

ארבעה נתונים, ושתי מלכודות סימן: $x=-5$ במקום $5$ , ו- $x=2$ במקום $-2$ . שורש של $x+2$ הוא $-2$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$ . מה סימן $f$ בתחום $-1<x<2$ ?

חיובי
משתנה בתוך התחום
אפס
שלילי

Show the answer and the solution

Answer: D שלילי

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{-2}{1} \\ &= -2<0\end{aligned}

נקודת בדיקה אחת מתוך התחום

-1,\ 2

הסימן יכול להתחלף רק בקצוות התחום

בתוך תחום שאין בו שורש ואין בו ערך אסור, הסימן אינו משתנה — לכן נקודת בדיקה אחת מספיקה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x-1)^2}$ . מיינו את התחומים.

הגרף מעל ציר ה- $x$
הגרף מתחת לציר ה- $x$

$-3<x<1$
$1<x<2$
$x<-3$
$x>2$

Show the answer and the solution

Answer: $x<-3$ — הגרף מעל ציר ה- $x$ · $-3<x<1$ — הגרף מתחת לציר ה- $x$ · $1<x<2$ — הגרף מתחת לציר ה- $x$ · $x>2$ — הגרף מעל ציר ה- $x$

Worked solution:

f(-4)=\frac{6}{25}>0

בודקים

f(0)=-6<0

בודקים

f(1.5)=-9<0

בודקים

f(3)=1.5>0

בודקים

המלכודת היא לחשוב שהסימן מתחלף ב- $x=1$ . הגורם $(x-1)^2$ בריבוע — משני צדי הקיר הסימן זהה.

Check the answer on elev

Exercise 5

איזו פונקציה מתאימה לגרף שבציור?

$\dfrac{x-1}{x-2}$
$\dfrac{x-1}{x+2}$
$\dfrac{x+1}{x-2}$
$\dfrac{2x-2}{x+2}$

Show the answer and the solution

Answer: B $\dfrac{x-1}{x+2}$

Worked solution:

x=-2

האסימפטוטה האנכית בציור — מכנה $x+2$

y=1

האסימפטוטה האופקית — מקדמים מובילים שווים

(1,0)

החיתוך עם ציר ה- $x$ — מונה $x-1$

$\frac{2x-2}{x+2}$ מתאימה לשני נתונים מתוך שלושה — אבל האסימפטוטה האופקית שלה $y=2$ . בודקים את כל הנתונים, לא רק את הקירות.

Check the answer on elev

Exercise 6

אפשר לדעת בלי לגזור שלפונקציה $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$ יש נקודת מינימום.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x^2 \geq 0,\ x^2+1>0 \Rightarrow f(x) \geq 0

הפונקציה אינה שלילית

f(0)=0

והיא מקבלת את הערך $0$

(0,0)

לכן זו נקודה נמוכה ביותר

הטענה נכונה. כשידוע ש- $f \geq 0$ וש- $f$ מגיעה ל- $0$ , הנקודה הזו היא מינימום — בלי נגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 7

איך נראה הגרף של $f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$ ליד $x=3$ ?

יורד משמאל ועולה מימין
עולה ל- $\infty$ משני הצדדים
יורד ל- $-\infty$ משני הצדדים
עולה משמאל ויורד מימין

Show the answer and the solution

Answer: B עולה ל- $\infty$ משני הצדדים

Worked solution:

(x-3)^2>0

המכנה חיובי משני הצדדים

x \to 3:\quad (x-3)^2 \to 0^{+} \Rightarrow f(x) \to \infty

מספר חיובי קבוע חלקי מספר חיובי שמתקרב לאפס — ערך חיובי ענק

התמונה של $\frac{1}{x-3}$ — עלייה מצד אחד וירידה מהשני — אינה נכונה כאן: הריבוע מבטל את החלפת הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 8

כמה נקודות חיתוך עם הצירים (עם שני הצירים יחד) יש לגרף של $f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x^2+1}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}x^2-x-6 &= (x-3)(x+2) \\ &= 0\end{aligned}

שני שורשים: $3$ ו- $-2$

f(0)=-6

חיתוך אחד עם ציר ה- $y$

2+1=3

סך הכול

המלכודת: לשכוח את ציר ה- $y$ , או לחשוב שהמכנה מתאפס. $x^2+1$ חיובי תמיד, ו- $0$ בתחום.

Check the answer on elev

Exercise 9

תלמיד בדק את $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(0)=-2<0

f(2)=4>0

\text{יש } \text{ל-}f\text{ שורש בין } 0 \text{ ל-} 2

Show the answer and the solution

Answer: $\text{יש } \text{ל-}f\text{ שורש בין } 0 \text{ ל-} 2$ → $x=1:\ \text{אסימפטוטה, לא שורש}$

Worked solution:

\begin{aligned}x-1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בין $0$ ל- $2$ יש ערך אסור

\begin{aligned}x+2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

השורש היחיד — מחוץ לקטע

שני החישובים נכונים, המסקנה לא. הסימן התחלף בקיר $x=1$ . שינוי סימן מבטיח שורש רק כשהפונקציה מוגדרת בכל הקטע.

Check the answer on elev

Exercise 10

האם ייתכן שלגרף של פונקציה רציונלית יש אסימפטוטה אופקית $y=2$ , והגרף חותך אותה?

לא, כי הערך $2$ מתקבל רק באינסוף
כן, למשל $\dfrac{2x^2+x}{x^2+1}$ חותכת אותה ב- $x=2$
לא, גרף לעולם אינו נוגע באסימפטוטה
כן, אבל רק אם יש גם אסימפטוטה אנכית

Show the answer and the solution

Answer: B כן, למשל $\dfrac{2x^2+x}{x^2+1}$ חותכת אותה ב- $x=2$

Worked solution:

\frac{2x^2}{x^2}=2

האסימפטוטה האופקית $y=2$

\begin{aligned}2x^2+x &= 2x^2+2 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

משווים ל- $2$

\begin{aligned}f(2) &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה

הגבלת «לא נוגע» נכונה לאסימפטוטה אנכית בלבד. אסימפטוטה אופקית מתארת את הקצוות — ובאמצע מותר לחצות אותה, גם בלי שום קיר.

Check the answer on elev

דוגמה אחת, מההתחלה עד הציור

מאיזה צד הגרף מתקרב לקיר?

Exercises

Keep practising on elev