Domain and the root function

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

נסו להקיש במחשבון −4\sqrt{-4}: תופיע הודעת שגיאה. אין מספר ממשי שריבועו −4-4. לכן לגרף של y=xy=\sqrt{x} אין אף נקודה משמאל לציר ה-yy. הסתכלו על הגרף לפני כל כלל.

הגרף של y = √x
(0,0)(1,1)(4,2)(9,3)אין גרף-3-2-10123456789-1123xy
הגרף מתחיל בנקודה (0,0)(0,0) ופונה ימינה. הוא עולה, אבל לאט יותר ויותר: כדי לעלות מ-22 ל-33 צריך להתקדם מ-x=4x=4 עד x=9x=9.

לפי הגרף: למה הגרף לא ממשיך שמאלה מהנקודה (0,0)(0,0)? ומהו תחום הערכים של yy?

Show the answer and the solution

משמאל ל-00 הערכים של xx שליליים, ושורש של מספר שלילי אינו מוגדר. הערכים של yy הם y≥0y \geq 0: שורש אף פעם אינו שלילי.

תחום ההגדרה של g(x)\sqrt{g(x)}

y=g(x):g(x)≥0y = \sqrt{g(x)} \quad : \quad g(x) \geq 0

מה שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי. לכן תחום ההגדרה הוא פתרון של אי-שוויון. אי-שוויון ממעלה ראשונה פותרים ישירות, ואי-שוויון ריבועי פותרים בשיטת הקטעים.

x−3 : x≥3\sqrt{x-3} \ : \ x \geq 3

אי-שוויון ממעלה ראשונה

6−2x : x≤3\sqrt{6-2x} \ : \ x \leq 3

מחלקים ב-−2-2, ולכן כיוון האי-שוויון מתהפך

x2−9 : x≤−3 או x≥3\sqrt{x^2-9} \ : \ x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3

שיטת הקטעים: הפרבולה x2−9x^2-9 חיובית מחוץ לשורשים

x2+1 : כל x\sqrt{x^2+1} \ : \ \text{כל } x

x2+1≥1x^2+1 \geq 1 תמיד

1x−2 : x>2\frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x > 2

השורש במכנה, ולכן אסור שיהיה 00

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−4xf(x)=\sqrt{x^2-4x}?

Show the answer and the solution

x2−4x=x(x−4)≥0x^2-4x=x(x-4) \geq 0. השורשים 00 ו-44, והפרבולה חיובית מחוץ להם: x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4. בין 00 ל-44 הפונקציה אינה מוגדרת.

הזזות ושיקופים של x\sqrt{x}

ax+b\sqrt{ax+b} — מאיפה הגרף מתחיל ולאן הוא פונה

הגרף של y=ax+by=\sqrt{ax+b} מתחיל בנקודה שבה ax+b=0ax+b=0, כלומר ב-(−ba, 0)\left(-\frac{b}{a},\,0\right). אם a>0a>0 הגרף פונה ימינה (x≥−bax \geq -\frac{b}{a}). אם a<0a<0 הגרף פונה שמאלה (x≤−bax \leq -\frac{b}{a}).

תחום, נקודת התחלה וחיתוך עם הצירים

נתונה f(x)=8−2x−2f(x)=\sqrt{8-2x}-2. מצאו את תחום ההגדרה, את נקודת ההתחלה של הגרף ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

8−2x≥0 ⇒ x≤48-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

תחום ההגדרה. a=−2<0a=-2<0, ולכן הגרף פונה שמאלה

f(4)=0−2=−2\begin{aligned}f(4) &= \sqrt{0}-2 \\ &= -2\end{aligned}

נקודת ההתחלה: (4, −2)(4,\,-2)

f(0)=8−2=22−2\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{8}-2 \\ &= 2\sqrt{2}-2\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: (0, 22−2)(0,\,2\sqrt{2}-2)

8−2x=2 ⇒ 8−2x=4 ⇒ x=2\begin{aligned}\sqrt{8-2x} &= 2 \ \Rightarrow \ 8-2x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (2, 0)(2,\,0). בדיקה: 4−2=0\sqrt{4}-2=0 ✓

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+1+3−xf(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}?

Show the answer and the solution

שני השורשים צריכים להיות מוגדרים: x≥−1x \geq -1 וגם x≤3x \leq 3. התחום הוא −1≤x≤3-1 \leq x \leq 3: החיתוך של שני התחומים, לא האיחוד.

תחום ההגדרה הוא הצעד הראשון בכל שאלה על פונקציית שורש: בחקירה, במשוואה ובמשיק. פתרון שנמצא מחוץ לתחום נפסל מיד.

שלוש הטעויות בתחום ההגדרה.

6−2x : x≥3\sqrt{6-2x} \ : \ x \geq 3
6−2x : x≤3\sqrt{6-2x} \ : \ x \leq 3

מחלקים את −2x≥−6-2x \geq -6 במספר שלילי, ולכן כיוון האי-שוויון מתהפך. בדיקה: x=0x=0 נותן 6\sqrt{6}, מוגדר.

x2−9 : x≥3\sqrt{x^2-9} \ : \ x \geq 3
x≤−3 או x≥3x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3

שכחו את החצי השמאלי. בדיקה: x=−5x=-5 נותן 16=4\sqrt{16}=4, מוגדר.

1x−2 : x≥2\frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x \geq 2
1x−2 : x>2\frac{1}{\sqrt{x-2}} \ : \ x > 2

ב-x=2x=2 המכנה הוא 00. שורש במכנה דורש אי-שוויון חזק.

Exercises

Exercise 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=6−3xf(x)=\sqrt{6-3x}?

  1. x≤2x \leq 2
  2. x<2x < 2
  3. x≥2x \geq 2
  4. x≥−2x \geq -2
Show the answer and the solution

Answer: A x≤2x \leq 2

Worked solution:

6−3x≥06-3x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

−3x≥−6 ⇒ x≤2-3x \geq -6 \ \Rightarrow \ x \leq 2

מחלקים ב-−3-3 והופכים את הכיוון

הנכונה: x≤2x \leq 2. מי שבחר x≥2x \geq 2 לא הפך את כיוון האי-שוויון. מי שבחר x<2x<2 שכח שב-x=2x=2 מתקבל 0=0\sqrt{0}=0, מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=2x+6f(x)=\sqrt{2x+6}. השלימו.

תחום ההגדרה: x≥x \geq ____ , f(5)=f(5)= ____

Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה: x≥x \geq -3 , f(5)=f(5)= 4

Worked solution:

2x+6≥0 ⇒ x≥−32x+6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -3

תחום ההגדרה

f(5)=16=4\begin{aligned}f(5) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

הגרף מתחיל ב-(−3, 0)(-3,\,0) ופונה ימינה. 16=4\sqrt{16}=4 ולא ±4\pm 4: השורש הוא תמיד הערך האי-שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−16f(x)=\sqrt{x^2-16}?

  1. x≥4x \geq 4
  2. x≤−4x \leq -4 או x≥4x \geq 4
  3. כל xx
  4. −4≤x≤4-4 \leq x \leq 4
Show the answer and the solution

Answer: B x≤−4x \leq -4 או x≥4x \geq 4

Worked solution:

x2−16=(x−4)(x+4)≥0x^2-16=(x-4)(x+4) \geq 0

מפרקים

x≤−4 או x≥4x \leq -4 \ \text{או} \ x \geq 4

שיטת הקטעים: חיובי מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤−4x \leq -4 או x≥4x \geq 4. −4≤x≤4-4 \leq x \leq 4 הוא בדיוק הקטע שבו הביטוי שלילי. x≥4x \geq 4 שוכח את החצי השמאלי.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x+5−3f(x)=\sqrt{x+5}-3. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x+5−3=0 ⇒ x+5=3\begin{aligned}\sqrt{x+5}-3 &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x+5} \\ &= 3\end{aligned}

מבודדים את השורש

x+5=9 ⇒ x=4\begin{aligned}x+5 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

9−3=0\sqrt{9}-3=0

בדיקה ✓

מי שכותב x+5=3x+5=3 שכח להעלות בחזקת 2. ומי שפותר x=3−5\sqrt{x}=3-5 הוציא את ה-55 מתוך השורש, וזה אסור.

Check the answer on elev

Exercise 5

מיינו את הפונקציות: באילו מהן x=2x=2 נמצא בתחום ההגדרה?

  • מוגדרת ב-x=2x=2
  • לא מוגדרת ב-x=2x=2
  • 1x−2\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}
  • 2x−4\sqrt{2x-4}
  • 5−x\sqrt{5-x}
  • x−3\sqrt{x-3}
  • x2−3x+2\sqrt{x^2-3x+2}
  • x2−5\sqrt{x^2-5}
Show the answer and the solution

Answer: 5−x\sqrt{5-x} — מוגדרת ב-x=2x=2 · 2x−4\sqrt{2x-4} — מוגדרת ב-x=2x=2 · x2−3x+2\sqrt{x^2-3x+2} — מוגדרת ב-x=2x=2 · x−3\sqrt{x-3} — לא מוגדרת ב-x=2x=2 · x2−5\sqrt{x^2-5} — לא מוגדרת ב-x=2x=2 · 1x−2\dfrac{1}{\sqrt{x-2}} — לא מוגדרת ב-x=2x=2

Worked solution:

2⋅2−4=0=0\begin{aligned}\sqrt{2 \cdot 2-4} &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

מוגדר: אפס מותר מתחת לשורש

4−6+2=0\sqrt{4-6+2}=0

גם כאן אפס

10\frac{1}{\sqrt{0}}

חילוק באפס: לא מוגדר

אפס מותר מתחת לשורש, אבל אסור במכנה. לכן 2x−4\sqrt{2x-4} מוגדרת ב-x=2x=2 ו-1x−2\frac{1}{\sqrt{x-2}} לא.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+1+3−xf(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}?

  1. כל xx
  2. x≥−1x \geq -1
  3. x≤3x \leq 3
  4. −1≤x≤3-1 \leq x \leq 3
Show the answer and the solution

Answer: D −1≤x≤3-1 \leq x \leq 3

Worked solution:

x+1≥0 ⇒ x≥−1x+1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -1

השורש הראשון

3−x≥0 ⇒ x≤33-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

השורש השני

−1≤x≤3-1 \leq x \leq 3

שניהם יחד: חיתוך

הנכונה: −1≤x≤3-1 \leq x \leq 3. «כל xx» מתקבל כשלוקחים איחוד של התחומים. אבל סכום מוגדר רק כששני המחוברים מוגדרים.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: תחום ההגדרה של f(x)=x2+4f(x)=\sqrt{x^2+4} הוא כל xx.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x2≥0 ⇒ x2+4≥4>0x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x^2+4 \geq 4 > 0

הביטוי חיובי תמיד

הטענה נכונה. לא כל שורש מגביל את התחום: כאן מה שמתחת לשורש לעולם אינו שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 8

תחום ההגדרה של f(x)=12−x−x2f(x)=\sqrt{12-x-x^2} הוא קטע. מהו אורך הקטע?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

12−x−x2≥0 ⇒ x2+x−12≤012-x-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x^2+x-12 \leq 0

כופלים ב-−1-1 והופכים את הכיוון

(x+4)(x−3)≤0 ⇒ −4≤x≤3(x+4)(x-3) \leq 0 \ \Rightarrow \ -4 \leq x \leq 3

בין השורשים

3−(−4)=73-(-4)=7

אורך הקטע

אחרי הכפל ב-−1-1 הכיוון מתהפך. מי ששוכח את זה מקבל x≤−4x \leq -4 או x≥3x \geq 3, ושם אין קטע סופי.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

  • x−4\sqrt{x-4}
  • 4−x\sqrt{4-x}
  • 1x−4\dfrac{1}{\sqrt{x-4}}
  • 14−x\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}
  • x≥4x \geq 4
  • x≤4x \leq 4
  • x<4x < 4
  • x>4x > 4
Show the answer and the solution

Answer: x−4\sqrt{x-4} — x≥4x \geq 4 · 4−x\sqrt{4-x} — x≤4x \leq 4 · 1x−4\dfrac{1}{\sqrt{x-4}} — x>4x > 4 · 14−x\dfrac{1}{\sqrt{4-x}} — x<4x < 4

Worked solution:

4−x≥0 ⇒ x≤44-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

מינוס לפני xx הופך את הכיוון

x−4≠0 ⇒ x≠4\sqrt{x-4} \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 4

במכנה: אי-שוויון חזק

ארבעה תחומים שונים, וכולם סביב המספר 44. שני דברים מבדילים ביניהם: הסימן של xx (הכיוון), והמכנה (האם 44 עצמו נכלל).

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=ax+bf(x)=\sqrt{ax+b}. ידוע שתחום ההגדרה של ff הוא x≤5x \leq 5, ושהגרף עובר בנקודה (1, 2)(1,\,2). מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

Show the answer and the solution

Answer: a=a= -1 , b=b= 5

Worked solution:

−ba=5 ⇒ b=−5a\begin{aligned}-\frac{b}{a} &= 5 \ \Rightarrow \ b \\ &= -5a\end{aligned}

הגרף מתחיל ב-x=5x=5

a+b=2 ⇒ a+b=4\begin{aligned}\sqrt{a+b} &= 2 \ \Rightarrow \ a+b \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה (1,2)(1,2) על הגרף

a−5a=4 ⇒ a=−1 b=5\begin{aligned}a-5a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1 \\ \ b &= 5\end{aligned}

מציבים

5−x : x≤5\sqrt{5-x} \ : \ x \leq 5

בדיקה ✓

התחום x≤5x \leq 5 אומר גם ש-a<0a<0: הגרף פונה שמאלה. a=−1a=-1 מתאים לזה. מי שמקבל a>0a>0 טעה בסימן.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade