Root function derivative

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפני כל כלל, נסתכל על הגרף של y=xy=\sqrt{x} ועל שני משיקים שלו. אחר כך נראה שאין צורך בכלל חדש: השורש הוא חזקה, וכלל החזקה שכבר יש לנו מספיק.

שני משיקים לגרף y = √x
(1,1)(4,2)-10123456789123xy
בנקודה (1,1)(1,1) המשיק עולה חצי יחידה על כל יחידה ימינה: שיפועו 12\frac{1}{2}. בנקודה (4,2)(4,2) המשיק שטוח יותר: שיפועו 14\frac{1}{4}. ככל ש-xx גדל, השיפוע קטן.

לפי שני השיפועים 12\frac{1}{2} ב-x=1x=1 ו-14\frac{1}{4} ב-x=4x=4: איזו נוסחה מתאימה לשניהם — 1x\frac{1}{\sqrt{x}} או 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}?

Show the answer and the solution

121=12\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2} ו-124=14\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}. 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} מתאימה. 1x\frac{1}{\sqrt{x}} נותנת 11 ו-12\frac{1}{2}: פי שניים מהשיפוע שרואים בגרף.

לכתוב את השורש כחזקה

x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

מאיפה בא ה-2 במכנה

נגזור x\sqrt{x} בעזרת כלל החזקה בלבד.

x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

כותבים כחזקה

12x−12\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}

כלל החזקה: החזקה יורדת וקטנה באחד

12⋅1x\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}

חזקה שלילית היא מנה

12x\frac{1}{2\sqrt{x}}

וזו התוצאה

ה-22 אינו שרירותי — הוא החזקה 12\frac{1}{2} שירדה למטה. מי שזוכר מאיפה הוא בא לא ישכח אותו.

תחום ההגדרה — ופער שכדאי לשים לב אליו

f(x)=x : x≥0f(x) = \sqrt{x} \ : \ x \geq 0

הפונקציה מוגדרת גם באפס.

f′(x)=12x : x>0f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ : \ x > 0

הנגזרת אינה מוגדרת באפס — שם המכנה מתאפס.

זהו המקרה הראשון שבו תחום הנגזרת צר מתחום הפונקציה. ב-x=0x=0 המשיק אנכי: אין לו שיפוע.

מה קורה ל-f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} כאשר xx מתקרב לאפס?

Show the answer and the solution

המכנה קטן והולך, ולכן הנגזרת גדלה ללא גבול. הגרף נעשה תלול יותר ויותר, עד למשיק אנכי בנקודה x=0x = 0 עצמה.

שורש בתוך מכפלה או מנה

כשהשורש מופיע לצד ביטוי אחר, לרוב כדאי לפשט לחזקה לפני הגזירה במקום לפתוח בכלל המכפלה.

לפשט לפני שגוזרים

גזרו: f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x}

x⋅x12=x32x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}

חוק החזקות — מחברים מעריכים

32x12\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}

כלל החזקה

32x\frac{3}{2}\sqrt{x}

וחוזרים לשורש

בכלל המכפלה זה היה יוצא נכון גם כן, אבל בשלושה שלבים נוספים. פישוט לפני גזירה חוסך שגיאות.

גזרו f(x)=xxf(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x} בלי כלל המנה.

Show the answer and the solution

x1/2x=x−12\frac{x^{1/2}}{x} = x^{-\frac{1}{2}}, ונגזרתו −12x−32=−12xx-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}. כלל המנה מיותר כשאפשר לצמצם חזקות.

שתי הטעויות של גזירת שורש.

(x)′=1x(\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}
(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

ה-22 נשכח. הוא בא מהחזקה 12\frac{1}{2} שירדה למטה — לא משום מקום אחר.

(x)′=x′(\sqrt{x})' = \sqrt{x'}
(x)′=(x12)′=12x−12\begin{aligned}(\sqrt{x})' &= \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' \\ &= \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\end{aligned}

אי אפשר «להכניס» את הגזירה לתוך השורש. קודם כותבים כחזקה, ורק אז גוזרים.

Exercises

Exercise 1

גזרו: f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

  1. 12x\dfrac{1}{2x}
  2. 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  3. 1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}
  4. 2x2\sqrt{x}
Show the answer and the solution

Answer: B 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Worked solution:

x12x^{\frac{1}{2}}

כחזקה

12x−12=12x\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

כלל החזקה

ה-22 הוא החזקה 12\frac{1}{2} שירדה למטה.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. חשבו את f′(9)f'(9). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.167

Worked solution:

f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

הנגזרת

12⋅3=16≈0.167\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \approx 0.167

מציבים

בלי ה-22 היה יוצא 13\frac{1}{3} — פי שניים מהאמת.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. חשבו את f′(0.25)f'(0.25).

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

0.25=0.5\sqrt{0.25} = 0.5

השורש

12⋅0.5=1\frac{1}{2 \cdot 0.5} = 1

מציבים

ככל שמתקרבים לאפס השיפוע גדל — הגרף נעשה תלול.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו תחום ההגדרה של הנגזרת של f(x)=xf(x) = \sqrt{x}?

  1. כל xx
  2. x>0x > 0
  3. x≠0x \neq 0
  4. x≥0x \geq 0
Show the answer and the solution

Answer: B x>0x > 0

Worked solution:

f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

הנגזרת

x≠0⇒x>0\sqrt{x} \neq 0 \Rightarrow x > 0

המכנה

הפונקציה מוגדרת גם ב-00, הנגזרת לא. שם המשיק אנכי.

Check the answer on elev

Exercise 5

גזרו: f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x}

  1. 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  2. 32x\dfrac{3}{2}\sqrt{x}
  3. x\sqrt{x}
  4. 32x\dfrac{3}{2}x
Show the answer and the solution

Answer: B 32x\dfrac{3}{2}\sqrt{x}

Worked solution:

x⋅x12=x32x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}

חוק החזקות

32x12=32x\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}

כלל החזקה

אפשר גם בכלל המכפלה — אותה תשובה, בשלושה שלבים נוספים.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x}. חשבו את f′(4)f'(4).

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=32xf'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}

הנגזרת

32⋅2=3\frac{3}{2} \cdot 2 = 3

מציבים

4=2\sqrt{4}=2, ומשם ישר.

Check the answer on elev

Exercise 7

גזרו: f(x)=xxf(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x}

  1. −12xx-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}
  2. −12x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  3. 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  4. 12x\dfrac{1}{2x}
Show the answer and the solution

Answer: A −12xx-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}

Worked solution:

x1/2x=x−12\frac{x^{1/2}}{x} = x^{-\frac{1}{2}}

מצמצמים חזקות

−12x−32-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}

כלל החזקה

−12xx-\frac{1}{2x\sqrt{x}}

חוזרים לשורש

כלל המנה מיותר כאן. צמצום חזקות קודם — ושלושה שלבים במקום שישה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון f(x)=xxf(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x}. חשבו את f′(4)f'(4).

Show the answer and the solution

Answer: -0.0625

Worked solution:

f′(x)=−12xxf'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}

הנגזרת

−12⋅4⋅2=−116-\frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 2} = -\frac{1}{16}

מציבים

−0.0625-0.0625. שלילי — הפונקציה יורדת.

Check the answer on elev

Exercise 9

מדוע ב-x=0x = 0 אין לגרף y=xy = \sqrt{x} שיפוע?

  1. יש שם נקודת קיצון
  2. השיפוע שווה לאפס
  3. המשיק שם אנכי
  4. הפונקציה לא מוגדרת שם
Show the answer and the solution

Answer: C המשיק שם אנכי

Worked solution:

f′(x)=12xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

כש-xx מתקרב ל-00 המכנה מתקרב ל-00, והנגזרת גדלה ללא גבול

הפונקציה כן מוגדרת ב-00 (ערכה 00) — רק הנגזרת אינה.

Check the answer on elev

Exercise 10

הוכיחו ש-(x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, בעזרת כלל החזקה בלבד.

  • x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • כלל החזקה: (xn)′=nxn−1(x^n)' = n x^{n-1}

(x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Show the answer and the solution
  1. x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} — הגדרת שורש כחזקה
  2. (x12)′=12x−12\left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} — כלל החזקה עם n=12n = \frac{1}{2}
  3. x−12=1xx^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} — חזקה שלילית היא הופכי
  4. (x)′=12⋅1x\left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} — הצבת החזקה השלילית
  5. (x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} — כפל השברים
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade