Irrational equations

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משוואה שבה הנעלם נמצא מתחת לשורש נקראת משוואה אי-רציונלית. נתחיל ב-x+2=x\sqrt{x+2}=x, ונסתכל קודם על הגרפים של שני האגפים.

לפי הגרף: כמה פתרונות יש למשוואה x+2=x\sqrt{x+2}=x?

Show the answer and the solution

פתרון אחד, x=2x=2. זו נקודת החיתוך היחידה של שני הגרפים.

פותרים — ומקבלים פתרון אחד יותר מדי

נעלה את שני האגפים בחזקת 2, ונפתור.

x+2=x ⇒ x+2=x2\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ \Rightarrow \ x+2 \\ &= x^2\end{aligned}

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

x2−x−2=0 ⇒ x=2 או x=−1\begin{aligned}x^2-x-2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

משוואה ריבועית

x=2: 4=2 ✓\begin{aligned}x &= 2 : \ \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה במשוואה המקורית: מתאים

x=−1: 1=1≠−1 נפסל\begin{aligned}x &= -1 : \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה: לא מתאים, נפסל

x=2x=2

הפתרון היחיד, בדיוק כמו בגרף

מאיפה בא x=−1x=-1? ההעלאה בחזקת 2 איננה הפיכה. אם a=ba=b אז a2=b2a^2=b^2, אבל a2=b2a^2=b^2 מתקיים גם כש-a=−ba=-b. המספר −1-1 פותר את המשוואה x+2=−x\sqrt{x+2}=-x, ולא את המשוואה שלנו.

ארבעה שלבים — והרביעי חובה

11

מבודדים את השורש באגף אחד

22

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

33

פותרים את המשוואה שהתקבלה

44

בודקים כל פתרון בהצבה במשוואה המקורית, ופוסלים את מה שלא מתאים

בלי לחשב: כמה פתרונות יש למשוואה x−3=−2\sqrt{x-3}=-2?

Show the answer and the solution

אין פתרון. שורש אינו שלילי לעולם. מי שמעלה בחזקת 2 מקבל x=7x=7, והבדיקה נותנת 4=2≠−2\sqrt{4}=2 \neq -2.

שורש שווה לשורש

שני שורשים, ותחום הגדרה

פתרו: x+5=3x−1\sqrt{x+5}=\sqrt{3x-1}

x+5=3x−1x+5=3x-1

מעלים בחזקת 2: שני השורשים נעלמים

x=3x=3

פותרים

8=8 ✓\sqrt{8}=\sqrt{8} \ \checkmark

בדיקה: שני האגפים מוגדרים ושווים

כששני האגפים שורשים, הסכנה איננה סימן אלא תחום הגדרה. ב-x−5=1−x\sqrt{x-5}=\sqrt{1-x} מקבלים x=3x=3, אבל 3−5\sqrt{3-5} אינו מוגדר. לכן גם כאן בודקים.

שלוש הטעויות במשוואות אי-רציונליות.

x+2=x ⇒ x=2 x=−1\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}
x+2=x ⇒ x=2\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

בלי בדיקה נשאר פתרון זר. 1=1\sqrt{1}=1, ולא −1-1.

(x+1)2=x+1\left(\sqrt{x}+1\right)^2=x+1
(x+1)2=x+2x+1\left(\sqrt{x}+1\right)^2=x+2\sqrt{x}+1

נוסחת הכפל המקוצר חלה גם על שורשים. בגלל האיבר האמצעי מבודדים את השורש לפני ההעלאה בחזקה.

x2+9=x+3\sqrt{x^2+9}=x+3
x2+9≠x+3\sqrt{x^2+9} \neq x+3

שורש של סכום אינו סכום של שורשים. בדיקה: x=4x=4 נותן 5≠75 \neq 7.

Exercises

Exercise 1

פתרו: x+7=3\sqrt{x+7}=3

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x+7=9x+7=9

מעלים בחזקת 2

x=2x=2

פותרים

9=3 ✓\sqrt{9}=3 \ \checkmark

בדיקה

מי שכותב x+7=3x+7=3 שכח להעלות בחזקת 2, ומקבל x=−4x=-4. שם 3≠3\sqrt{3} \neq 3.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו: 3x−2=x\sqrt{3x-2}=x. למשוואה שני פתרונות. השלימו.

הפתרון הקטן: ____ , הפתרון הגדול: ____

Show the answer and the solution

Answer: הפתרון הקטן: 1 , הפתרון הגדול: 2

Worked solution:

3x−2=x2 ⇒ x2−3x+2=0\begin{aligned}3x-2 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2-3x+2 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=1 או x=2\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

1=1 ✓4=2 ✓\begin{aligned}\sqrt{1} &= 1 \ \checkmark \qquad \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שניהם מתאימים

הבדיקה לא תמיד פוסלת. כאן שני הפתרונות מתאימים. אבל גם כאן חייבים לבדוק, כי אי אפשר לדעת מראש.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו: x+6=x\sqrt{x+6}=x

  1. x=−2x=-2 בלבד
  2. x=3x=3 או x=−2x=-2
  3. אין פתרון
  4. x=3x=3 בלבד
Show the answer and the solution

Answer: D x=3x=3 בלבד

Worked solution:

x+6=x2 ⇒ x2−x−6=0\begin{aligned}x+6 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2-x-6 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=3 או x=−2\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -2\end{aligned}

מועמדים

x=3:9=3 ✓x=−2:4=2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 3: \sqrt{9} \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= -2: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: x=3x=3 בלבד. «x=3x=3 או x=−2x=-2» היא תשובה בלי בדיקה. באגף ימין עומד xx, ושורש אינו שווה למספר שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו: 2x+1+1=x\sqrt{2x+1}+1=x

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

2x+1=x−1\sqrt{2x+1}=x-1

מבודדים

2x+1=x2−2x+1 ⇒ x2−4x=0\begin{aligned}2x+1 &= x^2-2x+1 \ \Rightarrow \ x^2-4x \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=0 או x=4\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 4\end{aligned}

מועמדים

x=0:1+1=2≠0 נפסלx=4:3+1=4 ✓\begin{aligned}x &= 0: \sqrt{1}+1 \\ &= 2 \neq 0 \ \text{נפסל} \qquad x \\ &= 4: 3+1 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

x=0x=0 נפסל. והפתרון הזה נראה טבעי, ולכן קל לשכוח לבדוק אותו.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: למשוואה x−1=−3\sqrt{x-1}=-3 אין פתרון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x−1≥0>−3\sqrt{x-1} \geq 0 > -3

שורש אינו שלילי

x−1=9 ⇒ x=10: 9=3≠−3\begin{aligned}x-1 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 : \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

ההעלאה בחזקה נותנת מועמד שנפסל

הטענה נכונה. מי שמעלה בחזקת 2 ולא בודק «מוצא» את x=10x=10.

Check the answer on elev

Exercise 6

סדרו את שלבי הפתרון של המשוואה x+3=x−3\sqrt{x+3}=x-3.

  • x2−7x+6=0x^2-7x+6=0
  • x+3=x2−6x+9x+3=x^2-6x+9
  • x=1x=1 או x=6x=6
  • בדיקה: x=6x=6 מתאים, x=1x=1 נפסל
Show the answer and the solution

Answer: x+3=x2−6x+9x+3=x^2-6x+9 · x2−7x+6=0x^2-7x+6=0 · x=1x=1 או x=6x=6 · בדיקה: x=6x=6 מתאים, x=1x=1 נפסל

Worked solution:

x=6:9=3=6−3 ✓\begin{aligned}x &= 6: \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 6-3 \ \checkmark\end{aligned}

מתאים

x=1:4=2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 1: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

נפסל

הבדיקה היא השלב האחרון ואי אפשר לדלג עליה. התשובה: x=6x=6.

Check the answer on elev

Exercise 7

בפתרון שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x+4=x−2\sqrt{x+4}=x-2
x+4=x2−4x+4=x^2-4
x2−x−8=0x^2-x-8=0
Show the answer and the solution

Answer: x+4=x2−4x+4=x^2-4 → x+4=x2−4x+4x+4=x^2-4x+4

Worked solution:

(x−2)2=x2−4x+4(x-2)^2=x^2-4x+4

נוסחת הכפל המקוצר

x2−5x=0 ⇒ x=0 x=5\begin{aligned}x^2-5x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 5\end{aligned}

מועמדים

x=5:3=3 ✓x=0:2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 5: 3 \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 0: 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה: x=5x=5

הטעות בשורה השנייה: (x−2)2≠x2−4(x-2)^2 \neq x^2-4. חסר האיבר האמצעי −4x-4x. הפתרון הנכון x=5x=5.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו: 5x−4=x+8\sqrt{5x-4}=\sqrt{x+8}

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

5x−4=x+85x-4=x+8

מעלים בחזקת 2

4x=12 ⇒ x=3\begin{aligned}4x &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

11=11 ✓\sqrt{11}=\sqrt{11} \ \checkmark

בדיקה: שני האגפים מוגדרים

כששני האגפים שורשים, בודקים שהפתרון נמצא בתחום ההגדרה של שניהם.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו: x−5=1−x\sqrt{x-5}=\sqrt{1-x}

  1. כל xx
  2. אין פתרון
  3. x=3x=3
  4. x=3x=3 או x=−3x=-3
Show the answer and the solution

Answer: B אין פתרון

Worked solution:

x−5=1−x ⇒ x=3\begin{aligned}x-5 &= 1-x \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

3−5=−2\sqrt{3-5}=\sqrt{-2}

לא מוגדר: x=3x=3 נפסל

x≥5 וגם x≤1x \geq 5 \ \text{וגם} \ x \leq 1

והתחום עצמו ריק

הנכונה: אין פתרון. מי שבחר x=3x=3 לא בדק. תחום ההגדרה של המשוואה ריק, ולכן היה אפשר לענות עוד לפני כל חישוב.

Check the answer on elev

Exercise 10

כמה פתרונות יש למשוואה x=x\sqrt{x}=x?

  1. 11
  2. 22
  3. אינסוף
  4. 00
Show the answer and the solution

Answer: B 22

Worked solution:

x=x2 ⇒ x(x−1)=0\begin{aligned}x &= x^2 \ \Rightarrow \ x(x-1) \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=0:0=0 ✓x=1:1=1 ✓\begin{aligned}x &= 0: \sqrt{0} \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= 1: \sqrt{1} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שניהם מתאימים

הנכונה: 22 פתרונות, x=0x=0 ו-x=1x=1. מי שענה 11 חילק ב-xx ואיבד את x=0x=0. לא מחלקים בביטוי שיכול להיות אפס.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade