Studying a root function · Root functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חקירה של פונקציית שורש היא אותה חקירה כמו של פולינום, עם שני דברים חדשים: התחום מוגבל, ולכן יש קצה תחום; והנגזרת לא תמיד מוגדרת בקצה.

1

תחום הגדרה

2

נקודות חיתוך עם הצירים

3

נגזרת ותחום הגדרתה

4

נקודות חשודות: $f'(x)=0$ , וגם קצוות התחום

5

תחומי עלייה וירידה וסוג כל נקודה

6

סקיצה

דוגמה: $f(x)=x-2\sqrt{x}$

לפי הגרף, לפני כל חישוב: איפה הפונקציה מקבלת את הערך הקטן ביותר? והאם הנקודה $(0,0)$ היא נקודת קיצון?

Show the answer and the solution

הערך הקטן ביותר $-1$ , ב- $x=1$ . הנקודה $(0,0)$ גבוהה מכל הנקודות הקרובות אליה בתחום, כי הגרף מתחיל שם ומיד יורד. לכן זו נקודת מקסימום בקצה התחום.

Interactive activity

חקירה מלאה של $f(x)=x-2\sqrt{x}$

f(x)=x-2\sqrt{x}

לחצו «להתחיל». כל שלב הוא שורה בתשובה של בגרות.

תחום

x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי.

חיתוך עם הצירים

\begin{aligned}x-2\sqrt{x} &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x}(\sqrt{x}-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מוציאים $\sqrt{x}$ גורם משותף. הנקודות $(0,0)$ ו- $(4,0)$ .

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{2}{2\sqrt{x}} \\ &= 1-\frac{1}{\sqrt{x}} \ \\ \quad x>0\end{aligned}

הנגזרת מוגדרת רק ל- $x>0$ .

נקודה חשודה

\begin{aligned}1-\frac{1}{\sqrt{x}} &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

וגם קצה התחום $x=0$ הוא נקודה חשודה.

טבלה

\begin{aligned}0<x<1 : \ f'\left(\tfrac{1}{4}\right) &= -1<0 \qquad x>1 : \ f'(4) \\ &= \tfrac{1}{2}>0\end{aligned}

יורדת ב- $0<x<1$ , עולה ב- $x>1$ .

קיצון

\min (1,\,-1) \qquad \max (0,\,0) \ \text{קצה}

$f(1)=1-2=-1$ . ב- $x=0$ הפונקציה מתחילה ומיד יורדת: מקסימום קצה.

משיק בקצה

x \to 0^{+} : \ f'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}

כש- $x$ מתקרב ל- $0$ מימין, $\frac{1}{\sqrt{x}}$ גדל ללא גבול, ולכן $f'$ שלילית וערכה המוחלט גדל ללא גבול. המשיק בנקודה $(0,0)$ אנכי: הישר $x=0$ .

הנגזרת לא מתאפסת ב- $x=0$ , ובכל זאת יש שם קיצון. נקודות חשודות הן גם קצוות התחום, לא רק אפסים של הנגזרת.

Do the activity on elev

קיצון בקצה התחום

y = √(4 − x²)

מקסימום ב-

(0,2)

, ושתי נקודות מינימום בקצוות התחום. בשני הקצוות המשיק אנכי.

ב- $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ התחום הוא $-2 \leq x \leq 2$ . הנגזרת $f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$ מתאפסת ב- $x=0$ , ושם יש מקסימום. בקצוות $x=\pm 2$ הערך $0$ הוא הקטן ביותר: שתי נקודות מינימום קצה.

מה סוג הנקודה $(3,0)$ בגרף של $f(x)=\sqrt{x-3}$ ?

Show the answer and the solution

הפונקציה מוגדרת ל- $x \geq 3$ ועולה לכל $x>3$ , כי $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-3}}>0$ . לכן $(3,0)$ היא נקודת מינימום בקצה התחום. זה המינימום של כל הפונקציה.

כשיש גורם שורש: כלל המכפלה

$f(x)=x\sqrt{6-x}$

תחום $x \leq 6$ . גוזרים בכלל המכפלה ומביאים למכנה משותף.

f'(x)=\sqrt{6-x}+x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{6-x}}

כלל המכפלה, וכלל השרשרת בגורם השני

=\frac{2(6-x)-x}{2\sqrt{6-x}}=\frac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}

מכנה משותף $2\sqrt{6-x}$

\begin{aligned}12-3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \ \\ \ \ f(4) &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של המונה

\max\left(4,\,4\sqrt{2}\right) \qquad \min (6,\,0) \ \text{קצה}

עולה ב- $x<4$ , יורדת ב- $4<x<6$

אחרי מכנה משותף, המכנה $2\sqrt{6-x}$ חיובי בכל פנים התחום. לכן מספיק לחקור את הסימן של המונה $12-3x$ . זה חוסך את כל ההצבות בטבלה.

משיק שמקביל לישר נתון

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{2x-1}$ שמקביל לישר $y=\frac{1}{3}x$ .

Show the answer and the solution

$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=\frac{1}{3}$ , כלומר $\sqrt{2x-1}=3$ ו- $x=5$ . $f(5)=3$ , והמשיק: $y-3=\frac{1}{3}(x-5)$ , כלומר $y=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$ .

שלוש הטעויות בחקירת פונקציית שורש.

\left(x-2\sqrt{x}\right)'=1-\frac{2}{\sqrt{x}}

\left(x-2\sqrt{x}\right)'=1-\frac{1}{\sqrt{x}}

ה- $2$ שלפני השורש מצטמצם עם ה- $2$ של הנגזרת. בלי הצמצום מקבלים נקודה חשודה $x=4$ במקום $x=1$ .

\left(x\sqrt{6-x}\right)'=\frac{-1}{2\sqrt{6-x}}

\left(x\sqrt{6-x}\right)'=\sqrt{6-x}-\frac{x}{2\sqrt{6-x}}

זו מכפלה. גזרו רק את הגורם השני ושכחו את כלל המכפלה.

f'(x) \neq 0

f'(x)=0

אם $f'(x) \neq 0$ , זה לא אומר שאין קיצון. הנקודות החשודות: $f'(x)=0$ וגם קצוות התחום. בקצה התחום הנגזרת לא מתאפסת, ובכל זאת יכולה להיות שם נקודת קיצון.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=x-4\sqrt{x}$ . מצאו את נקודת המינימום הפנימית של הפונקציה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x=$ 4 , $y=$ -4

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{4}{2\sqrt{x}} \\ &= 1-\frac{2}{\sqrt{x}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}\sqrt{x} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

משווים לאפס

\begin{aligned}f(4) &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

הגובה מ- $f$

\begin{aligned}f'(1) &= -1<0 \\ \ \ f'(9) &= \tfrac{1}{3}>0\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

מי ששוכח את ה- $2$ שבמכנה של $(\sqrt{x})'$ כותב $f'(x)=1-\frac{4}{\sqrt{x}}$ ומקבל $x=16$ . את שיעור ה- $y$ מחשבים ב- $f$ , לא ב- $f'$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x)=x-4\sqrt{x}$ . באיזה תחום הפונקציה עולה?

$x>0$
$x<4$
$0<x<4$
$x>4$

Show the answer and the solution

Answer: D $x>4$

Worked solution:

f'(x)=1-\frac{2}{\sqrt{x}}

הנגזרת

\begin{aligned}f'(9) &= \tfrac{1}{3}>0 \\ \ \ f'(1) &= -1<0\end{aligned}

סימן בכל צד של $x=4$

הנכונה: $x>4$ . $x<4$ כולל ערכים שליליים שאינם בתחום. $0<x<4$ הוא תחום הירידה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=x\sqrt{6-x}$ . השלימו.

תחום ההגדרה: $x \leq$ ____ , נקודת המקסימום: $x=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה: $x \leq$ 6 , נקודת המקסימום: $x=$ 4

Worked solution:

6-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 6

תחום

f'(x)=\frac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=4

המונה מתאפס; מ- $+$ ל- $-$

המכנה חיובי בפנים התחום, ולכן הסימן של $f'$ נקבע רק על ידי $12-3x$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=x\sqrt{6-x}$ . מהו הערך המקסימלי של הפונקציה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.66

Worked solution:

x=4

נקודת המקסימום

f(4)=4\sqrt{2} \approx 5.66

מציבים ב- $f$

מי שמציב ב- $f'$ מקבל $0$ . הערך המקסימלי הוא ערך של $f$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה $f(x)=\sqrt{x-3}$ יש נקודת מינימום.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x \geq 3

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x-3}}>0 \\ \ x>3\end{aligned}

עולה בכל פנים התחום

f(3)=0 \leq f(x)

המינימום בקצה: $(3,0)$

הטענה נכונה, והמינימום נמצא בקצה התחום. מי שמחפש רק $f'(x)=0$ לא מוצא אותו.

Check the answer on elev

Exercise 6

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{2x+3}$ שמקביל לישר $y=x$ . מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- $y$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2x+3}} \\ &= 1\end{aligned}

משיק מקביל: אותו שיפוע

\begin{aligned}2x+3 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ f(-1) &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה $(-1,1)$

\begin{aligned}y-1 &= 1(x+1) \ \Rightarrow \ y \\ &= x+2\end{aligned}

המשיק

$x=-1$ נמצא בתחום ( $x \geq -1.5$ ). תמיד בודקים שנקודת ההשקה בתחום.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה $f(x)=x-2\sqrt{x}$ . מיינו את הטענות.

נכון
לא נכון

$(1,\,-1)$ היא נקודת מינימום
הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $x=4$
הנגזרת מוגדרת ב- $x=0$
הפונקציה עולה לכל $x>0$
תחום ההגדרה של $f$ הוא $x \geq 0$

Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה של $f$ הוא $x \geq 0$ — נכון · $(1,\,-1)$ היא נקודת מינימום — נכון · הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $x=4$ — נכון · הנגזרת מוגדרת ב- $x=0$ — לא נכון · הפונקציה עולה לכל $x>0$ — לא נכון

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{\sqrt{x}} \\ \ x>0\end{aligned}

הנגזרת אינה מוגדרת ב- $0$

f'\left(\tfrac{1}{4}\right)=-1<0

יורדת ב- $0<x<1$

הפונקציה מוגדרת ב- $0$ אבל לא גזירה בו. והיא יורדת לפני שהיא עולה.

Check the answer on elev

Exercise 8

המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{x}$ בנקודה שבה $x=4$ חותך את ציר ה- $x$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך.

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

\begin{aligned}f(4) &= 2 \\ \ f'(4) &= \frac{1}{4}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y=\frac{1}{4}x+1

המשיק

\begin{aligned}0 &= \frac{1}{4}x+1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$

המשיק יוצא מחוץ לתחום של הפונקציה. זה מותר: המשיק הוא ישר, ותחום ההגדרה שלו כל $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $f(x)=x-a\sqrt{x}$ , כאשר $a$ פרמטר חיובי. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=9$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f'(x)=1-\frac{a}{2\sqrt{x}}

הנגזרת

\begin{aligned}f'(9) &= 1-\frac{a}{6} \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת

a=6

פותרים

מי שכותב $f'(x)=1-\frac{a}{\sqrt{x}}$ שוכח את ה- $2$ ומקבל $a=3$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ . מה נכון לגבי נקודות הקיצון שלה?

אין נקודות קיצון
מינימום $(0,2)$ ; מקסימום בקצוות
מקסימום $(0,2)$ ; מינימום בקצוות $(-2,0)$ ו- $(2,0)$
מקסימום $(0,2)$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: C מקסימום $(0,2)$ ; מינימום בקצוות $(-2,0)$ ו- $(2,0)$

Worked solution:

-2 \leq x \leq 2

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה פנימית

\begin{aligned}f(0) &= 2 \\ \ f(\pm 2) &= 0\end{aligned}

ערכים בנקודה ובקצוות

הנכונה: מקסימום $(0,2)$ ומינימום בשני הקצוות. «מקסימום בלבד» שוכח את קצוות התחום.

Check the answer on elev

דוגמה: f(x)=x−2xf(x)=x-2\sqrt{x}f(x)=x−2x​

קיצון בקצה התחום

כשיש גורם שורש: כלל המכפלה

משיק שמקביל לישר נתון

Exercises

Keep practising on elev

דוגמה: $f(x)=x-2\sqrt{x}$