Solving together · Root functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה, משוואה אי-רציונלית, פרמטרים ומשיק אנכי, «האם ייתכן», וערכי קיצון בקטע סגור. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — חקירה מלאה, עם משוואה בתוכה

Interactive activity

נתונה $f(x)=\sqrt{8-2x}+x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים. ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה.

f(x)=\sqrt{8-2x}+x

לחצו «להתחיל». התחום הוא הצעד הראשון: הוא יפסול פתרון בסעיף ב.

א. תחום

8-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

הגרף מסתיים בקצה $x=4$ .

ב. ציר y

\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

הנקודה $(0,\,2\sqrt{2})$ .

ב. ציר x

\begin{aligned}\sqrt{8-2x} &= -x \ \Rightarrow \ 8-2x \\ &= x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -4\end{aligned}

מבודדים ומעלים בחזקת 2. שני מועמדים.

ב. בדיקה

\begin{aligned}x &= -4: \sqrt{16}-4 \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= 2: \sqrt{4}+2 \\ &= 4 \neq 0 \ \text{נפסל}\end{aligned}

רק $(-4,\,0)$ . שימו לב: $\sqrt{8-2x}=-x$ מחייב $-x \geq 0$ .

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2}{2\sqrt{8-2x}}+1 \\ &= 1-\frac{1}{\sqrt{8-2x}} \ \\ \quad x<4\end{aligned}

הנגזרת אינה מוגדרת בקצה $x=4$ .

ג. חשודה

\begin{aligned}\sqrt{8-2x} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5 \ \\ \quad f(3.5) &= 1+3.5 \\ &= 4.5\end{aligned}

נקודה חשודה פנימית, ועוד הקצה $(4,\,4)$ .

ד. סימנים

\begin{aligned}f'(0) &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{8}}>0 \qquad f'(3.9) \\ &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{0.2}}<0\end{aligned}

עולה ב- $x<3.5$ , יורדת ב- $3.5<x<4$ .

ג. ו-ד. מסקנה

\max (3.5,\,4.5) \qquad \min (4,\,4) \ \text{קצה}

הפונקציה יורדת עד הקצה, ולכן הקצה הוא מינימום.

שני מקומות שבהם הפרק «תופס»: הבדיקה בסעיף ב, והקצה $x=4$ בסעיף ג.

Do the activity on elev

האם $(4,\,4)$ היא נקודת המינימום של כל הפונקציה?

Show the answer and the solution

לא. כש- $x$ שלילי וגדול בערכו המוחלט, $f(x)$ קטנה מכל מספר, למשל $f(-4)=0<4$ . הנקודה $(4,4)$ היא מינימום מקומי בקצה התחום.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואה אי-רציונלית

Interactive activity

פתרו: $\sqrt{3x+1}=x-3$

פתרו את המשוואה $\sqrt{3x+1}=x-3$ .

$x=8$

$x=1$ או $x=8$

$x=1$

אין פתרון

השורש כבר מבודד. מה הצעד הבא?

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

Show the answer and the solution

השורש לבד באגף אחד, ולכן הוא ייעלם.

מעלים בחזקת 2 רק את אגף שמאל

Show the answer and the solution

פעולה על אגף אחד בלבד משנה את המשוואה.

3x+1=x^2-6x+9

$(x-3)^2$ לפי נוסחת הכפל המקוצר

איזו משוואה ריבועית מתקבלת?

$x^2-9x+8=0$

Show the answer and the solution

מעבירים $3x+1$ לאגף ימין.

$x^2-3x+8=0$

Show the answer and the solution

$-6x-3x=-9x$ , לא $-3x$ .

\begin{aligned}x^2-9x+8 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 8\end{aligned}

$(x-1)(x-8)=0$

מה עכשיו?

בודקים את שני הפתרונות במשוואה המקורית

Show the answer and the solution

זה השלב שחובה בכל משוואה אי-רציונלית.

עונים $x=1$ או $x=8$

Show the answer and the solution

ההעלאה בחזקה עלולה להוסיף פתרון זר.

\begin{aligned}x &= 8: \sqrt{25} \\ &= 5 \\ &= 8-3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 1: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

$x=1$ נפסל

Show the answer and the solution

הפתרון: $x=8$ . בדיקה מהירה שחוסכת חישוב: אגף ימין $x-3$ חייב להיות אי-שלילי, ולכן $x \geq 3$ , ו- $x=1$ לא יכול להתאים.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטרים, משיק אנכי ומשיק מקביל

Interactive activity

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=-2$ משיק לגרף, והמשיק לגרף בנקודה שבה $x=6$ מקביל לישר $y=\frac{1}{2}x$ . א. מצאו את $a$ ואת $b$ . ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה $x=6$ .

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{ax+b} \\ \quad x &= -2 \\ \quad f'(6) &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משיק אנכי לגרף שורש נמצא בנקודת ההתחלה של הגרף.

משיק אנכי

\begin{aligned}a(-2)+b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= 2a\end{aligned}

הגרף מתחיל ב- $x=-2$ : שם מה שמתחת לשורש מתאפס.

הנגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a}{2\sqrt{ax+b}} \ \Rightarrow \ f'(6) \\ &= \frac{a}{2\sqrt{8a}}\end{aligned}

מציבים $b=2a$ : $6a+2a=8a$ .

משוואה

\begin{aligned}\frac{a}{2\sqrt{8a}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a \\ &= \sqrt{8a} \ \Rightarrow \ a^2 \\ &= 8a\end{aligned}

משיקים מקבילים: אותו שיפוע.

א.

\begin{aligned}a &= 8 \\ \quad b &= 16\end{aligned}

$a \neq 0$ , ולכן מחלקים ב- $a$ . בדיקה: $f'(6)=\frac{8}{2\sqrt{64}}=\frac{1}{2}$ ✓

ב.

\begin{aligned}f(6) &= \sqrt{64} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ y-8 \\ &= \tfrac{1}{2}(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{1}{2}x+5\end{aligned}

הנקודה מ- $f$ , השיפוע נתון.

המשוואה $a=\sqrt{8a}$ היא משוואה אי-רציונלית בפני עצמה. גם כאן בודקים את הפתרון.

Do the activity on elev

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה שמצאתם, והאם הנקודה שבה $x=6$ נמצאת בו?

Show the answer and the solution

$8x+16 \geq 0$ , כלומר $x \geq -2$ . $6 \geq -2$ , ולכן כן. אם $x=6$ היה מחוץ לתחום, לשאלה לא היה פתרון.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»: משיק בנקודת ההתחלה

Interactive activity

משיק בנקודה $x=2$

נתונות $f(x)=\sqrt{x-2}$ ו- $g(x)=(x-2)\sqrt{x-2}$ . לשתיהן התחום $x \geq 2$ . האם ייתכן שלשתי הפונקציות אותו משיק בנקודה שבה $x=2$ ? מצאו את המשיק של כל אחת.

ל- $f$ המשיק $x=2$ , ל- $g$ המשיק $y=0$

לשתיהן המשיק $x=2$

לשתיהן המשיק $y=0$

לאף אחת אין משיק ב- $x=2$

מה הנגזרת של $f$ , והאם היא מוגדרת ב- $x=2$ ?

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ , לא מוגדרת

Show the answer and the solution

המכנה מתאפס ב- $x=2$ .

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ , ו- $f'(2)=0$

Show the answer and the solution

המכנה מתאפס, לא המונה. אי אפשר לחלק באפס.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \ \\ \quad x>2\end{aligned}

כש- $x$ מתקרב ל- $2$ הנגזרת גדלה ללא גבול

אז מה המשיק של $f$ ב- $x=2$ ?

הישר האנכי $x=2$

Show the answer and the solution

המשיקים נעשים תלולים יותר ויותר.

אין משיק

Show the answer and the solution

יש משיק, אבל אין לו שיפוע: הוא אנכי.

x=2

משיק אנכי ל- $f$

ומה הנגזרת של $g$ ?

$g'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x-2}$

Show the answer and the solution

$g(x)=(x-2)^{\frac{3}{2}}$ , וכלל החזקה.

$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$

Show the answer and the solution

זו הנגזרת של $f$ . ב- $g$ השורש מוכפל ב- $x-2$ .

\begin{aligned}g'(x) &= \frac{3}{2}\sqrt{x-2} \ \Rightarrow \ g'(2) \\ &= 0\end{aligned}

כאן מותר להציב $x=2$ : אין מכנה

מה המשיק של $g$ ב- $x=2$ ?

$y=0$

Show the answer and the solution

שיפוע $0$ דרך הנקודה $(2,0)$ .

$x=2$

Show the answer and the solution

ל- $g$ יש שיפוע $0$ ב- $x=2$ , ולכן המשיק אופקי.

y=0

משיק אופקי ל- $g$

Show the answer and the solution

ל- $f$ המשיק $x=2$ , ל- $g$ המשיק $y=0$ . «לשתיהן $x=2$ » מניח שכל גרף שורש מתחיל במשיק אנכי. אבל $g$ מוכפלת בגורם שמתאפס שם, והוא «משטיח» את הגרף.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — ערך מקסימלי וערך מינימלי בתחום סגור

Interactive activity

נתונה $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{8-x}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f$ .

f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{8-x}

לחצו «להתחיל». בתחום סגור משווים את הנקודות החשודות ואת הקצוות.

א. תחום

x \geq 0 \ \text{וגם} \ x \leq 8 \ \Rightarrow \ 0 \leq x \leq 8

שני השורשים חייבים להיות מוגדרים.

נגזרת

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{8-x}}

המינוס בא מנגזרת הפנימית של $8-x$ .

חשודה

\begin{aligned}\sqrt{x} &= \sqrt{8-x} \ \Rightarrow \ x \\ &= 8-x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

משווים את שני השברים.

ערכים

\begin{aligned}f(4) &= 2+2 \\ &= 4 \qquad f(0) \\ &= f(8) \\ &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

בנקודה החשודה ובשני הקצוות.

ב.

\begin{aligned}\max &= 4 \ (x=4) \qquad \min \\ &= 2\sqrt{2} \ (x=0 ,\ x=8)\end{aligned}

$2\sqrt{2} \approx 2.83 < 4$ .

הפונקציה סימטרית סביב $x=4$ : $f(8-x)=f(x)$ . לכן לא מפתיע ששני הקצוות נותנים אותו ערך.

Do the activity on elev

האם אפשר היה למצוא את הערך הקטן ביותר בלי הקצוות?

Show the answer and the solution

לא. הנגזרת מתאפסת רק ב- $x=4$ , ושם יש מקסימום. הערך הקטן ביותר נמצא רק בקצוות, והנגזרת לא «רואה» אותם.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x)=\sqrt{15-2x}+x$ . מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה ואת נקודת החיתוך שלה עם ציר ה- $x$ .

מקסימום: $x=$ ____ , $y=$ ____ ; חיתוך עם ציר $x$ : $x=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: $x=$ 7 , $y=$ 8 ; חיתוך עם ציר $x$ : $x=$ -5

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{\sqrt{15-2x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 15-2x \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}f(7) &= 1+7 \\ &= 8\end{aligned}

הגובה

\begin{aligned}\sqrt{15-2x} &= -x \ \Rightarrow \ x^2+2x-15 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -5\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$

\begin{aligned}x &= -5: \sqrt{25}-5 \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= 3: \sqrt{9}+3 \neq 0 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

$x=3$ נפסל בבדיקה. כדי ש- $\sqrt{15-2x}=-x$ יתקיים צריך $x \leq 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו: $\sqrt{2x+10}=x+1$

אין פתרון
$x=3$
$x=3$ או $x=-3$
$x=-3$

Show the answer and the solution

Answer: B $x=3$

Worked solution:

\begin{aligned}2x+10 &= x^2+2x+1 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

מועמדים

\begin{aligned}x &= 3: \sqrt{16} \\ &= 4 \ \checkmark \qquad x \\ &= -3: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: $x=3$ . « $x=3$ או $x=-3$ » היא תשובה בלי בדיקה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=1$ משיק לגרף, ושיפוע המשיק בנקודה שבה $x=5$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ 4 , $b=$ -4

Worked solution:

\begin{aligned}a+b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= -a\end{aligned}

משיק אנכי ב- $x=1$

\begin{aligned}f'(5) &= \frac{a}{2\sqrt{4a}} \\ &= \frac{\sqrt{a}}{4}\end{aligned}

מציבים $b=-a$

\begin{aligned}\frac{\sqrt{a}}{4} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a \\ &= 4 \\ \ b &= -4\end{aligned}

פותרים

המשיק האנכי אומר איפה הגרף מתחיל: שם $ax+b=0$ . מי שכותב $b=a$ שכח את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף $h(x)=x\sqrt{x}$ יש משיק אנכי בנקודה שבה $x=0$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}h(x) &= x^{\frac{3}{2}} \ \Rightarrow \ h'(x) \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{x}\end{aligned}

כלל החזקה

h'(0)=0

הנגזרת מוגדרת ב- $0$

y=0

המשיק ב- $(0,0)$ אופקי

הטענה לא נכונה. לא כל גרף עם שורש מתחיל במשיק אנכי: הגורם $x$ «משטיח» אותו.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{18-x}$ . מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

0 \leq x \leq 18

תחום

\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{x}} &= \frac{1}{2\sqrt{18-x}} \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}f(9) &= 3+3 \\ &= 6 \qquad f(0) \\ &= f(18) \\ &= 3\sqrt{2} \approx 4.24\end{aligned}

משווים לקצוות

הערך $6$ גדול מהערך בקצוות. את הקצוות בודקים גם כשמחפשים מקסימום.

Check the answer on elev

1 — חקירה מלאה, עם משוואה בתוכה

2 — משוואה אי-רציונלית

3 — פרמטרים, משיק אנכי ומשיק מקביל

4 — «האם ייתכן?»: משיק בנקודת ההתחלה

5 — ערך מקסימלי וערך מינימלי בתחום סגור

Exercises

Keep practising on elev