Set 3 — challenging · Root functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלות שמשלבות שני רעיונות: משוואה עם שני שורשים, מקסימום עם כלל המכפלה, פרמטר בנגזרת, משיק שעובר בנקודה נתונה ושטח.

כששני שורשים במשוואה, מבודדים אחד לפני כל העלאה בחזקה. וכשנקודה אינה על הגרף, מציבים אותה במשוואת המשיק.

Exercises

Exercise 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-3}$ ?

$x \neq 3$
$x \geq -2$
$x > 3$
$x \geq -2$ וגם $x \neq 3$

Show the answer and the solution

Answer: D $x \geq -2$ וגם $x \neq 3$

Worked solution:

x+2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2

השורש במונה

x-3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 3

המכנה

הנכונה: $x \geq -2$ וגם $x \neq 3$ . שני תנאים, משני מקורות. « $x \geq -2$ » שוכח את המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו: $\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$ . למשוואה שני פתרונות.

הפתרון הקטן: ____ , הפתרון הגדול: ____

Show the answer and the solution

Answer: הפתרון הקטן: -1 , הפתרון הגדול: 3

Worked solution:

\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1}

מבודדים שורש אחד

2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1

מעלים בחזקת 2: נשאר שורש אחד

x+1=2\sqrt{x+1}

מבודדים שוב

\begin{aligned}(x+1)^2 &= 4(x+1) \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

מעלים שוב בחזקת 2

\begin{aligned}x &= -1: 1-0 \\ &= 1 \ \checkmark \qquad x \\ &= 3: 3-2 \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

מי שמחלק ב- $\sqrt{x+1}$ מאבד את $x=-1$ . לא מחלקים בביטוי שיכול להיות אפס.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x)=x\sqrt{12-x}$ . מהו הערך המקסימלי של הפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{12-x}-\frac{x}{2\sqrt{12-x}} \\ &= \frac{24-3x}{2\sqrt{12-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=8

המונה מתאפס; מ- $+$ ל- $-$

\begin{aligned}f(8) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

הערך

בלי כלל המכפלה אי אפשר: שני הגורמים תלויים ב- $x$ . מי שגוזר רק את השורש ומשאיר את $x$ בחוץ מקבל $\frac{-x}{2\sqrt{12-x}}$ . הנגזרת הזאת מתאפסת רק ב- $x=0$ , והמקסימום נעלם.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי משוואת המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{4x+1}$ שמקביל לישר $y=2x$ ?

$y=2x$
$y=2x+1$
אין משיק כזה
$y=2x-1$

Show the answer and the solution

Answer: B $y=2x+1$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{\sqrt{4x+1}} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ 4x+1 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

אותו שיפוע

f(0)=1

נקודת ההשקה $(0,1)$

\begin{aligned}y-1 &= 2(x-0) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x+1\end{aligned}

המשיק

הנכונה: $y=2x+1$ . $y=2x$ הוא הישר הנתון עצמו: מקביל, אבל לא עובר בנקודת ההשקה.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: לגרף $f(x)=\sqrt{x+4}$ יש משיק ששיפועו $-1$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}

הנגזרת

\frac{1}{2\sqrt{x+4}}>0 \ ,\quad x>-4

מונה ומכנה חיוביים

הטענה לא נכונה. השיפוע חיובי בכל נקודה, ולכן אין משיק בשיפוע שלילי. מספיק לראות את הסימן, בלי לפתור משוואה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+k}$ , כאשר $k>0$ . ידוע ש- $f'(2)=\frac{1}{2}$ . מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+k}}

הנגזרת

\begin{aligned}\frac{2}{\sqrt{4+k}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \sqrt{4+k} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}4+k &= 16 \ \Rightarrow \ k \\ &= 12\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

מי שכותב $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+k}}$ שוכח את $2x$ , ומקבל $k<0$ שאינו מתאים לנתון.

Check the answer on elev

Exercise 7

מיינו את המשוואות: באילו מהן אחד הפתרונות נפסל בבדיקה?

יש פתרון שנפסל
כל הפתרונות מתאימים

$\sqrt{3x-2}=x$
$\sqrt{5x-4}=x$
$\sqrt{x}=x$
$\sqrt{x+2}=x$
$\sqrt{x+6}=x$

Show the answer and the solution

Answer: $\sqrt{x+2}=x$ — יש פתרון שנפסל · $\sqrt{x+6}=x$ — יש פתרון שנפסל · $\sqrt{3x-2}=x$ — כל הפתרונות מתאימים · $\sqrt{x}=x$ — כל הפתרונות מתאימים · $\sqrt{5x-4}=x$ — כל הפתרונות מתאימים

Worked solution:

\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ : \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

מועמד שלילי נפסל

\begin{aligned}\sqrt{5x-4} &= x \ : \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

שניהם חיוביים ומתאימים

באגף ימין עומד $x$ . לכן כל מועמד שלילי נפסל מיד, וכל מועמד אי-שלילי מתאים כאן.

Check the answer on elev

Exercise 8

המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{x}$ בנקודה שבה $x=a$ עובר בנקודה $(-4,\,0)$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a)

המשיק בנקודה $(a,\sqrt{a})$

0=\sqrt{a}+\frac{-4-a}{2\sqrt{a}}

מציבים $(-4,0)$

\begin{aligned}2a &= 4+a \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

כופלים ב- $2\sqrt{a}$

את הנקודה $(-4,0)$ מציבים במשוואת המשיק, לא ב- $f$ : היא לא על הגרף.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו תחום הערכים של $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ ?

$0 \leq y \leq 2$
$-2 \leq y \leq 2$
$y \leq 2$
$y \geq 0$

Show the answer and the solution

Answer: A $0 \leq y \leq 2$

Worked solution:

0 \leq 4-x^2 \leq 4

בתחום $-2 \leq x \leq 2$

0 \leq \sqrt{4-x^2} \leq 2

מוציאים שורש

הנכונה: $0 \leq y \leq 2$ . $-2 \leq y \leq 2$ מבלבל בין תחום ההגדרה לתחום הערכים. שורש אינו שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 10

בשרטוט: המשיק לגרף $f(x)=\sqrt{x}$ בנקודה $(4,2)$ חותך את הצירים בנקודות $A$ ו- $B$ . מצאו את שטח המשולש $AOB$ , כאשר $O$ ראשית הצירים.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

y=\frac{1}{4}x+1

המשיק: $f'(4)=\frac{1}{4}$

A(-4,\,0) ,\ B(0,\,1)

חיתוך עם הצירים

\frac{4 \cdot 1}{2}=2

משולש ישר זווית בראשית

האורך $OA$ הוא $4$ , ולא $-4$ : אורך אינו שלילי. שטח שלילי הוא סימן לטעות.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev