Set 2 — medium

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שניים או שלושה צעדים: תחום בשיטת הקטעים, כלל השרשרת, משוואה עם פתרון שנפסל, משיק ותחומי עלייה.

רוב הטעויות כאן הן נגזרת הפנימית שנשכחה ובדיקה שלא נעשתה. חפשו אותן בכל שאלה.

Exercises

Exercise 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−6xf(x)=\sqrt{x^2-6x}?

  1. 0≤x≤60 \leq x \leq 6
  2. x≥0x \geq 0
  3. x≥6x \geq 6
  4. x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6
Show the answer and the solution

Answer: D x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6

Worked solution:

x(x−6)≥0x(x-6) \geq 0

מפרקים

x≤0 או x≥6x \leq 0 \ \text{או} \ x \geq 6

שיטת הקטעים: חיובי מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6. 0≤x≤60 \leq x \leq 6 הוא הקטע שבו הביטוי שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x2+16f(x)=\sqrt{x^2+16}. חשבו את f′(3)f'(3).

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

f′(x)=2x2x2+16=xx2+16\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+16}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}\end{aligned}

הנגזרת

f′(3)=35=0.6\begin{aligned}f'(3) &= \frac{3}{5} \\ &= 0.6\end{aligned}

מציבים

בלי נגזרת הפנימית היה יוצא 110\frac{1}{10}. x2+16x^2+16 אינו xx: הנגזרת שלו 2x2x.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו: x+10=x−2\sqrt{x+10}=x-2

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

x+10=x2−4x+4 ⇒ x2−5x−6=0\begin{aligned}x+10 &= x^2-4x+4 \ \Rightarrow \ x^2-5x-6 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=6 x=−1\begin{aligned}x &= 6 \\ \ x &= -1\end{aligned}

מועמדים

x=6:4=4 ✓x=−1:3≠−3 נפסל\begin{aligned}x &= 6: 4 \\ &= 4 \ \checkmark \qquad x \\ &= -1: 3 \neq -3 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

x=−1x=-1 נפסל: אגף ימין x−2x-2 שלילי שם, ושורש אינו שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 4

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=5x−1f(x)=\sqrt{5x-1} בנקודה שבה x=1x=1. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-yy?

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

f(1)=2f(1)=2

נקודת ההשקה (1,2)(1,2)

f′(x)=525x−1 ⇒ f′(1)=54\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5}{2\sqrt{5x-1}} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

השיפוע

y=54(x−1)+2=54x+34\begin{aligned}y &= \frac{5}{4}(x-1)+2 \\ &= \frac{5}{4}x+\frac{3}{4}\end{aligned}

המשיק

שיעור ה-yy של החיתוך הוא 0.750.75. מי ששוכח את נגזרת הפנימית מקבל שיפוע 14\frac{1}{4} ומשיק שגוי.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x−6xf(x)=x-6\sqrt{x}. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

  1. x>9x>9
  2. 0<x<90<x<9
  3. x>0x>0
  4. x<9x<9
Show the answer and the solution

Answer: B 0<x<90<x<9

Worked solution:

f′(x)=1−3xf'(x)=1-\frac{3}{\sqrt{x}}

הנגזרת

x=3 ⇒ x=9\begin{aligned}\sqrt{x} &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(1)=−2<0f'(1)=-2<0

ב-0<x<90<x<9 יורדת

הנכונה: 0<x<90<x<9. x<9x<9 כולל ערכים שליליים שאינם בתחום ההגדרה.

Check the answer on elev

Exercise 6

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=x(x−1)f(x)=\sqrt{x}(x-1)
f(x)=x32−x12f(x)=x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}
f′(x)=32x12−12x12f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}
Show the answer and the solution

Answer: f′(x)=32x12−12x12f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} → f′(x)=32x12−12x−12f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

Worked solution:

(x12)′=12x−12\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

החזקה קטנה באחד

f′(x)=32x−12xf'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}

חוזרים לשורש

הטעות בשורה השלישית: 12−1=−12\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}, ולא 12\frac{1}{2}. בגזירת x12x^{\frac{1}{2}} החזקה קטנה באחד.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2} מוגדרת בנקודה x=3x=3.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

9−32=09-3^2=0

מה שמתחת לשורש

f(3)=0=0\begin{aligned}f(3) &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

מוגדר

הטענה נכונה. הפונקציה מוגדרת ב-x=3x=3, אבל הנגזרת −x9−x2\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} אינה מוגדרת שם.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=3x−6f(x)=\sqrt{3x-6}. השלימו.

המשיק האנכי לגרף: x=x= ____ , f′(5)=f'(5)= ____

Show the answer and the solution

Answer: המשיק האנכי לגרף: x=x= 2 , f′(5)=f'(5)= 0.5

Worked solution:

3x−6=0 ⇒ x=2\begin{aligned}3x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההתחלה: שם המשיק אנכי

f′(x)=323x−6 ⇒ f′(5)=36=0.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3}{2\sqrt{3x-6}} \ \Rightarrow \ f'(5) \\ &= \frac{3}{6} \\ &= 0.5\end{aligned}

השיפוע ב-x=5x=5

המשיק האנכי אינו x=6x=6: פותרים 3x−6=03x-6=0 ומחלקים ב-33.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו: x2−5=2\sqrt{x^2-5}=2

  1. x=3x=3 או x=−3x=-3
  2. x=±7x=\pm \sqrt{7}
  3. x=3x=3 בלבד
  4. אין פתרון
Show the answer and the solution

Answer: A x=3x=3 או x=−3x=-3

Worked solution:

x2−5=4 ⇒ x2=9\begin{aligned}x^2-5 &= 4 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=±3x=\pm 3

שני מועמדים

9−5=2 ✓\sqrt{9-5}=2 \ \checkmark

בדיקה: שניהם מתאימים

הנכונה: x=3x=3 או x=−3x=-3. xx עצמו יכול להיות שלילי; רק השורש אינו שלילי. x=±7x=\pm\sqrt{7} מתקבל כששוכחים להעלות את ה-22 בחזקה: x2−5=2x^2-5=2.

Check the answer on elev

Exercise 10

מצאו את הערך המינימלי של הפונקציה f(x)=x−6x+10f(x)=x-6\sqrt{x}+10.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=1−3x=0 ⇒ x=9\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{3}{\sqrt{x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(1)<0, f′(16)>0f'(1)<0 ,\ f'(16)>0

מינימום

f(9)=9−18+10=1\begin{aligned}f(9) &= 9-18+10 \\ &= 1\end{aligned}

הערך

f(0)=10>1f(0)=10 > 1

הקצה אינו נמוך יותר

הערך המינימלי הוא ערך של ff: 11. מי שעונה 99 נתן את שיעור ה-xx.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade