Set 5 — towards the bagrut · Proportion and similarity · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 5 כתובה בניסוח של הבגרות: «הוכיחו כי», «הביעו באמצעות», «האם ייתכן». כל תרגיל מחבר שניים או שלושה כלים — המשפט ההפוך לתאלס, דמיון באלכסוני טרפז, חוצה זווית במעגל, משיק וחותך, והגובה ליתר.

כתבו כל פתרון כמו בבחינה: טענה, נימוק, ושם המשפט המדויק — «משפט תאלס» ו«המשפט ההפוך למשפט תאלס» הם שני נימוקים שונים.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ומתקיים $AD \cdot AC = AE \cdot AB$ . הוכיחו כי $\angle ADE = \angle ABC$ .

$D$ על $AB$ , $E$ על $AC$
$AD \cdot AC = AE \cdot AB$

$\angle ADE = \angle ABC$

Show the answer and the solution

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ — מחלקים את שני אגפי הנתון ב- $AB \cdot AC$
$DE \parallel BC$ — המשפט ההפוך למשפט תאלס
$\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות

Worked solution:

\begin{aligned}AD \cdot AC &= AE \cdot AB \Rightarrow \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{AE}{AC}\end{aligned}

מכפלה אל פרופורציה

DE \parallel BC

המשפט ההפוך

המלכודת: לנמק את ההקבלה ב«משפט תאלס». כאן ההקבלה היא המסקנה — הנימוק הוא המשפט ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 2

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . דרך $O$ עובר ישר המקביל לבסיסים, והוא חותך את $AD$ ב- $E$ ואת $BC$ ב- $F$ . נתון $AB = 6$ ו- $DC = 12$ . מצאו את $EF$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}\triangle AOB \sim \triangle COD \Rightarrow \frac{AO}{OC} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ז.ז — מתחלפות וקודקודיות

\frac{AO}{AC} = \frac{1}{3}

«חלק על שלם»

\begin{aligned}\frac{EO}{DC} &= \frac{AO}{AC} \Rightarrow EO \\ &= 4\end{aligned}

משפט תאלס המורחב במשולש $ADC$ ( $EO \parallel DC$ )

\begin{aligned}\frac{OF}{AB} &= \frac{CO}{CA} \\ &= \frac{2}{3} \Rightarrow OF \\ &= 4\end{aligned}

משפט תאלס המורחב במשולש $CAB$

\begin{aligned}EF &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

$O$ אמצע $EF$

$EF = 8$ . המלכודת: $EF = \frac{6 + 12}{2} = 9$ — זה קטע האמצעים, והוא עובר דרך אמצעי השוקיים, לא דרך $O$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ , ו- $AD : DB = 3 : 1$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $S$ . הביעו באמצעות $S$ את שטח הטרפז $DBCE$ .

$\frac{8}{9}S$
$\frac{1}{4}S$
$\frac{9}{16}S$
$\frac{7}{16}S$

Show the answer and the solution

Answer: D $\frac{7}{16}S$

Worked solution:

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$

S_{ADE} = \frac{9}{16}S

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= S - \frac{9}{16}S \\ &= \frac{7}{16}S\end{aligned}

התשובה: « $\frac{7}{16}S$ ». המלכודות: « $\frac{9}{16}S$ » הוא המשולש הקטן, « $\frac{1}{4}S$ » הוא $1 - k$ בלי ריבוע, ו-« $\frac{8}{9}S$ » בא מ- $k = \frac{DB}{AD} = \frac{1}{3}$ — «חלק על חלק».

Check the answer on elev

Exercise 4

המשולש $ABC$ חסום במעגל. חוצה הזווית $A$ חותך את $BC$ בנקודה $D$ ואת המעגל בנקודה $E$ . (א) הוכיחו כי $\triangle ABD \sim \triangle AEC$ . (ב) נתון $AB = 6$ , $AC = 8$ ו- $AD = 4$ . מצאו את $DE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\angle BAD = \angle EAC

$AE$ חוצה את $\angle A$

\angle ABC = \angle AEC

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $AC$

\triangle ABD \sim \triangle AEC \Rightarrow \frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AC}

ז.ז: $A \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow E$ , $D \leftrightarrow C$

\begin{aligned}AE &= \frac{6 \cdot 8}{4} \\ &= 12\end{aligned}

כפל בהצלבה: $AB \cdot AC = AD \cdot AE$

\begin{aligned}DE &= 12 - 4 \\ &= 8\end{aligned}

$DE = 8$ . המלכודת: לענות $AE = 12$ — השאלה על $DE$ , החלק שמחוץ למשולש.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק $PT$ וחותך $PAB$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA = 4$ ו- $PB = 9$ , ושטח המשולש $PTA$ הוא $8$ . מצאו את שטח המשולש $PBT$ .

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

\triangle PTA \sim \triangle PBT

ז.ז: הזווית בין המשיק למיתר $TA$ שווה ל- $\angle PBT$ , ו- $\angle P$ משותפת

\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 36 \Rightarrow PT \\ &= 6\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}k &= \frac{PB}{PT} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

$PB$ במשולש הגדול מתאים ל- $PT$ בקטן

\begin{aligned}S_{PBT} &= 8 \cdot 2.25 \\ &= 18\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

$18$ . המלכודת: $k = \frac{PB}{PA} = \frac{9}{4}$ — $PA$ ו- $PB$ אינן צלעות מתאימות. התוצאה השגויה: $40.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

האם ייתכן ששני משולשים דומים, יחס ההיקפים שלהם $2$ ויחס השטחים שלהם $3$ ?

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \\ &= 2\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 4 \ne 3\end{aligned}

יחס השטחים נקבע מ- $k$

לא ייתכן. במשולשים דומים יחס השטחים הוא בדיוק ריבוע יחס ההיקפים. המלכודת: לחשוב שהיקף ושטח הם שני נתונים חופשיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 12$ ו- $BC = 16$ . $CD$ הגובה ליתר. הוכיחו כי $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ , ומצאו את $CD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 9.6

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{12^2 + 16^2} \\ &= 20\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ACB \\ &= 90^\circ \\ \quad \angle A &= \angle A\end{aligned}

גובה, וזווית משותפת

\triangle ACD \sim \triangle ABC \Rightarrow \frac{CD}{BC} = \frac{AC}{AB}

ז.ז: $A \leftrightarrow A$ , $C \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow C$

\begin{aligned}CD &= \frac{12 \cdot 16}{20} \\ &= 9.6\end{aligned}

בדיקה בשטח: $\frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{20 \cdot CD}{2}$

$CD = 9.6$ . המלכודת: $\frac{CD}{AC} = \frac{AC}{AB}$ — להתאים $CD$ ל- $AC$ . $CD$ מול $\angle A$ במשולש הקטן, ומולה בגדול עומדת $BC$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle BCA$ . הוכיחו כי $AB^2 = BD \cdot BC$ .

$D$ על $BC$
$\angle BAD = \angle BCA$

$AB^2 = BD \cdot BC$

Show the answer and the solution

$\angle ABD = \angle CBA$ — זווית משותפת
$\triangle ABD \sim \triangle CBA$ — משפט דמיון ז.ז
$\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA}$ — במשולשים דומים צלעות מתאימות פרופורציוניות
$AB^2 = BD \cdot BC$ — כפל בהצלבה

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BAD &= \angle C \\ \; \angle B \text{ משותפת}\end{aligned}

שתי זוויות

\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA}

צלעות מתאימות

המלכודת: סדר האותיות. $\triangle ABD \sim \triangle ABC$ היה נותן פרופורציה שגויה, ומשם השוויון לא יוצא.

Check the answer on elev

Exercise 9

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) נתון $AB = 8$ ו- $DC = 20$ . הנקודה $E$ על השוק $AD$ , ו- $AE : ED = 1 : 3$ . דרך $E$ עובר ישר המקביל לבסיסים וחותך את $BC$ ב- $F$ . מצאו את $EF$ .

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

G = EF \cap AC

מעבירים את האלכסון $AC$ — הוא מחלק את $EF$ לשני קטעים

\begin{aligned}\frac{EG}{DC} &= \frac{AE}{AD} \\ &= \frac{1}{4} \Rightarrow EG \\ &= 5\end{aligned}

משפט תאלס המורחב במשולש $ADC$

\begin{aligned}\frac{CG}{CA} &= \frac{DE}{DA} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

משפט תאלס: $EG \parallel DC$ חותך את $AD$ ואת $AC$ באותו יחס

\begin{aligned}\frac{GF}{AB} &= \frac{CG}{CA} \\ &= \frac{3}{4} \Rightarrow GF \\ &= 6\end{aligned}

משפט תאלס המורחב במשולש $CAB$

\begin{aligned}EF &= 5 + 6 \\ &= 11\end{aligned}

$EF = 11$ . המלכודת: $EF = \frac{8 + 20}{2} = 14$ — זה קטע האמצעים, ו- $E$ אינה אמצע השוק.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ נתון $AB = 15$ , $AC = 10$ ו- $BC = 20$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ), ודרך $D$ עובר $DE \parallel AC$ ( $E$ על $AB$ ). השלימו.

$BD =$ ____, $DE =$ ____, $BE =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $BD =$ 12, $DE =$ 6, $BE =$ 9

Worked solution:

\begin{aligned}BD &= \frac{15}{15 + 10} \cdot 20 \\ &= 12\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}\frac{DE}{AC} &= \frac{BD}{BC} \\ &= \frac{12}{20} \Rightarrow DE \\ &= 6\end{aligned}

משפט תאלס המורחב במשולש $BCA$

\begin{aligned}\frac{BE}{BA} &= \frac{12}{20} \Rightarrow BE \\ &= 9\end{aligned}

בדיקה: $AE = 6 = DE$ , כי המשולש $AED$ שווה שוקיים

המלכודת: $BD = \frac{10}{25} \cdot 20 = 8$ — הקטע $BD$ צמוד ל- $AB = 15$ , לא ל- $AC$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev