Root, hyperbola and power: a, p and k · Transformations and operations on functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפני כל נוסחה — שלוש תמונות. בכל אחת מהן יש נקודה אחת שמחזיקה את הגרף: השורש $y=\sqrt{x}$ יוצא מהראשית; ההיפרבולה $y=\frac{1}{x}$ מסתובבת סביב הראשית, בין שתי אסימפטוטות; והחזקה $y=x^3$ עוברת דרך הראשית ומתהפכת בה. נקרא לנקודה הזאת נקודת העיגון. כל מה שנלמד ביחידה הזאת הוא לאן זזה נקודת העיגון, ומה קורה לגרף סביבה.

ההיפרבולה הבסיסית וההיפרבולה המוזזת

y = 1/x
y = 3/(x − 2) + 1

ב-

y=\frac{1}{x}

האסימפטוטות הן הצירים עצמם,

x=0

ו-

y=0

. ב-

y=\frac{3}{x-2}+1

הן עברו ל-

x=2

ול-

y=1

, ונקודת המפגש שלהן — נקודת העיגון — עברה מ-

(0,0)

ל-

(2,1)

. הענפים עצמם רק נמתחו.

$p$ ו- $k$ : לאן זזה נקודת העיגון

בשלוש המשפחות התבנית זהה: $p$ יושב בתוך הפונקציה, ליד $x$ , ו- $k$ יושב בחוץ. לכן, בדיוק כמו ביחידה הקודמת, $x-p$ מזיז ימינה ב- $p$ ו- $+k$ מזיז למעלה ב- $k$ . נקודת העיגון עוברת מ- $(0,0)$ ל- $(p,\,k)$ — ומשם קוראים את כל השאר.

y=a\sqrt{x-p}+k

נקודת התחלה $(p,\,k)$ . תחום ההגדרה: $x\ge p$ .

y=\frac{a}{x-p}+k

אסימפטוטות $x=p$ ו- $y=k$ . תחום: $x\neq p$ , ותמונה: $y\neq k$ .

y=a(x-p)^n+k

$n$ זוגי: קדקוד $(p,\,k)$ . $n$ אי-זוגי: מרכז סימטריה $(p,\,k)$ .

מהן האסימפטוטות של $y=\frac{4}{x+3}-2$ ?

Show the answer and the solution

$x=-3$ ו- $y=-2$ . הכתיבה $x+3$ היא $x-(-3)$ , ולכן $p=-3$ — הפוך לסימן, כמו בכל שינוי פנימי. ה- $k$ נקרא כמו שהוא: $-2$ .

$a$ : מתיחה, ולפעמים היפוך

הפרמטר $a$ נמצא בחוץ, ולכן הוא משנה רק גבהים: $|a|$ מותח את הגרף מנקודת העיגון, והסימן של $a$ קובע לאיזה צד של $y=k$ הגרף הולך. נקודת העיגון עצמה לא זזה בגללו.

a\sqrt{x-p}+k

$a>0$ : הגרף עולה מנקודת ההתחלה, והתמונה $y\ge k$ . $a<0$ : הגרף יורד, והתמונה $y\le k$ .

\frac{a}{x-p}+k

$a>0$ : הענפים מימין-למעלה ומשמאל-למטה ביחס לנקודת העיגון. $a<0$ : משמאל-למעלה ומימין-למטה.

a(x-p)^n+k

$n$ זוגי, $a>0$ : מינימום $k$ . $n$ זוגי, $a<0$ : מקסימום $k$ . $n$ אי-זוגי: אין קיצון, והתמונה היא כל המספרים.

מהי קבוצת הערכים (התמונה) של $y=-(x-2)^4+5$ ?

Show the answer and the solution

$y\le 5$ . החזקה זוגית, ולכן $(x-2)^4\ge 0$ ; המינוס הופך את זה ל- $\le 0$ , ואחרי הוספת 5 מקבלים $y\le 5$ . הקדקוד $(2,\,5)$ הוא נקודת מקסימום.

לקרוא היפרבולה בלי טבלת ערכים

נתונה $f(x)=\frac{-3}{x-2}+1$ . מצאו אסימפטוטות, תחום ותמונה, נקודות חיתוך עם הצירים, ובאילו «רבעים» ביחס לנקודת העיגון נמצאים הענפים.

\begin{aligned}p &= 2 \\ \ k &= 1 \\ \ a &= -3\end{aligned}

קוראים את שלושת הפרמטרים

\begin{aligned}x &= 2 \\ \quad y &= 1\end{aligned}

האסימפטוטות; תחום $x\neq 2$ , תמונה $y\neq 1$

\begin{aligned}\frac{-3}{x-2}+1 &= 0 \Rightarrow x-2 \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ : $(5,\,0)$

\begin{aligned}f(0) &= \frac{-3}{-2}+1 \\ &= \frac{5}{2}\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,\,2.5)$

a<0

הענפים משמאל-למעלה ומימין-למטה. בדיקה: $(5,0)$ נמצאת מימין ל- $x=2$ ומתחת ל- $y=1$ ✓

הגרף של הדוגמה

שתי נקודות החיתוך מסמנות את שני הענפים:

(0,\,2.5)

בענף השמאלי-העליון,

(5,\,0)

בענף הימני-התחתון.

שלוש הטעויות של המשפחות.

y=\sqrt{x+4}\ \Rightarrow\ x\ge 4

x+4\ge 0\ \Rightarrow\ x\ge -4

את תחום ההגדרה פותרים מהתנאי, לא מנחשים מהסימן. $x+4$ מזיז שמאלה, והגרף מתחיל ב- $x=-4$ .

y=\frac{2}{x-1}+3\ \Rightarrow\ y>3

y\neq 3

להיפרבולה יש ענף מעל האסימפטוטה וענף מתחתיה. התמונה היא כל המספרים חוץ מ- $k$ .

\begin{aligned}y &= (x-1)^3+2:\ \ \min \\ &= (1,\,2)\end{aligned}

$(1,\,2)$ היא מרכז סימטריה, ואין קיצון. רק חזקה זוגית נותנת קדקוד. $x^3$ עולה כל הזמן, ו- $(p,\,k)$ היא נקודה שבה הגרף «מתהפך».

שאלת «מצאו את הפונקציה לפי הגרף» נפתרת תמיד באותו סדר: קודם נקודת העיגון — ממנה קוראים $p$ ו- $k$ ; אחר כך נקודה אחת נוספת על הגרף — מציבים אותה ומקבלים משוואה ב- $a$ בלבד.

גרף מהמשפחה $y=a\sqrt{x-p}+k$ יוצא מהנקודה $(2,\,-1)$ ועובר דרך $(6,\,3)$ . מהו $a$ ?

Show the answer and the solution

$a=2$ . נקודת ההתחלה נותנת $p=2$ ו- $k=-1$ . מציבים $(6,3)$ : $a\sqrt{4}-1=3$ , כלומר $2a=4$ .

Exercises

Exercise 1

מהן האסימפטוטות של $y=\frac{5}{x-4}+2$ ?

$x=4$ ו- $y=5$
$x=-4$ ו- $y=2$
$x=4$ ו- $y=2$
$x=2$ ו- $y=4$

Show the answer and the solution

Answer: C $x=4$ ו- $y=2$

Worked solution:

\begin{aligned}x-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

המכנה מתאפס — אסימפטוטה אנכית

\begin{aligned}k &= 2 \Rightarrow y \\ &= 2\end{aligned}

המספר שבחוץ — אסימפטוטה אופקית

המלכודת: לקרוא $x-4$ כ- $x=-4$ , או לקחת את המונה 5 לאסימפטוטה. $a$ רק מותח, הוא לא מזיז. התשובה: $x=4$ ו- $y=2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

תחום ההגדרה של $y=3\sqrt{x+6}-1$ הוא $x\ge c$ . מהו $c$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -6

Worked solution:

x+6\ge 0

תנאי הקיום של השורש

x\ge -6

נקודת ההתחלה של הגרף היא $(-6,\,-1)$

המלכודת: לכתוב $c=6$ מתוך הסימן. הפלוס בפנים מזיז שמאלה; ה-3 וה- $-1$ שבחוץ לא משפיעים על התחום.

Check the answer on elev

Exercise 3

התאימו לכל פונקציה את קבוצת הערכים (התמונה) שלה.

$y=-2\sqrt{x-3}+4$
$y=2\sqrt{x-3}+4$
$y=\frac{2}{x-3}+4$
$y=2(x-3)^3+4$

$y\ge 4$
$y\le 4$
$y\neq 4$
כל המספרים

Show the answer and the solution

Answer: $y=-2\sqrt{x-3}+4$ — $y\le 4$ · $y=2\sqrt{x-3}+4$ — $y\ge 4$ · $y=\frac{2}{x-3}+4$ — $y\neq 4$ · $y=2(x-3)^3+4$ — כל המספרים

Worked solution:

-2\sqrt{\ }\le 0 \Rightarrow y\le 4

שורש עם מקדם שלילי יורד מנקודת ההתחלה

2\sqrt{\ }\ge 0 \Rightarrow y\ge 4

מקדם חיובי — עולה

\frac{2}{x-3}\neq 0 \Rightarrow y\neq 4

שבר שמונהו 2 לא מתאפס לעולם

(x-3)^3

מקבל כל ערך: חזקה אי-זוגית

המלכודת: לחשוב שהאסימפטוטה $y=4$ חוסמת את ההיפרבולה מלמטה. יש לה ענף גם מתחת ל-4 — רק הערך 4 עצמו חסר.

Check the answer on elev

Exercise 4

לגרף של $y=\frac{a}{x-p}+k$ יש אסימפטוטות $x=2$ ו- $y=-1$ , והוא עובר דרך הנקודה $(3,\,4)$ . מהו $a$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}p &= 2 \\ \ k &= -1\end{aligned}

מהאסימפטוטות

y=\frac{a}{x-2}-1

הפונקציה עם פרמטר אחד

4=\frac{a}{3-2}-1

הצבת הנקודה

a=5

פתרון

המלכודת: להציב את הנקודה לפני שקובעים את $p$ ו- $k$ — ואז יש שלושה נעלמים ומשוואה אחת. קודם העיגון, אחר כך הנקודה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=(x+1)^3-8$ . השלימו.

מרכז הסימטריה של הגרף הוא הנקודה שבה $x=$ ____ ו- $y=$ ____, והגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: מרכז הסימטריה של הגרף הוא הנקודה שבה $x=$ -1 ו- $y=$ -8, והגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=$ 1

Worked solution:

\begin{aligned}p &= -1 \\ \ k &= -8\end{aligned}

נקודת העיגון של חזקה אי-זוגית היא מרכז סימטריה

(x+1)^3=8

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}x+1 &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

לחזקה שלישית יש שורש יחיד

המלכודת: לכתוב $x+1=\pm 2$ כמו בריבוע. חזקה אי-זוגית מתאפסת, ומקבלת כל ערך, פעם אחת בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 6

גרף מהמשפחה a√(x−p)+k

בשרטוט: גרף מהמשפחה $y=a\sqrt{x-p}+k$ , שיוצא מהנקודה $(-2,\,1)$ ועובר דרך הנקודה $(2,\,5)$ . מהי הפונקציה?

$y=2\sqrt{x+2}+1$
$y=2\sqrt{x+2}-1$
$y=4\sqrt{x+2}+1$
$y=2\sqrt{x-2}+1$

Show the answer and the solution

Answer: A $y=2\sqrt{x+2}+1$

Worked solution:

\begin{aligned}p &= -2 \\ \ k &= 1\end{aligned}

מנקודת ההתחלה

5=a\sqrt{2+2}+1

הצבת $(2,5)$

\begin{aligned}4 &= 2a \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

השורש של 4 הוא 2

המלכודת: לשכוח שב- $x=2$ השורש הוא $\sqrt{4}=2$ , ולקבל $a=4$ , כלומר $4\sqrt{x+2}+1$ ; או לכתוב $x-2$ עבור נקודת התחלה ב- $x=-2$ . התשובה: $y=2\sqrt{x+2}+1$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

הפונקציה $y=-(x-1)^4+3$ מקבלת את הערך $5$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

(x-1)^4\ge 0

חזקה זוגית אינה שלילית

-(x-1)^4+3\le 3

ולכן הערך הגדול ביותר הוא 3

\begin{aligned}-(x-1)^4+3 &= 5 \Rightarrow (x-1)^4 \\ &= -2\end{aligned}

אין פתרון

הטענה אינה נכונה: התמונה היא $y\le 3$ . המלכודת: לחשוב שכל פולינום מקבל כל ערך — זה נכון רק לחזקה אי-זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 8

באיזה $x$ חותך הגרף של $y=\frac{-4}{x+1}+2$ את ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\frac{-4}{x+1}+2=0

מציבים $y=0$

\frac{-4}{x+1}=-2

מעבירים אגף

\begin{aligned}x+1 &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

הופכים את השבר

המלכודת: לענות $x=-1$ — זו האסימפטוטה, והגרף לא נוגע בה. בדיקה: $\frac{-4}{2}+2=0$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 9

תלמיד מצא את האסימפטוטות של $y=\frac{6}{x+2}-3$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

y=\frac{6}{x+2}-3

\begin{aligned}x+2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

\text{אסימפטוטה אנכית: } x=-2

\text{אסימפטוטה אופקית: } y=3

Show the answer and the solution

Answer: $\text{אסימפטוטה אופקית: } y=3$ → $\text{אסימפטוטה אופקית: } y=-3$

Worked solution:

x=-2

האנכית נכונה

k=-3

המספר שבחוץ נקרא עם הסימן שלו

המלכודת: להפוך גם את $k$ . רק מה שבתוך הפונקציה הפוך לסימן; מה שבחוץ — כמו שהוא.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $f(x)=\frac{a}{x-p}+k$ כאשר $a\neq 0$ . הוכיחו שהגרף של $f$ אינו חותך את הישר $y=k$ .

$f(x)=\frac{a}{x-p}+k$
$a\neq 0$

אין פתרון למשוואה $f(x)=k$

Show the answer and the solution

$\frac{a}{x-p}+k=k$ — נניח בשלילה שיש נקודה על הגרף שבה $y=k$
$\frac{a}{x-p}=0$ — מחסרים $k$ משני האגפים
$a=0$ — שבר מתאפס רק כאשר המונה שלו מתאפס
אין פתרון למשוואה $f(x)=k$ — סתירה לנתון $a\neq 0$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{a}{x-p} &= 0 \Rightarrow a \\ &= 0\end{aligned}

סתירה

המלכודת: «להוכיח» על ידי ציור. השרטוט מראה שהגרף מתקרב ל- $y=k$ , אבל רק הסתירה $a=0$ מראה שהוא לא מגיע אליו לעולם.

Check the answer on elev

ppp ו-kkk: לאן זזה נקודת העיגון

aaa: מתיחה, ולפעמים היפוך

Exercises

Keep practising on elev

$p$ ו- $k$ : לאן זזה נקודת העיגון

$a$ : מתיחה, ולפעמים היפוך