Sum, product and quotient of functions

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

איך נראה הגרף של h(x)=x+1xh(x)=x+\frac{1}{x}? אין צורך בנוסחה חדשה: בכל xx מחברים שני גבהים — את הגובה של הישר y=xy=x ואת הגובה של ההיפרבולה y=1xy=\frac{1}{x}. ב-x=1x=1 זה 1+1=21+1=2; ב-x=4x=4 זה 4+0.254+0.25, כמעט על הישר; וקרוב ל-0 ההיפרבולה משתלטת. בשרטוט רואים את שלושת הגרפים יחד.

ארבע פעולות, ותחום הגדרה אחד משותף

פעולה על פונקציות היא פעולה על הערכים שלהן, נקודה אחרי נקודה. כדי לחשב את (f+g)(x)(f+g)(x) צריך את f(x)f(x) וגם את g(x)g(x) — ולכן הסכום מוגדר רק היכן ששתיהן מוגדרות. במנה יש תנאי נוסף: אסור לחלק באפס.

(f±g)(x)=f(x)±g(x)(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)

תחום: היכן ש-ff וגם gg מוגדרות

(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

אותו תחום. המכפלה מתאפסת היכן שאחת מהן מתאפסת

(fg)(x)=f(x)g(x)\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

אותו תחום, ובנוסף g(x)≠0g(x)\neq 0

f(x)=xf(x)=\sqrt{x} ו-g(x)=4−xg(x)=\sqrt{4-x}. מהו תחום ההגדרה של f+gf+g?

Show the answer and the solution

0≤x≤40\le x\le 4. ff דורשת x≥0x\ge 0, ו-gg דורשת x≤4x\le 4. הסכום צריך את שתיהן יחד — החיתוך של שני התחומים, לא האיחוד.

הסימן של מכפלה ושל מנה

את הסימן של f⋅gf\cdot g אפשר לקרוא בלי לפתוח סוגריים: חיובי כפול חיובי — חיובי, שלילי כפול חיובי — שלילי. אותו כלל בדיוק למנה fg\frac{f}{g}. לכן מספיק לדעת היכן כל אחת מהפונקציות חיובית והיכן שלילית — ואת זה רואים בגרף שלה.

f(x)=x−2f(x)=x-2 ו-g(x)=x+3g(x)=x+3. היכן המכפלה f⋅gf\cdot g שלילית?

Show the answer and the solution

עבור −3<x<2-3<x<2. שם gg כבר חיובית ו-ff עדיין שלילית. משמאל ל-−3-3 שתיהן שליליות, ומימין ל-2 שתיהן חיוביות — ובשני המקרים המכפלה חיובית.

תחום וערך של מנה

נתונות f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1} ו-g(x)=x−3g(x)=x-3. מצאו את תחום ההגדרה של h=fgh=\frac{f}{g} ואת h(8)h(8).

x+1≥0⇒x≥−1x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1

התחום של ff

g: כל xg:\ \text{כל } x

התחום של gg

g(x)≠0⇒x≠3g(x)\neq 0 \Rightarrow x\neq 3

התנאי של המנה

x≥−1,  x≠3x\ge -1,\ \ x\neq 3

תחום ההגדרה של hh

h(8)=98−3=35\begin{aligned}h(8) &= \frac{\sqrt{9}}{8-3} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

הצבה: קודם כל פונקציה בנפרד, אחר כך חילוק

שלוש הטעויות של הפעולות.

h=x+1x−3:  x≥−1h=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}:\ \ x\ge -1
x≥−1,  x≠3x\ge -1,\ \ x\neq 3

במנה שני תנאים: המונה מוגדר, והמכנה אינו אפס.

(f⋅g)(x)=f(g(x))(f\cdot g)(x)=f\left(g(x)\right)
(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

מכפלה של פונקציות היא כפל של שני ערכים. הצבה של פונקציה בפונקציה היא פעולה אחרת — הרכבה.

x2−4x−2=x+2  לכל x\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\ \ \text{לכל } x
x2−4x−2=x+2  x≠2\begin{aligned}\frac{x^2-4}{x-2} &= x+2 \\ \ \ x\neq 2\end{aligned}

הצמצום לא מוחק את התנאי. הגרף הוא ישר עם חור.

לפני כל פעולה על פונקציות — שלוש שאלות: איפה ff מוגדרת? איפה gg מוגדרת? והאם יש מכנה שמתאפס? התשובה לשלוש יחד היא תחום ההגדרה.

Exercises

Exercise 1

נתונות f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 ו-g(x)=3−xg(x)=3-x. חשבו את (f−g)(4)(f-g)(4).

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

f(4)=16−1=15\begin{aligned}f(4) &= 16-1 \\ &= 15\end{aligned}

מחשבים כל פונקציה בנפרד

g(4)=3−4=−1\begin{aligned}g(4) &= 3-4 \\ &= -1\end{aligned}

ואת השנייה — היא יוצאת שלילית

(f−g)(4)=15−(−1)=16\begin{aligned}(f-g)(4) &= 15-(-1) \\ &= 16\end{aligned}

מחסרים את הערכים

המלכודת: לחסר בלי סוגריים ולקבל 15−1=1415-1=14. g(4)g(4) שלילי, ומינוס כפול מינוס נותן פלוס.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו תחום ההגדרה של h(x)=x−1+5−xh(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}?

  1. x≥1x\ge 1
  2. 1≤x≤51\le x\le 5
  3. x≤5x\le 5
  4. כל xx
Show the answer and the solution

Answer: B 1≤x≤51\le x\le 5

Worked solution:

x−1≥0⇒x≥1x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1

השורש הראשון

5−x≥0⇒x≤55-x\ge 0 \Rightarrow x\le 5

השורש השני

1≤x≤51\le x\le 5

שני התנאים יחד

המלכודת: לאחד את התחומים («x≥1x\ge 1 או x≤5x\le 5» הם כל המספרים). סכום דורש ששני המחוברים יהיו מוגדרים. התשובה: 1≤x≤51\le x\le 5.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונות f(x)=xf(x)=\sqrt{x} ו-g(x)=x−4g(x)=x-4. מהו תחום ההגדרה של fg\frac{f}{g}?

  1. x≥0x\ge 0
  2. x≠4x\neq 4
  3. x>4x>4
  4. x≥0x\ge 0 וגם x≠4x\neq 4
Show the answer and the solution

Answer: D x≥0x\ge 0 וגם x≠4x\neq 4

Worked solution:

x≥0x\ge 0

התחום של ff

x−4≠0⇒x≠4x-4\neq 0 \Rightarrow x\neq 4

המכנה אינו אפס

המלכודת: לשכוח אחד משני התנאים — או לחשוב שהמכנה צריך להיות חיובי. מכנה שלילי מותר, רק אפס אסור. התשובה: x≥0x\ge 0 וגם x≠4x\neq 4.

Check the answer on elev

Exercise 4

ערכי f ו-g
x−10123
f(x)320−14
g(x)1−2532

בטבלה ערכים של שתי פונקציות. השלימו.

(f+g)(1)=(f+g)(1)= ____ , (f⋅g)(2)=(f\cdot g)(2)= ____ , (fg)(3)=\left(\frac{f}{g}\right)(3)= ____

Show the answer and the solution

Answer: (f+g)(1)=(f+g)(1)= 5 , (f⋅g)(2)=(f\cdot g)(2)= -3 , (fg)(3)=\left(\frac{f}{g}\right)(3)= 2

Worked solution:

(f+g)(1)=0+5=5\begin{aligned}(f+g)(1) &= 0+5 \\ &= 5\end{aligned}

העמודה של x=1x=1

(f⋅g)(2)=(−1)⋅3=−3\begin{aligned}(f\cdot g)(2) &= (-1)\cdot 3 \\ &= -3\end{aligned}

העמודה של x=2x=2

(fg)(3)=42=2\begin{aligned}\left(\frac{f}{g}\right)(3) &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

העמודה של x=3x=3

המלכודת: לקרוא ערך מעמודה אחרת. כל פעולה לוקחת את שני הערכים באותו xx. שימו לב גם ש-gf\frac{g}{f} לא מוגדרת ב-x=1x=1, כי שם f(1)=0f(1)=0.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונות f(x)=x−1f(x)=x-1 ו-g(x)=x+2g(x)=x+2. מיינו את הנקודות לפי הסימן של (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x).

  • חיובית
  • שלילית
  • x=−1x=-1
  • x=−2.5x=-2.5
  • x=−3x=-3
  • x=0x=0
  • x=1.5x=1.5
  • x=2x=2
Show the answer and the solution

Answer: x=−3x=-3 — חיובית · x=0x=0 — שלילית · x=2x=2 — חיובית · x=−1x=-1 — שלילית · x=1.5x=1.5 — חיובית · x=−2.5x=-2.5 — חיובית

Worked solution:

x=−3: (−)⋅(−)=+\begin{aligned}x &= -3:\ (-)\cdot(-) \\ &= +\end{aligned}

שתיהן שליליות

x=0: (−)⋅(+)=−\begin{aligned}x &= 0:\ (-)\cdot(+) \\ &= -\end{aligned}

בין −2-2 ל-1

x=2: (+)⋅(+)=+\begin{aligned}x &= 2:\ (+)\cdot(+) \\ &= +\end{aligned}

שתיהן חיוביות

x=−1: (−)⋅(+)=−\begin{aligned}x &= -1:\ (-)\cdot(+) \\ &= -\end{aligned}

בין −2-2 ל-1

x=1.5: (+)⋅(+)=+\begin{aligned}x &= 1.5:\ (+)\cdot(+) \\ &= +\end{aligned}

מימין ל-1

x=−2.5: (−)⋅(−)=+\begin{aligned}x &= -2.5:\ (-)\cdot(-) \\ &= +\end{aligned}

משמאל ל-−2-2

המלכודת: x=−2.5x=-2.5. גם שם ff שלילית — אבל גם gg שלילית, והמכפלה חיובית. המכפלה שלילית רק בין שני האפסים.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: אם ff ו-gg פונקציות עולות לכל xx, אז גם f⋅gf\cdot g עולה לכל xx.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=g(x)=x\begin{aligned}f(x) &= g(x) \\ &= x\end{aligned}

שתי פונקציות עולות

(f⋅g)(x)=x2(f\cdot g)(x)=x^2

המכפלה

(f⋅g)(−2)=4>(f⋅g)(−1)=1\begin{aligned}(f\cdot g)(-2) &= 4>(f\cdot g)(-1) \\ &= 1\end{aligned}

בין −2-2 ל-−1-1 המכפלה יורדת

הטענה אינה נכונה. דוגמה נגדית אחת מספיקה: x⋅x=x2x\cdot x=x^2 יורדת עבור x<0x<0. המלכודת: להסיק מ«חיבור של עולות הוא עולה» — עבור כפל זה לא עובד כשהערכים שליליים.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונות שתי פונקציות זוגיות ff ו-gg המוגדרות לכל xx, ונגדיר h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)\cdot g(x). הוכיחו ש-hh זוגית.

  • f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) לכל xx
  • g(−x)=g(x)g(-x)=g(x) לכל xx

h(−x)=h(x)h(-x)=h(x)

Show the answer and the solution
  1. h(−x)=f(−x)⋅g(−x)h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) — הגדרת hh, הצבת −x-x
  2. f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) — נתון: ff זוגית
  3. g(−x)=g(x)g(-x)=g(x) — נתון: gg זוגית
  4. h(−x)=f(x)⋅g(x)h(-x)=f(x)\cdot g(x) — הצבת שני הנתונים
  5. h(−x)=h(x)h(-x)=h(x) — הגדרת hh

Worked solution:

h(−x)=f(−x)g(−x)=f(x)g(x)=h(x)\begin{aligned}h(-x) &= f(-x)g(-x) \\ &= f(x)g(x) \\ &= h(x)\end{aligned}

שרשרת אחת

המלכודת: לבדוק כמה מספרים ולהכריז «הוכחנו». טענה «לכל xx» מוכיחים עם xx כללי.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונות f(x)=2x+1f(x)=2x+1 ו-g(x)=x−3g(x)=x-3. עבור איזה xx מתקיים (fg)(x)=3\left(\frac{f}{g}\right)(x)=3?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

2x+1x−3=3x≠3\begin{aligned}\frac{2x+1}{x-3} &= 3 \\ \quad x\neq 3\end{aligned}

המשוואה ותנאי התחום

2x+1=3x−92x+1=3x-9

כופלים במכנה

x=10x=10

פתרון

g(10)=7≠0g(10)=7\neq 0

הפתרון בתחום ✓

המלכודת: לכפול רק את xx ב-3 ולכתוב 2x+1=3x−32x+1=3x-3. כופלים את כל המכנה: 3(x−3)=3x−93(x-3)=3x-9.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונות f(x)=x2f(x)=x^2 ו-g(x)=1xg(x)=\frac{1}{x}. איזו טענה על h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)\cdot g(x) נכונה?

  1. h(x)=xh(x)=x לכל xx
  2. h(x)=xh(x)=x עבור x≠0x\neq 0, והגרף הוא ישר בלי הראשית
  3. h(x)=1x3h(x)=\frac{1}{x^3}
  4. h(x)=x3h(x)=x^3
Show the answer and the solution

Answer: B h(x)=xh(x)=x עבור x≠0x\neq 0, והגרף הוא ישר בלי הראשית

Worked solution:

x≠0x\neq 0

התחום של gg — ולכן גם של המכפלה

x2⋅1x=xx^2\cdot\frac{1}{x}=x

פישוט

המלכודת: לפשט ולשכוח ש-gg לא מוגדרת ב-0. הנקודה (0,0)(0,0) חסרה בגרף. התשובה: h(x)=xh(x)=x עבור x≠0x\neq 0.

Check the answer on elev

Exercise 10

תלמידה כתבה את התנאים של תחום ההגדרה של h(x)=x+2x−1h(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

x+2≥0⇒x≥−2x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2
x−1≥0⇒x≥1x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1
Show the answer and the solution

Answer: x−1≥0⇒x≥1x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1 → x−1≠0⇒x≠1x-1\neq 0 \Rightarrow x\neq 1

Worked solution:

x+2\sqrt{x+2}

השורש נמצא במונה — הוא דורש x+2≥0x+2\ge 0

x−1x-1

המכנה אינו בתוך שורש — הוא רק צריך להיות שונה מאפס

תחום: x≥−2,  x≠1\text{תחום: } x\ge -2,\ \ x\neq 1

שני התנאים יחד

המלכודת: להעתיק את התנאי של השורש גם למכנה. x=0x=0 למשל מותר: h(0)=2−1h(0)=\frac{\sqrt{2}}{-1}.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade