Set 3 — Challenging · Transformations and operations on functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בסדרה הזאת כבר לא קוראים תשובה מהנוסחה — מוצאים אותה: פרמטר לפי נקודה, פונקציה לפי שרטוט, קיצון של $\frac{1}{f}$ לפי הקדקוד של $f$ . ובסוף הוכחה אחת קצרה.

כשמחפשים פרמטר, קודם העיגון, אחר כך נקודה אחת. וכשמחפשים את הגרף של $\frac{1}{f}$ — קודם האפסים של $f$ , כי הם האסימפטוטות.

Exercises

Exercise 1

לפרבולה $y=a(x-p)^2+k$ קדקוד $(2,\,-3)$ , והיא עוברת דרך הנקודה $(4,\,5)$ . מהו $a$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

y=a(x-2)^2-3

מהקדקוד

5=a\cdot 2^2-3

הצבת הנקודה

\begin{aligned}4a &= 8 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לשכוח להעלות בריבוע ולקבל $2a=8$ . $(4-2)^2=4$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

הנקודה $(6,\,4)$ נמצאת על הגרף של $y=f(x)$ . נגדיר $g(x)=f(2x)-1$ . איזו נקודה נמצאת על הגרף של $g$ ?

$(6,\,3)$
$(12,\,3)$
$(3,\,3)$
$(3,\,5)$

Show the answer and the solution

Answer: C $(3,\,3)$

Worked solution:

\begin{aligned}2x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

כדי ש- $f$ תקבל את הקלט 6

\begin{aligned}g(3) &= f(6)-1 \\ &= 3\end{aligned}

הגובה יורד ב-1

המלכודת: לכפול את $x$ ב-2 ולקבל 12. בפנים הכפל מכווץ — מחלקים. התשובה: $(3,\,3)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

לגרף של $y=\frac{a}{x-p}+k$ אסימפטוטות $x=1$ ו- $y=-2$ , והוא חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-1,\,0)$ . מהו $a$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

y=\frac{a}{x-1}-2

מהאסימפטוטות

0=\frac{a}{-2}-2

הצבת $(-1,0)$

a=-4

פתרון

המלכודת: לטעות בסימן של המכנה: $-1-1=-2$ , לא $0$ ולא $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

גרף מהמשפחה a/(x−p)+k

בשרטוט: גרף מהמשפחה $y=\frac{a}{x-p}+k$ ושתי האסימפטוטות שלו. הגרף עובר דרך הנקודה $(0,\,5)$ . מהי הפונקציה?

$y=\frac{3}{x+1}-2$
$y=\frac{-3}{x+1}+2$
$y=\frac{3}{x-1}+2$
$y=\frac{3}{x+1}+2$

Show the answer and the solution

Answer: D $y=\frac{3}{x+1}+2$

Worked solution:

\begin{aligned}x &= -1 \Rightarrow p \\ &= -1\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית

\begin{aligned}y &= 2 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

אסימפטוטה אופקית

\begin{aligned}5 &= \frac{a}{0+1}+2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

הצבת הנקודה

המלכודת: לכתוב $x-1$ עבור אסימפטוטה ב- $-1$ , או לקבל $a$ שלילי. הענפים מימין-למעלה ומשמאל-למטה — $a>0$ . התשובה: $y=\frac{3}{x+1}+2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=x^2-4x$ , ונגדיר $g(x)=f(x+3)-2$ . מהו שיעור ה- $x$ של קדקוד הפרבולה $g$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

f(x)=(x-2)^2-4

קדקוד $f$ : $(2,\,-4)$

x+3

השינוי הפנימי: שמאלה ב- $3$

2-3=-1

ה- $x$ של הקדקוד

(2,-4)\rightarrow(-1,\,-6)

והגובה ירד ב-2

המלכודת: להזיז ימינה ל-5. אפשר גם לפתוח סוגריים — אבל מעקב אחרי הקדקוד מהיר ובטוח יותר.

Check the answer on elev

Exercise 6

אם $f$ אי-זוגית, אז הגרף של $g(x)=\left(f(x)\right)^2$ סימטרי ביחס לציר ה- $y$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

g(-x)=\left(f(-x)\right)^2

הגדרת $g$

f(-x)=-f(x)

$f$ אי-זוגית

\begin{aligned}\left(-f(x)\right)^2 &= \left(f(x)\right)^2 \\ &= g(x)\end{aligned}

ריבוע מוחק את המינוס

הטענה נכונה: $g$ זוגית. המלכודת: לחשוב שהריבוע של פונקציה אי-זוגית נשאר אי-זוגי. דוגמה: $(x^3)^2=x^6$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה $f(x)=x^2-2x-8$ , ונגדיר $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ . השלימו.

האסימפטוטות האנכיות של $g$ הן $x=$ ____ (הקטנה) ו- $x=$ ____ (הגדולה), ונקודת הקיצון של $g$ ביניהן היא ב- $x=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: האסימפטוטות האנכיות של $g$ הן $x=$ -2 (הקטנה) ו- $x=$ 4 (הגדולה), ונקודת הקיצון של $g$ ביניהן היא ב- $x=$ 1

Worked solution:

f(x)=(x-4)(x+2)

האפסים של $f$

\begin{aligned}x &= \frac{-2+4}{2} \\ &= 1\end{aligned}

הקדקוד של $f$ באמצע בין האפסים

\begin{aligned}f(1) &= -9 \Rightarrow g(1) \\ &= -\frac{1}{9}\end{aligned}

מינימום של $f$ , ולכן מקסימום של $g$

המלכודת: לחפש את הקיצון של $g$ במקום אחר. הקיצון של $\frac{1}{f}$ נמצא באותו $x$ כמו הקיצון של $f$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונות $f(x)=\sqrt{x+2}$ ו- $g(x)=\sqrt{2-x}$ . מהו תחום ההגדרה של $f\cdot g$ ?

$-2\le x\le 2$
כל $x$
$-2<x<2$
$x\ge -2$

Show the answer and the solution

Answer: A $-2\le x\le 2$

Worked solution:

x\ge -2

התחום של $f$

x\le 2

התחום של $g$

-2\le x\le 2

החיתוך

המלכודת: להשמיט את הקצוות ולענות $-2<x<2$ , או לקחת את התחום של אחת הפונקציות בלבד. ב- $x=\pm 2$ שני השורשים מוגדרים, והמכפלה שווה ל-0. התשובה: $-2\le x\le 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

באיזה $x$ חותך הגרף של $y=-(x+1)^3+8$ את ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

(x+1)^3=8

מבודדים את החזקה

x+1=2

שורש שלישי יחיד

x=1

בדיקה: $-(2)^3+8=0$ ✓

המלכודת: לחפש שני פתרונות $\pm$ . לחזקה שלישית פתרון אחד בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה פונקציה זוגית $f$ המוגדרת לכל $x$ , ונגדיר $g(x)=f(x-3)$ . הוכיחו שלכל $t$ מתקיים $g(3+t)=g(3-t)$ , כלומר שהגרף של $g$ סימטרי ביחס לישר $x=3$ .

$f(-x)=f(x)$ לכל $x$
$g(x)=f(x-3)$

$g(3+t)=g(3-t)$

Show the answer and the solution

$g(3+t)=f(t)$ — הצבת $x=3+t$ בהגדרת $g$
$g(3-t)=f(-t)$ — הצבת $x=3-t$ בהגדרת $g$
$f(-t)=f(t)$ — $f$ זוגית
$g(3-t)=f(t)$ — הצבה
$g(3+t)=g(3-t)$ — שני הביטויים שווים ל- $f(t)$

Worked solution:

\begin{aligned}g(3\pm t) &= f(\pm t) \\ &= f(t)\end{aligned}

שרשרת אחת

המלכודת: להציב $x=t$ . ציר הסימטריה זז יחד עם הגרף — ל- $x=3$ — ולכן מציבים סביב 3.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev