Set 4 — Advanced

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הסדרה המתקדמת בודקת את מה שקל לפספס: סדר הטרנספורמציות, מה כפל במספר שלילי עושה לקבוצת ערכים, ומה קורה לערכים שבין −1-1 ל-1 כשעוברים ל-1f\frac{1}{f} או ל-f2f^2. יש כאן גם שאלת «האם ייתכן» והוכחה של סימטריה.

כשהסדר חשוב — הציבו. כתבו מה קורה ל-x\sqrt{x} אחרי הצעד הראשון, ואז החליפו xx לפי הצעד השני. שורה אחת של הצבה חוסכת ניחוש.

Exercises

Exercise 1

עבור איזה ערך של kk עובר הגרף של y=2x−1+ky=\frac{2}{x-1}+k דרך ראשית הצירים?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

0=20−1+k0=\frac{2}{0-1}+k

מציבים (0,0)(0,0)

0=−2+k⇒k=2\begin{aligned}0 &= -2+k \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לחשוב שהיפרבולה לא יכולה לעבור בראשית. רק האסימפטוטות «אסורות» — והן כאן x=1x=1, y=2y=2.

Check the answer on elev

Exercise 2

גרף מהמשפחה y=ax−p+ky=a\sqrt{x-p}+k יוצא מהנקודה (−3, 2)(-3,\,2) ועובר דרך (1, −4)(1,\,-4). מהו aa?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

y=ax+3+2y=a\sqrt{x+3}+2

מנקודת ההתחלה

−4=a4+2-4=a\sqrt{4}+2

הצבה

2a=−6⇒a=−3\begin{aligned}2a &= -6 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לחשוב ש-aa חייב להיות חיובי כי השורש חיובי. הגרף יורד מנקודת ההתחלה — ולכן a<0a<0.

Check the answer on elev

Exercise 3

איזו סדרת טרנספורמציות מעבירה את הגרף של y=xy=\sqrt{x} לגרף של y=4−x+1y=\sqrt{4-x}+1?

  1. שיקוף בציר ה-y, אחר כך הזזה שמאלה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
  2. שיקוף בציר ה-x, אחר כך הזזה ימינה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
  3. שיקוף בציר ה-y, אחר כך הזזה ימינה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
  4. הזזה ימינה ב-4, אחר כך שיקוף בציר ה-y, ולבסוף הזזה למעלה ב-1
Show the answer and the solution

Answer: C שיקוף בציר ה-y, אחר כך הזזה ימינה ב-4, ולבסוף הזזה למעלה ב-1

Worked solution:

4−x=−(x−4)\sqrt{4-x}=\sqrt{-(x-4)}

מוציאים מינוס מהסוגריים

x → −x → −(x−4)\sqrt{x}\ \rightarrow\ \sqrt{-x}\ \rightarrow\ \sqrt{-(x-4)}

שיקוף, ואחריו החלפת xx ב-x−4x-4: ימינה ב-4

x−4 → −x−4\sqrt{x-4}\ \rightarrow\ \sqrt{-x-4}

בסדר ההפוך (קודם ימינה ואז שיקוף) מתקבלת פונקציה אחרת

המלכודת: הסדר. «ימינה ב-4 ואז שיקוף בציר ה-yy» נותן −x−4\sqrt{-x-4}, שמוגדרת רק עבור x≤−4x\le -4. התשובה: שיקוף בציר ה-y, הזזה ימינה ב-4, ולמעלה ב-1 — הגרף יוצא מ-(4, 1)(4,\,1) שמאלה.

Check the answer on elev

Exercise 4

קבוצת הערכים של ff היא −2≤y≤6-2\le y\le 6. מהו הערך הגדול ביותר של g(x)=−12f(x+5)+1g(x)=-\frac{1}{2}f(x+5)+1?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f(x+5): −2≤y≤6f(x+5):\ -2\le y\le 6

הזזה אופקית לא משנה את קבוצת הערכים

−12f: −3≤y≤1-\frac{1}{2}f:\ -3\le y\le 1

כפל במספר שלילי הופך את כיוון אי-השוויון

+1: −2≤y≤2+1:\ -2\le y\le 2

הזזה למעלה

המלכודת: להציב את הערך הגדול ביותר של ff, 6, ולקבל −12⋅6+1=−2-\frac{1}{2}\cdot 6+1=-2 — אבל זה הערך הקטן ביותר של gg. כפל במספר שלילי הופך את הסדר: המקסימום של gg מגיע מהמינימום של ff, −12⋅(−2)+1=2-\frac{1}{2}\cdot(-2)+1=2.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונות f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 ו-g(x)=x+1g(x)=x+1. הגרף של h=fgh=\frac{f}{g} הוא ישר שחסרה בו נקודה אחת. השלימו את הנקודה החסרה.

x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= -1 , y=y= -2

Worked solution:

g(x)≠0⇒x≠−1g(x)\neq 0 \Rightarrow x\neq -1

תחום ההגדרה

h(x)=(x−1)(x+1)x+1=x−1\begin{aligned}h(x) &= \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \\ &= x-1\end{aligned}

צמצום

x=−1: y=−1−1=−2\begin{aligned}x &= -1:\ y \\ &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה שהישר y=x−1y=x-1 היה עובר בה

המלכודת: להציב x=−1x=-1 בפונקציה המקורית — שם 00\frac{0}{0}. את גובה החור קוראים מהישר המצומצם.

Check the answer on elev

Exercise 6

האם ייתכן? קיימת פונקציה ff המוגדרת לכל xx, כך ש-1f\frac{1}{f} מוגדרת לכל xx, ולכל xx מתקיים (f(x))2<f(x)\left(f(x)\right)^2<f(x).

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(x)=1x2+2f(x)=\frac{1}{x^2+2}

דוגמה

0<f(x)≤120<f(x)\le\frac{1}{2}

הערכים בין 0 ל-1, ואף פעם לא 0

1f(x)=x2+2\frac{1}{f(x)}=x^2+2

מוגדרת לכל xx

0<t<1⇒t2<t0<t<1 \Rightarrow t^2<t

ולכן הריבוע קטן מהערך

כן, ייתכן. מספיק ש-0<f(x)<10<f(x)<1 לכל xx. המלכודת: לחשוב שריבוע תמיד «מגדיל» — ולענות «לא» בלי לחפש דוגמה.

Check the answer on elev

Exercise 7

הגרף של f
(2, −1)(1, 0)(3, 0)-1012345-2-112345xy

בשרטוט: הגרף של הפרבולה f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. מהי קבוצת הערכים של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}?

  1. y≠0y\neq 0
  2. y≥−1y\ge -1
  3. y≤−1y\le -1 או y>0y>0
  4. −1≤y<0-1\le y<0
Show the answer and the solution

Answer: C y≤−1y\le -1 או y>0y>0

Worked solution:

f(x)≥−1f(x)\ge -1

הקדקוד (2,−1)(2,-1) הוא מינימום

−1≤f(x)<0⇒1f(x)≤−1-1\le f(x)<0 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}\le -1

ההופכי של מספר בין −1-1 ל-0

f(x)>0⇒1f(x)>0f(x)>0 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}>0

וכל ערך חיובי מתקבל — קרוב לאסימפטוטות גדול, רחוק מהן קרוב ל-0

המלכודת: לענות y≠0y\neq 0 כמו בהיפרבולה רגילה. הערכים בין −1-1 ל-0 לא מתקבלים, כי ff לא יורדת מתחת ל-−1-1. התשובה: y≤−1y\le -1 או y>0y>0.

Check the answer on elev

Exercise 8

לגרף של y=a(x−p)3+ky=a(x-p)^3+k מרכז סימטריה (1, −2)(1,\,-2), והוא עובר דרך הנקודה (3, 14)(3,\,14). מהו aa?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

y=a(x−1)3−2y=a(x-1)^3-2

ממרכז הסימטריה

14=a⋅23−214=a\cdot 2^3-2

הצבה

8a=16⇒a=2\begin{aligned}8a &= 16 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

פתרון

המלכודת: לחשב 23=62^3=6. וגם: מרכז סימטריה של חזקה אי-זוגית משחק את התפקיד של הקדקוד — ממנו קוראים pp ו-kk.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x, ונגדיר g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2. מיינו את הטענות.

  • נכונה
  • לא נכונה
  • g(−1)=3g(-1)=3
  • g(1)=1g(1)=1
  • g(3)=9g(3)=9
  • gg שלילית עבור 0<x<20<x<2
  • ל-gg נקודת מינימום ב-x=0x=0
  • ל-gg נקודת מינימום ב-x=1x=1
Show the answer and the solution

Answer: g(1)=1g(1)=1 — נכונה · ל-gg נקודת מינימום ב-x=0x=0 — נכונה · g(3)=9g(3)=9 — נכונה · ל-gg נקודת מינימום ב-x=1x=1 — לא נכונה · g(−1)=3g(-1)=3 — לא נכונה · gg שלילית עבור 0<x<20<x<2 — לא נכונה

Worked solution:

f(1)=−1⇒g(1)=1\begin{aligned}f(1) &= -1 \Rightarrow g(1) \\ &= 1\end{aligned}

נכונה

f(0)=0⇒g(0)=0 מינימום\begin{aligned}f(0) &= 0 \Rightarrow g(0) \\ &= 0\ \text{מינימום}\end{aligned}

נכונה: g≥0g\ge 0

f(3)=3⇒g(3)=9\begin{aligned}f(3) &= 3 \Rightarrow g(3) \\ &= 9\end{aligned}

נכונה

x=1: ∣f(1)∣=1\begin{aligned}x &= 1:\ |f(1)| \\ &= 1\end{aligned}

שם ∣f∣|f| מקסימלי בקטע, ולכן לא נכונה: שם gg מקבלת מקסימום מקומי

f(−1)=3⇒g(−1)=9\begin{aligned}f(-1) &= 3 \Rightarrow g(-1) \\ &= 9\end{aligned}

לא נכונה

g≥0g\ge 0

לא נכונה: ריבוע אינו שלילי

המלכודת: להעתיק את המינימום של ff ב-x=1x=1 כמינימום של gg. שם f=−1f=-1, רחוק מאפס — ולכן זה מקסימום מקומי של f2f^2.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה g(x)=ax−p+kg(x)=\frac{a}{x-p}+k. הוכיחו שלכל t≠0t\neq 0 מתקיים g(p+t)+g(p−t)=2kg(p+t)+g(p-t)=2k, כלומר שהנקודה (p, k)(p,\,k) היא מרכז סימטריה של הגרף.

  • g(x)=ax−p+kg(x)=\frac{a}{x-p}+k
  • t≠0t\neq 0

g(p+t)+g(p−t)=2kg(p+t)+g(p-t)=2k

Show the answer and the solution
  1. g(p+t)=at+kg(p+t)=\frac{a}{t}+k — הצבת x=p+tx=p+t
  2. g(p−t)=−at+kg(p-t)=-\frac{a}{t}+k — הצבת x=p−tx=p-t
  3. g(p+t)+g(p−t)=2kg(p+t)+g(p-t)=2k — חיבור שתי השורות

Worked solution:

at+k−at+k=2k\frac{a}{t}+k-\frac{a}{t}+k=2k

השברים מבטלים זה את זה

המלכודת: לחשוב שצריך לדעת את aa. הביטול קורה לכל aa — ולכן כל היפרבולה מהמשפחה סימטרית סביב מפגש האסימפטוטות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade