Triangle area with the sine

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

קחו שני מקלות, באורך 66 ובאורך 44, וחברו אותם בציר בקצה אחד. הקצוות האחרים נקשרים בגומייה — וזה משולש. כשפותחים את הציר המשולש משנה צורה: בזווית קטנה הוא «שטוח», ובזווית גדולה מאוד הוא שוב שטוח. באיזו זווית השטח הכי גדול?

CBAH
הצלע CB=6CB = 6 היא הבסיס. הגובה AHAH יורד מהקדקוד AA — והוא תלוי בזווית CC.

בשרטוט CA=4CA = 4 והזווית ב-CC היא γ\gamma. הביעו את הגובה AHAH באמצעות γ\gamma. ובאיזו זווית הוא הכי ארוך?

Show the answer and the solution

במשולש AHCAHC (ישר זווית ב-HH): AH=4sin⁡γAH = 4\sin\gamma. הגובה הכי ארוך כש-sin⁡γ=1\sin\gamma = 1, כלומר ב-γ=90∘\gamma = 90^\circ — אז CACA עצמו עומד על הבסיס. השטח המקסימלי: 12⋅6⋅4=12\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4 = 12.

הנוסחה: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

ומה קורה כשהזווית קהה?

CBAH
כש-γ\gamma קהה, הגובה נופל מחוץ למשולש, על המשך הצלע CBCB. הזווית שבמשולש AHCAHC היא 180∘−γ180^\circ - \gamma.

במשולש ישר הזווית AHCAHC הזווית ב-CC היא עכשיו 180∘−γ180^\circ - \gamma, ולכן h=bsin⁡(180∘−γ)h = b\sin(180^\circ - \gamma). אבל sin⁡(180∘−γ)=sin⁡γ\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma — ובזה הנוסחה נשארת אותה נוסחה גם למשולש קהה זווית.

משולש אחד: צלעות 66 ו-44 והזווית ביניהן 30∘30^\circ. משולש שני: אותן צלעות והזווית ביניהן 150∘150^\circ. חשבו את שני השטחים.

Show the answer and the solution

שניהם 12⋅6⋅4⋅12=6\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\frac{1}{2} = 6, כי sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. המשולשים שונים לגמרי בצורתם — ושווי שטח.

שימושים

S=12absin⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

משולש: שתי צלעות והזווית שביניהן.

S=absin⁡αS = ab\sin\alpha

מקבילית: אלכסון מחלק אותה לשני משולשים חופפים, כל אחד בשטח 12absin⁡α\frac{1}{2}ab\sin\alpha.

sin⁡γ=2Sab\sin\gamma = \frac{2S}{ab}

כיוון הפוך: מהשטח אל הזווית — ויש שתי זוויות אפשריות.

מתי השטח מקסימלי — בלי נגזרת

במשולש שווה שוקיים AB=AC=kAB = AC = k, וזוויות הבסיס שוות ל-α\alpha. הביעו את השטח באמצעות kk ו-α\alpha, ומצאו לאיזו α\alpha השטח הגדול ביותר.

∠A=180∘−2α\angle A = 180^\circ - 2\alpha

סכום הזוויות במשולש

S=12k2sin⁡(180∘−2α)S = \tfrac{1}{2}k^2\sin(180^\circ - 2\alpha)

שתי השוקיים והזווית שביניהן

S=12k2sin⁡2αS = \tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

כי sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

sin⁡2α≤1\sin 2\alpha \le 1

הסינוס לא עולה על 11

2α=90∘⇒α=45∘\begin{aligned}2\alpha &= 90^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

שם S=12k2S = \frac{1}{2}k^2, הערך המקסימלי — וזווית הראש ישרה

משולש שצלעותיו 66 ו-88 ושטחו 1212. מהי הזווית בין שתי הצלעות?

Show the answer and the solution

12=12⋅6⋅8sin⁡γ12 = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\sin\gamma, ולכן sin⁡γ=12\sin\gamma = \frac{1}{2}. שתי תשובות: γ=30∘\gamma = 30^\circ או γ=150∘\gamma = 150^\circ. בלי נתון נוסף — שני המשולשים אפשריים.

שלוש טעויות בנוסחת השטח.

S=12abcos⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\cos\gamma
S=12absin⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

הגובה הוא bsin⁡γb\sin\gamma. קוסינוס שייך למשפט הקוסינוסים, לא לשטח.

S=12bcsin⁡βS = \tfrac{1}{2}bc\sin\beta
S=12bcsin⁡αS = \tfrac{1}{2}bc\sin\alpha

הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות שבנוסחה. α\alpha נמצאת בין bb ל-cc.

sin⁡γ=12⇒γ=30∘\begin{aligned}\sin\gamma &= \tfrac{1}{2} \Rightarrow \gamma \\ &= 30^\circ\end{aligned}
γ1=30∘ γ2=150∘\begin{aligned}\gamma_1 &= 30^\circ \\ \ \gamma_2 &= 150^\circ\end{aligned}

המחשבון מחזיר רק את הזווית החדה. במשולש גם הקהה אפשרית — צריך נתון שיכריע.

Exercises

Exercise 1

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=7CA = 7, CB=10CB = 10 ו-∠C=40∘\angle C = 40^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 22.5

Worked solution:

S=12⋅7⋅10⋅sin⁡40∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 10\cdot\sin 40^\circ

שתי צלעות והזווית שביניהן

S=35sin⁡40∘≈22.50S = 35\sin 40^\circ \approx 22.50

S≈22.50S \approx 22.50. המלכודת: 35cos⁡40∘≈26.8135\cos 40^\circ \approx 26.81 — קוסינוס במקום סינוס.

Check the answer on elev

Exercise 2

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=5CA = 5, CB=8CB = 8 ו-∠C=120∘\angle C = 120^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 17.32

Worked solution:

S=12⋅5⋅8⋅sin⁡120∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 120^\circ
sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\begin{aligned}\sin 120^\circ &= \sin 60^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

S=20⋅32=103≈17.32\begin{aligned}S &= 20\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 10\sqrt{3} \approx 17.32\end{aligned}

S=103≈17.32S = 10\sqrt{3} \approx 17.32. המלכודת: לחשוב שבזווית קהה הנוסחה לא עובדת, או לקחת cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} ולקבל שטח שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 3

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=CB=6CA = CB = 6 ו-∠C=150∘\angle C = 150^\circ. מהו שטח המשולש?

  1. 939\sqrt{3}
  2. 99
  3. 1818
  4. −93-9\sqrt{3}
Show the answer and the solution

Answer: B 99

Worked solution:

S=12⋅6⋅6⋅sin⁡150∘S = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot\sin 150^\circ
sin⁡150∘=12\sin 150^\circ = \tfrac{1}{2}

כמו sin⁡30∘\sin 30^\circ

S=18⋅12=9\begin{aligned}S &= 18\cdot\tfrac{1}{2} \\ &= 9\end{aligned}

התשובה: 99. המסיחים: 939\sqrt{3} ו-−93-9\sqrt{3} באים מקוסינוס במקום סינוס, ו-1818 משכחת ה-12\frac{1}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 4

CBA

שטח המשולש ABCABC הוא 3030. נתון CA=10CA = 10, CB=12CB = 12, והזווית CC חדה. מצאו את ∠C\angle C במעלות.

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

30=12⋅10⋅12⋅sin⁡C30 = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot\sin C

נוסחת השטח, בכיוון ההפוך

sin⁡C=3060=12\begin{aligned}\sin C &= \frac{30}{60} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
C=30∘ או C=150∘\begin{aligned}C &= 30^\circ \ \text{או}\ C \\ &= 150^\circ\end{aligned}

שתי זוויות עם אותו סינוס

C=30∘C = 30^\circ

הזווית נתונה חדה

∠C=30∘\angle C = 30^\circ. בלי המילה «חדה» גם 150∘150^\circ הייתה תשובה נכונה — וזה מה ששואלים לפעמים בבגרות.

Check the answer on elev

Exercise 5

CBA

נכון או לא נכון: משולש שבו שתי צלעות 55 ו-88 והזווית ביניהן 50∘50^\circ, ומשולש שבו אותן צלעות והזווית ביניהן 130∘130^\circ — שווים בשטחם.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

sin⁡130∘=sin⁡(180∘−50∘)=sin⁡50∘\begin{aligned}\sin 130^\circ &= \sin(180^\circ - 50^\circ) \\ &= \sin 50^\circ\end{aligned}
S1=S2=20sin⁡50∘≈15.32\begin{aligned}S_1 &= S_2 \\ &= 20\sin 50^\circ \approx 15.32\end{aligned}

נכון. המשולשים אינם חופפים — הצלע השלישית שונה — אבל השטחים שווים. המלכודת: להניח שזווית גדולה יותר נותנת תמיד שטח גדול יותר.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCD

במקבילית ABCDABCD נתון AB=10AB = 10, AD=6AD = 6 ו-∠DAB=60∘\angle DAB = 60^\circ. מצאו את שטח המקבילית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 51.96

Worked solution:

SABD=12⋅10⋅6⋅sin⁡60∘S_{ABD} = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot\sin 60^\circ

האלכסון BDBD מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים

S=2SABD=60sin⁡60∘=303≈51.96\begin{aligned}S &= 2S_{ABD} \\ &= 60\sin 60^\circ \\ &= 30\sqrt{3} \approx 51.96\end{aligned}

S=303≈51.96S = 30\sqrt{3} \approx 51.96. המלכודת: להשאיר את ה-12\frac{1}{2} — הוא שייך למשולש, לא למקבילית.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k, וזוויות הבסיס ∠B=∠C=α\angle B = \angle C = \alpha. הביעו את שטח המשולש באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha
  2. 12k2sin⁡2α\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha
  3. k2sin⁡2αk^2\sin 2\alpha
  4. 12k2cos⁡2α\frac{1}{2}k^2\cos 2\alpha
Show the answer and the solution

Answer: B 12k2sin⁡2α\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

Worked solution:

∠A=180∘−2α\angle A = 180^\circ - 2\alpha

הזווית שבין שתי השוקיים

S=12k2sin⁡(180∘−2α)S = \tfrac{1}{2}k^2\sin(180^\circ - 2\alpha)
S=12k2sin⁡2αS = \tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x

התשובה: 12k2sin⁡2α\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha. המלכודת: 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha — α\alpha היא זווית בסיס, והיא לא נמצאת בין שתי השוקיים.

Check the answer on elev

Exercise 8

CBA

בכל המשולשים שבהם שתי צלעות שוות ל-99, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי?

Show the answer and the solution

Answer: 40.5

Worked solution:

S=12⋅9⋅9⋅sin⁡γS = \tfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 9\cdot\sin\gamma

γ\gamma הזווית בין שתי הצלעות

sin⁡γ≤1\sin\gamma \le 1
Smax=812=40.5\begin{aligned}S_{max} &= \tfrac{81}{2} \\ &= 40.5\end{aligned}

מתקבל ב-γ=90∘\gamma = 90^\circ

Smax=40.5S_{max} = 40.5, במשולש ישר זווית. אין צורך בנגזרת: הסינוס חסום על ידי 1. המלכודת: לחפש את המקסימום בזווית 60∘60^\circ, של משולש שווה צלעות.

Check the answer on elev

Exercise 9

CBA

שטח המשולש ABCABC הוא 2020. נתון CA=5CA = 5, CB=16CB = 16, והזווית CC קהה. מצאו את ∠C\angle C במעלות.

Show the answer and the solution

Answer: 150

Worked solution:

20=12⋅5⋅16⋅sin⁡C=40sin⁡C\begin{aligned}20 &= \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 16\cdot\sin C \\ &= 40\sin C\end{aligned}
sin⁡C=12\sin C = \tfrac{1}{2}
C=180∘−30∘=150∘\begin{aligned}C &= 180^\circ - 30^\circ \\ &= 150^\circ\end{aligned}

הזווית נתונה קהה

∠C=150∘\angle C = 150^\circ. המלכודת: לכתוב את 30∘30^\circ שהמחשבון נותן — היא חדה, והנתון דורש קהה.

Check the answer on elev

Exercise 10

ב-△ABC\triangle ABC נתון a=4a = 4 ו-b=5b = 5, והזווית γ\gamma שביניהן משתנה. סדרו את ארבעת המקרים מהשטח הקטן לגדול.

  • γ=140∘\gamma = 140^\circ
  • γ=20∘\gamma = 20^\circ
  • γ=50∘\gamma = 50^\circ
  • γ=90∘\gamma = 90^\circ
Show the answer and the solution

Answer: γ=20∘\gamma = 20^\circ · γ=140∘\gamma = 140^\circ · γ=50∘\gamma = 50^\circ · γ=90∘\gamma = 90^\circ

Worked solution:

S=10sin⁡γS = 10\sin\gamma

אותן צלעות — השטח תלוי רק ב-sin⁡γ\sin\gamma

sin⁡20∘≈0.34 sin⁡140∘=sin⁡40∘≈0.64\begin{aligned}\sin 20^\circ \approx 0.34 \\ \ \sin 140^\circ &= \sin 40^\circ \approx 0.64\end{aligned}
sin⁡50∘≈0.77 sin⁡90∘=1\begin{aligned}\sin 50^\circ \approx 0.77 \\ \ \sin 90^\circ &= 1\end{aligned}

הסדר: 20∘20^\circ, 140∘140^\circ, 50∘50^\circ, 90∘90^\circ. המלכודת: לשים את 140∘140^\circ אחרון — הזווית הגדולה ביותר איננה השטח הגדול ביותר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade