Review: the right triangle · Plane trigonometry · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בכל פרק הטריגונומטריה נשתמש ביחסים שהכרתם בכיתה ט. לפני שעוברים למשולש כללי, כדאי לראות שוב למה היחסים האלה בכלל קיימים: הם לא תלויים בגודל המשולש, רק בזווית.

שני משולשים ישרי זווית עם אותה זווית חדה ליד הקדקוד A. הקטן הוא הקטנה של הגדול פי 2.

בשרטוט $AB = 8$ , $BC = 6$ , $AD = 4$ ו- $DE = 3$ . חשבו את $AC$ ואת $AE$ , ואחר כך את $\frac{BC}{AC}$ ואת $\frac{DE}{AE}$ . מה קיבלתם, ולמה?

Show the answer and the solution

לפי פיתגורס $AC = 10$ ו- $AE = 5$ . שני היחסים שווים ל- $\frac{3}{5}$ . המשולשים $ADE$ ו- $ABC$ דומים (ז.ז: זווית משותפת וזווית ישרה), ולכן היחס בין הצלע שמול $A$ ליתר זהה בשניהם. היחס תלוי רק בזווית $A$ — וזה בדיוק $\sin A$ .

שלושת היחסים

\sin\alpha = \dfrac{a}{c}

סינוס: הניצב שמול הזווית, חלקי היתר.

\cos\alpha = \dfrac{b}{c}

קוסינוס: הניצב שליד הזווית, חלקי היתר.

\tan\alpha = \dfrac{a}{b}

טנגנס: הניצב שמול הזווית, חלקי הניצב שלידה.

כאן $c$ הוא היתר, $a$ הניצב שמול הזווית $\alpha$ ו- $b$ הניצב שלידה. השמות נגדי וליד תלויים בזווית שבוחרים: הניצב שנגדי לזווית אחת הוא הניצב שליד הזווית השנייה.

הזוויות המיוחדות: 30°, 45°, 60°

\begin{aligned}\sin 30^\circ &= \cos 60^\circ \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

מחצי משולש שווה צלעות: הניצב הקצר הוא חצי היתר.

\begin{aligned}\sin 60^\circ &= \cos 30^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

הגובה של משולש שווה צלעות שצלעו 2.

\begin{aligned}\sin 45^\circ &= \cos 45^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

מחצי ריבוע שצלעו 1: היתר הוא האלכסון $\sqrt{2}$ .

\tan 45^\circ = 1

שני הניצבים שווים.

במשולש ישר זווית שני הניצבים שווים ל- $1$ . מהו היתר, ומהו $\sin 45^\circ$ ?

Show the answer and the solution

היתר $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ , ולכן $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

בהוכחה כותבים $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , בחישוב מספרי מותר $0.707$ . ערך מעוגל בתוך הוכחה הופך שוויון מדויק לשוויון בקירוב, וההוכחה כבר לא מוכיחה. ובמחשבון — לבדוק שהוא במצב מעלות (DEG): במצב רדיאנים $\sin 30$ נותן $-0.988$ .

למצוא צלע, למצוא זווית

Interactive activity

במשולש ישר זווית

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 10$ ו- $\angle A = 35^\circ$ . מצאו את $BC$ ואת $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה), ואחר כך את $\angle B$ .

איזה יחס מקשר את $BC$ ליתר $AB$ ולזווית $A$ ?

$\sin A$ , כי $BC$ הוא הניצב שמול $A$ .

Show the answer and the solution

נכון. מול הזווית, חלקי היתר.

$\cos A$ , כי $BC$ נוגע ב- $A$ .

Show the answer and the solution

$BC$ לא יוצא מהקדקוד $A$ . הניצב שליד $A$ הוא $AC$ .

$\tan A$ .

Show the answer and the solution

טנגנס לא כולל את היתר, ודווקא היתר נתון.

BC = 10\sin 35^\circ \approx 5.74

כופלים את שני האגפים של $\sin 35^\circ = \frac{BC}{10}$ ב- $10$ .

ואיך מוצאים את $AC$ ?

$AC = 10\cos 35^\circ$ .

Show the answer and the solution

כן. $AC$ הוא הניצב שליד $A$ .

$AC = \dfrac{10}{\cos 35^\circ}$ .

Show the answer and the solution

כך מוצאים יתר מניצב. כאן היתר נתון.

$AC = 10 - 5.74$ .

Show the answer and the solution

צלעות של משולש לא מתחלקות כך. היתר ארוך מכל ניצב, אבל הוא לא הסכום שלהם.

AC = 10\cos 35^\circ \approx 8.19

בדיקה: $5.74^2 + 8.19^2 \approx 100$ .

ומהי $\angle B$ ?

$90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Show the answer and the solution

כן, סכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא $90^\circ$ .

$180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$ .

Show the answer and the solution

שכחתם את הזווית הישרה. במשולש אין מקום לזווית קהה נוספת.

\angle B = 55^\circ

ואפשר לוודא: $\cos 55^\circ = \frac{BC}{AB} \approx 0.574$ .

Show the answer and the solution

$BC \approx 5.74$ , $AC \approx 8.19$ , $\angle B = 55^\circ$ . מול הזווית הקטנה יותר נמצא הניצב הקצר יותר.

Do the activity on elev

במשולש ישר זווית ידועים שני הניצבים, $3$ ו- $4$ . איך מוצאים את הזווית שמול הניצב $3$ בלי לחשב את היתר?

Show the answer and the solution

בטנגנס: $\tan\alpha = \frac{3}{4}$ , ולכן $\alpha = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^\circ$ . היחס היחיד שלא צריך את היתר.

משולש שווה שוקיים: הגובה הופך אותו לשני משולשים ישרי זווית

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם תיכון — ויוצר שני משולשים ישרי זווית חופפים.

הביעו באמצעות $k$ ו- $\alpha$

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle BAC = 2\alpha$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. הביעו באמצעות $k$ ו- $\alpha$ את $BC$ ואת $AD$ .

\angle BAD = \alpha

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את זווית הראש

BD = k\sin\alpha

במשולש $ABD$ (ישר זווית ב- $D$ ): $BD$ מול $\alpha$ , והיתר $AB = k$

\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\sin\alpha\end{aligned}

הגובה הוא גם תיכון

AD = k\cos\alpha

$AD$ הוא הניצב שליד $\alpha$

בדיקת ממד: $BC$ ו- $AD$ הם אורכים, ולכן בביטוי שלהם $k$ מופיע בחזקה ראשונה. ביטוי כמו $k^2\sin\alpha$ לא יכול להיות אורך — הוא שטח.

שלוש טעויות שחוזרות בחזרה על המשולש ישר הזווית.

\sin\alpha = \frac{b}{c}

\sin\alpha = \frac{a}{c}

בלבול בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה. לפני כל חישוב — לסמן על השרטוט איזה ניצב נגדי ואיזה ליד.

c = b\cos\alpha

c = \frac{b}{\cos\alpha}

כשהיתר הוא הנעלם מחלקים. בדיקה: היתר חייב לצאת ארוך מכל ניצב, ו- $b\cos\alpha$ קצר מ- $b$ .

\sin 30^\circ = -0.988

\sin 30^\circ = 0.5

המחשבון במצב רדיאנים. תוצאה שלילית בזווית חדה היא סימן אזהרה.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 12$ ו- $\angle A = 40^\circ$ . מצאו את $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 7.71

Worked solution:

\sin 40^\circ = \frac{BC}{12}

$BC$ מול הזווית $A$ , $AB$ יתר

BC = 12\sin 40^\circ \approx 7.71

$BC \approx 7.71$ . המלכודת: $12\cos 40^\circ \approx 9.19$ — זה $AC$ , הניצב שליד $A$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 9$ ו- $BC = 5$ . מצאו את $\angle A$ במעלות (עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 29.1

Worked solution:

\begin{aligned}\tan A &= \frac{BC}{AC} \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}

שני הניצבים ידועים — טנגנס

A = \tan^{-1}\left(\tfrac{5}{9}\right) \approx 29.1^\circ

$\angle A \approx 29.1^\circ$ . המלכודת: $\tan A = \frac{9}{5}$ נותן $60.9^\circ$ , שהיא הזווית $B$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. איזה יחס שווה ל- $\cos B$ ?

$\frac{BC}{AB}$
$\frac{AB}{BC}$
$\frac{AC}{AB}$
$\frac{AC}{BC}$

Show the answer and the solution

Answer: A $\frac{BC}{AB}$

Worked solution:

\cos B = \frac{BC}{AB}

קוסינוס: הניצב שליד $B$ חלקי היתר. הניצב שיוצא מהקדקוד $B$ הוא $BC$

\sin B = \frac{AC}{AB}

והניצב $AC$ , שמול $B$ , שייך לסינוס

התשובה: $\frac{BC}{AB}$ . המלכודת: $\frac{AC}{AB}$ הוא $\sin B$ — וגם $\cos A$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

השלימו את הערכים המדויקים (כתבו מספר עשרוני כשצריך).

$\sin 30^\circ =$ ____, $\cos 60^\circ =$ ____, $\tan 45^\circ =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $\sin 30^\circ =$ 0.5, $\cos 60^\circ =$ 0.5, $\tan 45^\circ =$ 1

Worked solution:

\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}

חצי משולש שווה צלעות: הניצב שמול $30^\circ$ הוא חצי היתר

\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}

אותו ניצב, הפעם ליד הזווית $60^\circ$

\tan 45^\circ = 1

במשולש ישר זווית ושווה שוקיים הניצבים שווים

$\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$ — הזוויות משלימות ל- $90^\circ$ . המלכודת: לחשוב ש- $\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 10$ ו- $\angle BAC = 50^\circ$ . מצאו את אורך הבסיס $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 8.45

Worked solution:

\angle BAD = 25^\circ

הגובה $AD$ חוצה את זווית הראש

BD = 10\sin 25^\circ \approx 4.226

במשולש $ABD$ , ישר זווית ב- $D$

BC = 2BD \approx 8.45

הגובה הוא גם תיכון

$BC \approx 8.45$ . המלכודת: $10\sin 50^\circ$ — הזווית $50^\circ$ היא זווית הראש כולה, ואינה נמצאת במשולש ישר זווית.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle ABC = \beta$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. הביעו את $AD$ באמצעות $k$ ו- $\beta$ .

$k\tan\beta$
$\frac{k}{\sin\beta}$
$k\sin\beta$
$k\cos\beta$

Show the answer and the solution

Answer: C $k\sin\beta$

Worked solution:

\triangle ABD:\ \angle D = 90^\circ

משולש ישר זווית עם יתר $AB = k$

\sin\beta = \frac{AD}{k}

$AD$ מול הזווית $B$

AD = k\sin\beta

התשובה: $k\sin\beta$ . המלכודת: $k\cos\beta$ הוא $BD$ , חצי הבסיס — הניצב שליד $\beta$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נכון או לא נכון: במשולש ישר זווית ייתכן ש- $\sin\alpha = 1.2$ עבור אחת הזוויות החדות.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\sin\alpha = \frac{a}{c}

ניצב חלקי יתר

a < c \Rightarrow \sin\alpha < 1

היתר ארוך מכל ניצב

לא נכון. בזווית חדה $0 < \sin\alpha < 1$ . אם יצא לכם סינוס גדול מ- $1$ , יש טעות בחישוב — או שהמשולש לא קיים.

Check the answer on elev

Exercise 8

סולם שאורכו $5$ מטרים נשען על קיר אנכי, ויוצר עם הקרקע זווית של $70^\circ$ . לאיזה גובה על הקיר מגיע הסולם? (במטרים, שתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 4.7

Worked solution:

\sin 70^\circ = \frac{h}{5}

הגובה מול הזווית שליד הקרקע, הסולם הוא היתר

h = 5\sin 70^\circ \approx 4.70

$h \approx 4.70$ מטרים. בדיקת סבירות: זווית גדולה עם הקרקע — הסולם כמעט זקוף, והגובה קרוב ל- $5$ . המלכודת: $5\cos 70^\circ \approx 1.71$ הוא המרחק מהקיר.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $\angle A = 30^\circ$ . תלמיד חישב את היתר $AB$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\cos 30^\circ = \frac{AC}{AB}

\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{AB}

\begin{aligned}AB &= 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $AB = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ → $AB = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$

Worked solution:

\sqrt{3}\cdot AB = 16

כפל בהצלבה

\begin{aligned}AB &= \frac{16}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24\end{aligned}

הטעות: לכפול במקום לחלק. בדיקה שתופסת אותה: $4\sqrt{3} \approx 6.93$ קטן מהניצב $8$ , ויתר לא יכול להיות קצר מניצב.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. הוכיחו כי $\sin A = \cos B$ .

$\angle C = 90^\circ$

$\sin A = \cos B$

Show the answer and the solution

$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$ — הגדרת הסינוס: הניצב שמול $A$ חלקי היתר
$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$ — הגדרת הקוסינוס: הניצב שליד $B$ חלקי היתר
$\sin A = \cos B$ — שני הגדלים שווים לאותו יחס

Worked solution:

\begin{aligned}\sin A &= \frac{BC}{AB} \\ &= \cos B\end{aligned}

הניצב $BC$ נגדי ל- $A$ וסמוך ל- $B$

\begin{aligned}A + B &= 90^\circ \Rightarrow \sin A \\ &= \cos(90^\circ - A)\end{aligned}

זו הזהות $\cos(90^\circ - x) = \sin x$

ההוכחה נשענת רק על ההגדרות. המלכודת: להציב זוויות מספריות — דוגמה אחת אינה הוכחה.

Check the answer on elev

שלושת היחסים

הזוויות המיוחדות: 30°, 45°, 60°

למצוא צלע, למצוא זווית

משולש שווה שוקיים: הגובה הופך אותו לשני משולשים ישרי זווית

Exercises

Keep practising on elev