Set 5 — toward the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 5 בנויה כמו שאלות הבגרות: כמה סעיפים שנשענים זה על זה, «הוכיחו כי», «הביעו באמצעות», «הוכיחו או הפריכו» ו«האם ייתכן», עם כל הנושאים של הפרק.

עבדו כמו בבחינה: כתבו כל נימוק, ועגלו רק בסוף. תשובה של סעיף אחד היא נתון לסעיף הבא — שמרו אותה מדויקת.

Exercises

Exercise 1

ABCM

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, AC=6AC = 6 ו-∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. MM אמצע BCBC. (א) מצאו את BCBC. (ב) מצאו את התיכון AMAM. (ג) מצאו את שטח המשולש ABMABM. (שתי ספרות אחרי הנקודה.)

BC≈BC \approx ____, AM=AM = ____, SABM≈S_{ABM} \approx ____

Show the answer and the solution

Answer: BC≈BC \approx 8.72, AM=AM = 7, SABM≈S_{ABM} \approx 12.99

Worked solution:

BC2=100+36−60=76\begin{aligned}BC^2 &= 100 + 36 - 60 \\ &= 76\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

cos⁡B=100+76−362⋅1076=776\begin{aligned}\cos B &= \frac{100 + 76 - 36}{2\cdot 10\sqrt{76}} \\ &= \frac{7}{\sqrt{76}}\end{aligned}
AM2=100+19−2⋅10⋅762⋅776=49\begin{aligned}AM^2 &= 100 + 19 - 2\cdot 10\cdot\tfrac{\sqrt{76}}{2}\cdot\tfrac{7}{\sqrt{76}} \\ &= 49\end{aligned}

משולש ABMABM, BM=762BM = \tfrac{\sqrt{76}}{2}

SABM=12SABC=12⋅153≈12.99\begin{aligned}S_{ABM} &= \tfrac{1}{2}S_{ABC} \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 15\sqrt{3} \approx 12.99\end{aligned}

התיכון מחלק את השטח לשניים: אותו גובה, בסיסים שווים

BC≈8.72BC \approx 8.72, AM=7AM = 7, SABM≈12.99S_{ABM} \approx 12.99. המלכודת בסעיף ג: לחשב מחדש משולש שלם במקום לראות שהתיכון חוצה את השטח.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABC

במשולש ABCABC מתקיים a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc. הוכיחו כי ∠A=120∘\angle A = 120^\circ.

  • a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc

∠A=120∘\angle A = 120^\circ

Show the answer and the solution
  1. a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha — משפט הקוסינוסים
  2. −2bccos⁡α=bc-2bc\cos\alpha = bc — השוואת שני הביטויים ל-a2a^2
  3. cos⁡α=−12\cos\alpha = -\frac{1}{2} — חילוק ב-−2bc≠0-2bc \ne 0
  4. ∠A=120∘\angle A = 120^\circ — הזווית היחידה בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ שהקוסינוס שלה −12-\frac{1}{2}

Worked solution:

b2+c2−2bccos⁡α=b2+c2+bcb^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha = b^2 + c^2 + bc
cos⁡α=−12\cos\alpha = -\tfrac{1}{2}
α=120∘\alpha = 120^\circ

המלכודת: לכתוב α=60∘\alpha = 60^\circ או «α=120∘\alpha = 120^\circ או 240∘240^\circ». בתוך משולש לקוסינוס יש זווית אחת בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCO

משולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) חסום במעגל שרדיוסו RR, וזוויות הבסיס שלו α\alpha. הביעו את שטח המשולש באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)
  2. 2R2sin⁡3α2R^2\sin^3\alpha
  3. R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)
  4. 4R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)4R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)
Show the answer and the solution

Answer: A 2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)

Worked solution:

AB=AC=2Rsin⁡α\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 2R\sin\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים: כל שוק מול זווית בסיס

∠A=180∘−2α\angle A = 180^\circ - 2\alpha
S=12(2Rsin⁡α)2sin⁡(180∘−2α)=2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}(2R\sin\alpha)^2\sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= 2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha)\end{aligned}

שתי השוקיים והזווית שביניהן

התשובה: 2R2sin⁡2α sin⁡(180∘−2α)2R^2\sin^2\alpha\,\sin(180^\circ - 2\alpha). המלכודת: 2R2sin⁡3α2R^2\sin^3\alpha — להציב את זווית הבסיס α\alpha כאילו היא בין שתי השוקיים.

Check the answer on elev

Exercise 4

BAHCC'

נתון AB=12AB = 12 ו-∠ABC=30∘\angle ABC = 30^\circ. לאילו אורכים של ACAC יש בדיוק שני משולשים ABCABC? כתבו את הקצוות של התחום.

____ <AC<< AC < ____

Show the answer and the solution

Answer: 6 <AC<< AC < 12

Worked solution:

h=12sin⁡30∘=6\begin{aligned}h &= 12\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

המרחק מ-AA לקרן

AC>6AC > 6

אחרת הקשת לא מגיעה, או נוגעת פעם אחת

AC<12AC < 12

ב-AC≥12AC \ge 12 החיתוך השני נופל מאחורי BB

התחום 6<AC<126 < AC < 12. המלכודת: לכלול את הקצוות — ב-AC=6AC = 6 יש משולש אחד ישר זווית, וב-AC=12AC = 12 החיתוך השני הוא BB עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 5

OAB

שני כבישים יוצאים מצומת בזווית של 110∘110^\circ. רכב אחד נוסע בכביש הראשון במהירות 6060 קמ״ש, ורכב שני בכביש השני במהירות 8080 קמ״ש. שניהם יצאו מהצומת יחד. מה המרחק ביניהם אחרי חצי שעה, בק״מ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)?

Show the answer and the solution

Answer: 57.63

Worked solution:

OA=30 OB=40\begin{aligned}OA &= 30 \\ \ OB &= 40\end{aligned}

דרך = מהירות כפול זמן

AB2=900+1600−2400cos⁡110∘≈3320.9AB^2 = 900 + 1600 - 2400\cos 110^\circ \approx 3320.9

משפט הקוסינוסים

AB≈57.63AB \approx 57.63

כ-57.6357.63 ק״מ. המלכודת: להציב 6060 ו-8080 — אלה מהירויות, לא מרחקים. בדיקת יחידות: ק״מ.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCODEF

במשולש ABCABC נתון ∠A=60∘\angle A = 60^\circ ו-∠B=80∘\angle B = 80^\circ, ורדיוס המעגל החסום 33. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 8.77

Worked solution:

AB=AF+FBAB = AF + FB

FF נקודת ההשקה על ABAB

AF=3tan⁡30∘=33\begin{aligned}AF &= \frac{3}{\tan 30^\circ} \\ &= 3\sqrt{3}\end{aligned}

במשולש AFOAFO

FB=3tan⁡40∘≈3.58FB = \frac{3}{\tan 40^\circ} \approx 3.58

במשולש BFOBFO

AB≈8.77AB \approx 8.77

AB≈8.77AB \approx 8.77. המלכודת: להשתמש ב-60∘60^\circ וב-80∘80^\circ השלמות — המרכז על חוצי הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCC'

הוכיחו או הפריכו: אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, והשטחים שווים, אז המשולשים חופפים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

S1=12⋅4⋅6sin⁡30∘=6\begin{aligned}S_1 &= \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

דוגמה נגדית: צלעות 44 ו-66, זווית 30∘30^\circ

S2=12⋅4⋅6sin⁡150∘=6\begin{aligned}S_2 &= \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 150^\circ \\ &= 6\end{aligned}

אותן צלעות, זווית 150∘150^\circ

BC≠BC′BC \ne BC'

הצלע השלישית שונה, ולכן אין חפיפה

הפרכה: sin⁡30∘=sin⁡150∘\sin 30^\circ = \sin 150^\circ, ולכן אותו שטח עם זווית חדה ועם זווית קהה. המלכודת: להסיק מהשטח את הזווית.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABDC

בדלתון ABCDABCD נתון AB=AD=5AB = AD = 5, CB=CD=8CB = CD = 8 ו-∠BAD=100∘\angle BAD = 100^\circ. מצאו את האלכסון BDBD ואת ∠BCD\angle BCD (שתי ספרות אחרי הנקודה).

BD≈BD \approx ____, ∠BCD≈\angle BCD \approx ____ מעלות

Show the answer and the solution

Answer: BD≈BD \approx 7.66, ∠BCD≈\angle BCD \approx 57.21 מעלות

Worked solution:

BD2=25+25−50cos⁡100∘≈58.68BD^2 = 25 + 25 - 50\cos 100^\circ \approx 58.68

משולש ABDABD

BD≈7.66BD \approx 7.66
cos⁡C=64+64−BD2128≈0.542\cos C = \frac{64 + 64 - BD^2}{128} \approx 0.542

משולש CBDCBD

∠C≈57.21∘\angle C \approx 57.21^\circ

BD≈7.66BD \approx 7.66, ∠C≈57.21∘\angle C \approx 57.21^\circ. המלכודת: לעגל את BDBD ל-7.77.7 לפני השלב הבא — בחישוב cos⁡C\cos C עובדים עם BD2BD^2 המלא.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABC

במשולש שתי צלעות 66 ו-88, והזווית ביניהן θ\theta משתנה. תלמיד חיפש את השטח הגדול ביותר. מצאו את השורה השגויה.

S(θ)=12⋅6⋅8sin⁡θ=24sin⁡θ\begin{aligned}S(\theta) &= \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\sin\theta \\ &= 24\sin\theta\end{aligned}
0∘<θ<180∘0^\circ < \theta < 180^\circ
S מקסימלי ב-θ=180∘S \text{ מקסימלי } \text{ב-} \theta = 180^\circ
Smax=24S_{max} = 24
Show the answer and the solution

Answer: S מקסימלי ב-θ=180∘S \text{ מקסימלי } \text{ב-} \theta = 180^\circ → S מקסימלי ב-θ=90∘S \text{ מקסימלי } \text{ב-} \theta = 90^\circ

Worked solution:

sin⁡180∘=0\sin 180^\circ = 0

ב-180∘180^\circ אין משולש בכלל

sin⁡θ≤1 sin⁡90∘=1\begin{aligned}\sin\theta \le 1 \\ \ \sin 90^\circ &= 1\end{aligned}

המקסימום של הסינוס

Smax=24S_{max} = 24

השורה האחרונה נכונה

הטעות: «זווית פתוחה יותר — שטח גדול יותר». השטח עולה עד 90∘90^\circ ויורד אחריו, כמו sin⁡θ\sin\theta.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABCODEF

במשולש ABCABC נתון AB=6AB = 6, CA=7CA = 7 ו-BC=8BC = 8. מצאו את רדיוס המעגל החוסם ואת רדיוס המעגל החסום (שתי ספרות אחרי הנקודה).

R≈R \approx ____, r≈r \approx ____

Show the answer and the solution

Answer: R≈R \approx 4.13, r≈r \approx 1.94

Worked solution:

cos⁡A=36+49−642⋅6⋅7=14\begin{aligned}\cos A &= \frac{36 + 49 - 64}{2\cdot 6\cdot 7} \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

הזווית מול BC=8BC = 8

sin⁡A=154\sin A = \tfrac{\sqrt{15}}{4}
R=82sin⁡A=1615≈4.13\begin{aligned}R &= \frac{8}{2\sin A} \\ &= \frac{16}{\sqrt{15}} \approx 4.13\end{aligned}

משפט הסינוסים

S=12⋅6⋅7⋅154≈20.33 p=10.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 7\cdot\tfrac{\sqrt{15}}{4} \approx 20.33 \\ \ p &= 10.5\end{aligned}
r=Sp≈1.94r = \tfrac{S}{p} \approx 1.94

R≈4.13R \approx 4.13, r≈1.94r \approx 1.94. המלכודת: לבלבל בין החוסם (2R=asin⁡α2R = \frac{a}{\sin\alpha}) לחסום (S=rpS = rp).

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade