The law of cosines, and which law to use

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מחוץ למשולש ישר זווית פיתגורס אינו עובד. אבל הוא לא נעלם — הוא מקבל תיקון. הזיזו את הזווית בשרטוט וראו מה קורה לצלע שמולה.

בשרטוט b=8b = 8 ו-c=6c = 6. מה אורך aa כש-α=90∘\alpha = 90^\circ? ומה הוא כש-α=60∘\alpha = 60^\circ?

Show the answer and the solution

ב-90∘90^\circ: a=64+36=10a = \sqrt{64+36} = 10, פיתגורס. ב-60∘60^\circ: a2=64+36−2⋅8⋅6⋅12=52a^2 = 64 + 36 - 2\cdot 8\cdot 6\cdot\frac{1}{2} = 52, ולכן a=52≈7.21a = \sqrt{52} \approx 7.21 — קצר מ-1010, כי הזווית נסגרה.

משפט הקוסינוסים

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

הצלע שמול הזווית, בריבוע, שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות שיוצרות את הזווית, פחות התיקון.

שני שימושים: צלע, או זווית

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

צלע: נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן (צ.ז.צ).

cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

זווית: נתונות שלוש הצלעות (צ.צ.צ). אותו משפט, מבודדים את cos⁡α\cos\alpha.

זווית משלוש צלעות

במשולש הצלעות 55, 77 ו-88. מצאו את הזווית שמול הצלע 77.

72=52+82−2⋅5⋅8cos⁡θ7^2 = 5^2 + 8^2 - 2\cdot 5\cdot 8\cos\theta

הצלע שמול הזווית — באגף השמאלי

cos⁡θ=25+64−4980=4080=12\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{25 + 64 - 49}{80} \\ &= \frac{40}{80} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
θ=60∘\theta = 60^\circ

ערך מדויק, בלי מחשבון

במשולש הצלעות 44, 55 ו-88. האם המשולש חד זווית, ישר זווית או קהה זווית? היעזרו רק בסימן של הקוסינוס.

Show the answer and the solution

בודקים את הזווית שמול הצלע הארוכה: cos⁡θ=16+25−6440=−2340<0\cos\theta = \frac{16+25-64}{40} = -\frac{23}{40} < 0. קוסינוס שלילי — הזווית קהה (θ≈125.1∘\theta \approx 125.1^\circ). ובקיצור: 42+52=41<64=824^2 + 5^2 = 41 < 64 = 8^2.

מדוע במשולש קהה זווית הצלע שמול הזווית הקהה יוצאת ארוכה במיוחד?

Show the answer and the solution

כי cos⁡α\cos\alpha שלילי בזווית קהה, והאיבר −2bccos⁡α-2bc\cos\alpha הופך לחיבור. הצלע יוצאת ארוכה מ-b2+c2\sqrt{b^2+c^2}.

איזה משפט מתי

משפט הקוסינוסים, משפט הסינוסים ונוסחת השטח עונים על שאלות שונות, ומילה אחת בשאלה מחליטה.

asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}

סינוסים — כשנתונה צלע והזווית שמולה.

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

קוסינוסים — כשנתונות שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש צלעות.

S=12bcsin⁡αS = \tfrac{1}{2}bc\sin\alpha

שטח — אותם נתונים כמו בקוסינוסים, נוסחה אחרת.

«שביניהן» ⇐ קוסינוסים. «שמולה» ⇐ סינוסים. ובמשולש עם שלוש צלעות ידועות: קודם זווית בקוסינוסים, ורק אחר כך שטח או רדיוס.

שלוש הטעויות של המשולש הכללי.

a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

פיתגורס תקף רק במשולש ישר זווית. במשולש כללי הוא נותן תשובה שגויה, בלי שום סימן אזהרה.

a2=(b2+c2−2bc)cos⁡αa^2 = (b^2 + c^2 - 2bc)\cos\alpha
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

הקוסינוס כופל רק את 2bc2bc. ב-α=90∘\alpha = 90^\circ הגרסה השגויה נותנת a=0a = 0.

cos⁡θ=−0.575⇒θ=−54.9∘\begin{aligned}\cos\theta &= -0.575 \Rightarrow \theta \\ &= -54.9^\circ\end{aligned}
θ≈125.1∘\theta \approx 125.1^\circ

זווית של משולש לא יכולה להיות שלילית. cos⁡−1\cos^{-1} של מספר שלילי נותן זווית קהה — אם המחשבון במצב מעלות.

Exercises

Exercise 1

ABC

במשולש ABCABC נתון AC=7AC = 7, AB=5AB = 5 ו-∠A=60∘\angle A = 60^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 6.24

Worked solution:

BC2=72+52−2⋅7⋅5cos⁡60∘BC^2 = 7^2 + 5^2 - 2\cdot 7\cdot 5\cos 60^\circ

שתי צלעות והזווית שביניהן

BC2=49+25−35=39\begin{aligned}BC^2 &= 49 + 25 - 35 \\ &= 39\end{aligned}
BC=39≈6.24BC = \sqrt{39} \approx 6.24

BC=39≈6.24BC = \sqrt{39} \approx 6.24. המלכודת: 49+25≈8.60\sqrt{49+25} \approx 8.60 — פיתגורס בלי התיקון.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABC

נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן. באיזה משפט משתמשים למציאת הצלע השלישית?

  1. פיתגורס
  2. נוסחת השטח
  3. משפט הסינוסים
  4. משפט הקוסינוסים
Show the answer and the solution

Answer: D משפט הקוסינוסים

Worked solution:

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2+c^2-2bc\cos\alpha

הזווית α\alpha נמצאת בין bb ל-cc — בדיוק מה שהנוסחה צריכה

asin⁡α\frac{a}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים דורש זוג צלע-זווית שמולה, ואין כזה

התשובה: «משפט הקוסינוסים». המילה «שביניהן» מכריעה. המלכודת: פיתגורס — הזווית לא נתונה כישרה.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABC

נתונה צלע והזווית שמולה, ועוד זווית. באיזה משפט משתמשים?

  1. אף אחד
  2. משפט הסינוסים
  3. משפט הקוסינוסים
  4. פיתגורס
Show the answer and the solution

Answer: B משפט הסינוסים

Worked solution:

asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}

הזוג a,αa,\alpha ידוע, ועם β\beta מוצאים את bb

γ=180∘−α−β\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

ומשם גם cc

התשובה: «משפט הסינוסים». «שמולה» ⇐ סינוסים. המלכודת: «אף אחד» — מספיקים שלושה נתונים שאחד מהם צלע.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABC

במשולש ABCABC נתון AC=10AC = 10, AB=6AB = 6 ו-∠A=120∘\angle A = 120^\circ. מצאו את BCBC.

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

BC2=102+62−2⋅10⋅6cos⁡120∘BC^2 = 10^2 + 6^2 - 2\cdot 10\cdot 6\cos 120^\circ
cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}

זווית קהה — קוסינוס שלילי

BC2=100+36+60=196\begin{aligned}BC^2 &= 100 + 36 + 60 \\ &= 196\end{aligned}

המינוס כפול מינוס נותן חיבור

BC=14BC = 14

BC=14BC = 14. המלכודת: 100+36−60=76100 + 36 - 60 = 76 — לשכוח שהקוסינוס שלילי. בדיקה: מול זווית קהה הצלע ארוכה מ-136≈11.7\sqrt{136} \approx 11.7.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABC

במשולש הצלעות 77, 88 ו-99. מצאו את הזווית שמול הצלע 99 במעלות (עגלו למספר שלם).

Show the answer and the solution

Answer: 73

Worked solution:

cos⁡γ=72+82−922⋅7⋅8\cos\gamma = \frac{7^2+8^2-9^2}{2 \cdot 7 \cdot 8}

משפט הקוסינוסים בכיוון ההפוך: הצלע שמול הזווית היא זו שמחסירים

=32112=27≈0.286= \frac{32}{112} = \frac{2}{7} \approx 0.286
γ≈73∘\gamma \approx 73^\circ

שלוש צלעות תמיד מספיקות למצוא כל זווית. המלכודת: להחסיר את 727^2 במקום 929^2 — ואז מקבלים את הזווית שמול 77.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABC

במשולש הזווית α\alpha קהה. מה נכון על cos⁡α\cos\alpha?

  1. תלוי בצלעות
  2. הוא חיובי
  3. הוא אפס
  4. הוא שלילי
Show the answer and the solution

Answer: D הוא שלילי

Worked solution:

90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ

רביע שני במעגל היחידה: שיעור xx שלילי

cos⁡α<0⇒−2bccos⁡α>0\cos\alpha < 0 \Rightarrow -2bc\cos\alpha > 0

בנוסחה התיקון מתחבר

התשובה: «הוא שלילי». לכן הצלע שמול הזווית הקהה ארוכה מ-b2+c2\sqrt{b^2+c^2}. המלכודת: «תלוי בצלעות» — הסימן תלוי רק בזווית.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABC

במשולש b=AC=5b = AC = 5, c=AB=12c = AB = 12, והזווית ביניהן α=90∘\alpha = 90^\circ. מצאו את a=BCa = BC בעזרת משפט הקוסינוסים.

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

a2=25+144−2⋅5⋅12cos⁡90∘a^2 = 25 + 144 - 2\cdot 5\cdot 12\cos 90^\circ
cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0

האיבר האחרון נעלם

a2=169⇒a=13\begin{aligned}a^2 &= 169 \Rightarrow a \\ &= 13\end{aligned}

זה בדיוק פיתגורס — המקרה הפרטי של משפט הקוסינוסים. המלכודת: לחשוב שיש כאן שני משפטים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABC

במשולש הצלעות 33, 55 ו-77. מצאו את הזווית הגדולה ביותר במשולש, במעלות.

Show the answer and the solution

Answer: 120

Worked solution:

72=32+52−2⋅3⋅5cos⁡θ7^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos\theta

הזווית הגדולה ביותר נמצאת מול הצלע הארוכה ביותר, 77

cos⁡θ=9+25−4930=−12\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{9 + 25 - 49}{30} \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}
θ=120∘\theta = 120^\circ

קוסינוס שלילי — זווית קהה

θ=120∘\theta = 120^\circ. המלכודת: לבחור זווית שמול צלע אחרת, או לכתוב 60∘60^\circ ולהתעלם מהסימן.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל סוג נתונים את הכלי שפותח את הפתרון.

  • שתי צלעות והזווית שביניהן — מה הצלע השלישית?
  • שלוש צלעות — מה הזווית?
  • צלע, הזווית שמולה וזווית נוספת
  • שתי צלעות והזווית שביניהן — מה השטח?
  • cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
  • S=12bcsin⁡αS = \frac{1}{2}bc\sin\alpha
  • משפט הסינוסים
  • משפט הקוסינוסים
Show the answer and the solution

Answer: שתי צלעות והזווית שביניהן — מה הצלע השלישית? — משפט הקוסינוסים · שלוש צלעות — מה הזווית? — cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} · צלע, הזווית שמולה וזווית נוספת — משפט הסינוסים · שתי צלעות והזווית שביניהן — מה השטח? — S=12bcsin⁡αS = \frac{1}{2}bc\sin\alpha

Worked solution:

צ.ז.צ\text{צ.ז.צ}

צלע שלישית — קוסינוסים; שטח — סינוס בנוסחת השטח

צ.צ.צ\text{צ.צ.צ}

קוסינוסים בכיוון ההפוך

ז.ז.צ\text{ז.ז.צ}

זוג צלע-זווית שמולה — סינוסים

אותם נתונים (צ.ז.צ) משרתים שתי שאלות שונות: הצלע השלישית בקוסינוסים, השטח בסינוס. המלכודת: לחשוב שכל שאלה על צ.ז.צ היא «קוסינוסים».

Check the answer on elev

Exercise 10

ABC

נכון או לא נכון: משולש שצלעותיו 55, 66 ו-99 הוא משולש קהה זווית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

cos⁡θ=25+36−8160=−13\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{25 + 36 - 81}{60} \\ &= -\tfrac{1}{3}\end{aligned}

הזווית שמול הצלע הארוכה

cos⁡θ<0⇒θ>90∘\cos\theta < 0 \Rightarrow \theta > 90^\circ

θ≈109.5∘\theta \approx 109.5^\circ

נכון. מספיק לבדוק את הזווית שמול הצלע הארוכה: 52+62=61<815^2 + 6^2 = 61 < 81. המלכודת: לבדוק זווית שמול צלע קצרה, שתמיד חדה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade