The unit circle

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

במשולש ישר זווית הסינוס והקוסינוס הוגדרו רק לזוויות חדות. אבל גלגל שמסתובב, מחוג של שעון או גובה של גל עוברים את 90∘90^\circ בלי לעצור. כדי לדבר עליהם צריך הגדרה שעובדת לכל זווית.

ההגדרה על מעגל היחידה

מעגל היחידה הוא מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 11. מסובבים קרן מהכיוון החיובי של ציר xx נגד כיוון השעון בזווית α\alpha, והיא פוגשת את המעגל בנקודה PP.

P=(cos⁡α, sin⁡α)P = (\cos\alpha,\ \sin\alpha)

הקוסינוס הוא שיעור ה-xx של הנקודה, והסינוס הוא שיעור ה-yy.

לזווית חדה זו בדיוק ההגדרה המוכרת: מורידים אנך מ-PP לציר xx ומקבלים משולש ישר זווית שהיתר שלו 11. הניצב שמול α\alpha מחולק ביתר — ומכיוון שהיתר 11, הניצב עצמו הוא sin⁡α\sin\alpha, והוא הגובה של PP.

לאיזו נקודה על מעגל היחידה מגיעים בזווית 90∘90^\circ? מה אם כן cos⁡90∘\cos 90^\circ ו-sin⁡90∘\sin 90^\circ?

Show the answer and the solution

הקרן מצביעה ישר למעלה, לנקודה (0, 1)(0,\,1). לכן cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0 ו-sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1 — ערכים שהמשולש לא יכול היה לתת.

הסימנים בארבעת הרביעים

I: 0∘<α<90∘\text{I}:\ 0^\circ<\alpha<90^\circ

sin⁡>0\sin>0, cos⁡>0\cos>0 — הנקודה מימין ולמעלה.

II: 90∘<α<180∘\text{II}:\ 90^\circ<\alpha<180^\circ

sin⁡>0\sin>0, cos⁡<0\cos<0 — משמאל ולמעלה.

III: 180∘<α<270∘\text{III}:\ 180^\circ<\alpha<270^\circ

sin⁡<0\sin<0, cos⁡<0\cos<0 — משמאל ולמטה.

IV: 270∘<α<360∘\text{IV}:\ 270^\circ<\alpha<360^\circ

sin⁡<0\sin<0, cos⁡>0\cos>0 — מימין ולמטה.

מה הסימן של cos⁡200∘\cos 200^\circ? ושל sin⁡200∘\sin 200^\circ?

Show the answer and the solution

200∘200^\circ ברביע השלישי: הנקודה משמאל לציר yy ומתחת לציר xx. שניהם שליליים.

שלוש הזוויות המיוחדות

sin⁡30∘=12cos⁡30∘=32\begin{aligned}\sin 30^\circ &= \tfrac{1}{2} \\ \quad \cos 30^\circ &= \tfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

מחצית משולש שווה צלעות.

sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\begin{aligned}\sin 45^\circ &= \cos 45^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt2}{2}\end{aligned}

משולש ישר זווית שווה שוקיים.

sin⁡60∘=32cos⁡60∘=12\begin{aligned}\sin 60^\circ &= \tfrac{\sqrt3}{2} \\ \quad \cos 60^\circ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

הסינוס והקוסינוס של 30∘30^\circ מתחלפים.

זווית ברביע אחר נשענת על אחת מהן. 150∘150^\circ היא 180∘−30∘180^\circ - 30^\circ: הנקודה שלה היא שיקוף של הנקודה של 30∘30^\circ בציר yy — אותו גובה, xx הפוך. לכן sin⁡150∘=12\sin 150^\circ = \tfrac12 ו-cos⁡150∘=−32\cos 150^\circ = -\tfrac{\sqrt3}{2}.

חישוב cos⁡240∘\cos 240^\circ

מוצאים רביע, זווית חדה שעליה נשענים, וסימן.

240∘=180∘+60∘240^\circ = 180^\circ + 60^\circ

רביע שלישי, נשען על 60∘60^\circ

∣cos⁡240∘∣=cos⁡60∘=12\begin{aligned}|\cos 240^\circ| &= \cos 60^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}

הגודל נקבע לפי הזווית החדה

cos⁡240∘=−12\cos 240^\circ = -\tfrac12

ברביע השלישי הקוסינוס שלילי

זווית גדולה מ-360∘360^\circ או שלילית היא פשוט עוד סיבוב, או סיבוב עם כיוון השעון: sin⁡390∘=sin⁡30∘\sin 390^\circ = \sin 30^\circ, והנקודה של −30∘-30^\circ היא הנקודה של 330∘330^\circ.

פיתגורס במעגל

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

המרחק של PP מהראשית הוא 11, ושיעוריה הם cos⁡α\cos\alpha ו-sin⁡α\sin\alpha.

נתון cos⁡α=0.6\cos\alpha = 0.6. מה אפשר להגיד על sin⁡α\sin\alpha בלי לדעת באיזה רביע α\alpha?

Show the answer and the solution

sin⁡2α=1−0.36=0.64\sin^2\alpha = 1 - 0.36 = 0.64, ולכן sin⁡α=0.8\sin\alpha = 0.8 או sin⁡α=−0.8\sin\alpha = -0.8. רק הרביע מכריע: ברביע I חיובי, ברביע IV שלילי.

הטעויות שחוזרות בפרק.

cos⁡120∘=cos⁡60∘=12\begin{aligned}\cos 120^\circ &= \cos 60^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}
cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\tfrac12

ברביע השני הקוסינוס שלילי. הגודל נלקח מ-60∘60^\circ, הסימן מהרביע.

sin⁡210∘=12\sin 210^\circ = \tfrac12
sin⁡210∘=−12\sin 210^\circ = -\tfrac12

210∘210^\circ מתחת לציר xx — הגובה שלילי.

sin⁡2α=sin⁡(α2)\sin^2\alpha = \sin(\alpha^2)
sin⁡2α=(sin⁡α)2\sin^2\alpha = (\sin\alpha)^2

הריבוע חל על הערך של הסינוס, לא על הזווית.

Exercises

Exercise 1

מהו cos⁡120°\cos 120°?

Show the answer and the solution

Answer: -0.5

Worked solution:

90∘<120∘<180∘90^\circ < 120^\circ < 180^\circ

ברביע השני

cos⁡120°=−cos⁡60°=−0.5\begin{aligned}\cos 120° &= -\cos 60° \\ &= -0.5\end{aligned}

שם הקוסינוס שלילי

ברביע השני הקוסינוס שלילי והסינוס חיובי. זה מה שהופך משולש לקהה.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו sin⁡225∘\sin 225^\circ?

  1. −32-\frac{\sqrt3}{2}
  2. 22\frac{\sqrt2}{2}
  3. −22-\frac{\sqrt2}{2}
  4. −12-\frac12
Show the answer and the solution

Answer: C −22-\frac{\sqrt2}{2}

Worked solution:

225∘=180∘+45∘225^\circ = 180^\circ + 45^\circ

רביע שלישי, נשען על 45∘45^\circ

∣sin⁡225∘∣=sin⁡45∘=22\begin{aligned}|\sin 225^\circ| &= \sin 45^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt2}{2}\end{aligned}

הגודל

sin⁡225∘=−22\sin 225^\circ = -\tfrac{\sqrt2}{2}

ברביע השלישי הסינוס שלילי

התשובה: −22-\frac{\sqrt2}{2}. מי שבחר 22\frac{\sqrt2}{2} שכח את הסימן של הרביע השלישי.

Check the answer on elev

Exercise 3

מיינו את הזוויות לפי הסימן של הסינוס שלהן.

  • sin⁡>0\sin>0
  • sin⁡<0\sin<0
  • −20∘-20^\circ
  • 100∘100^\circ
  • 170∘170^\circ
  • 200∘200^\circ
  • 290∘290^\circ
  • 45∘45^\circ
Show the answer and the solution

Answer: 100∘100^\circ — sin⁡>0\sin>0 · 170∘170^\circ — sin⁡>0\sin>0 · 45∘45^\circ — sin⁡>0\sin>0 · 200∘200^\circ — sin⁡<0\sin<0 · 290∘290^\circ — sin⁡<0\sin<0 · −20∘-20^\circ — sin⁡<0\sin<0

Worked solution:

0∘<α<180∘⇒sin⁡α>00^\circ<\alpha<180^\circ \Rightarrow \sin\alpha>0

חצי המעגל העליון

180∘<α<360∘⇒sin⁡α<0180^\circ<\alpha<360^\circ \Rightarrow \sin\alpha<0

חצי המעגל התחתון

−20∘→340∘-20^\circ \to 340^\circ

זווית שלילית: מסובבים עם כיוון השעון

המלכודת: 100∘100^\circ ו-170∘170^\circ. הן גדולות מ-90∘90^\circ, אבל עדיין בחצי העליון — הסינוס חיובי עד 180∘180^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 4

מעגל היחידה — הנקודה P
P-1-0.500.51-1-0.50.51xy

הקרן בזווית 150∘150^\circ פוגשת את מעגל היחידה בנקודה PP. מהם שיעורי PP?

  1. (32, 12)\left(\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\right)
  2. (−12, 32)\left(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)
  3. (−32, 12)\left(-\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\right)
  4. (12, −32)\left(\frac12,\ -\frac{\sqrt3}{2}\right)
Show the answer and the solution

Answer: C (−32, 12)\left(-\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\right)

Worked solution:

P=(cos⁡150∘, sin⁡150∘)P = (\cos 150^\circ,\ \sin 150^\circ)

ההגדרה

150∘=180∘−30∘150^\circ = 180^\circ - 30^\circ

שיקוף של 30∘30^\circ בציר yy

P=(−32, 12)P = \left(-\tfrac{\sqrt3}{2},\ \tfrac12\right)

ה-xx מתהפך, הגובה נשאר

התשובה: (−32, 12)\left(-\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\right). הזוג (−12, 32)\left(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}{2}\right) שייך ל-120∘120^\circ — נשען על 60∘60^\circ ולא על 30∘30^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 5

התאימו לכל ביטוי את ערכו.

  • sin⁡30∘\sin 30^\circ
  • cos⁡180∘\cos 180^\circ
  • sin⁡360∘\sin 360^\circ
  • cos⁡45∘\cos 45^\circ
  • sin⁡240∘\sin 240^\circ
  • −32-\frac{\sqrt3}{2}
  • −1-1
  • 22\frac{\sqrt2}{2}
  • 12\frac12
  • 00
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡30∘\sin 30^\circ — 12\frac12 · cos⁡180∘\cos 180^\circ — −1-1 · sin⁡360∘\sin 360^\circ — 00 · cos⁡45∘\cos 45^\circ — 22\frac{\sqrt2}{2} · sin⁡240∘\sin 240^\circ — −32-\frac{\sqrt3}{2}

Worked solution:

(cos⁡180∘,sin⁡180∘)=(−1, 0)(\cos 180^\circ, \sin 180^\circ) = (-1,\,0)

חצי סיבוב

(cos⁡360∘,sin⁡360∘)=(1, 0)(\cos 360^\circ, \sin 360^\circ) = (1,\,0)

סיבוב שלם

240∘=180∘+60∘240^\circ = 180^\circ + 60^\circ

רביע שלישי, נשען על 60∘60^\circ

המלכודת: sin⁡240∘\sin 240^\circ. הזווית נשענת על 60∘60^\circ, ולכן הגודל הוא 32\frac{\sqrt3}{2} ולא 12\frac12.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון ש-sin⁡x=0.6\sin x = 0.6 ו-xx זווית חדה. מהו cos⁡x\cos x?

Show the answer and the solution

Answer: 0.8

Worked solution:

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

הזהות היסודית

cos⁡2x=1−0.36=0.64\begin{aligned}\cos^2 x &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}
cos⁡x=0.8\cos x = 0.8

חיובי, כי הזווית חדה

התנאי «חדה» הוא שמכריע את הסימן — בלעדיו יש שתי תשובות.

Check the answer on elev

Exercise 7

אם sin⁡α=0.6\sin \alpha = 0.6, מהו cos⁡2α\cos^2 \alpha?

Show the answer and the solution

Answer: 0.64

Worked solution:

sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1

הזהות היסודית

0.36+cos⁡2=10.36 + \cos^2 = 1

מציבים

cos⁡2=0.64\cos^2 = 0.64

מעבירים

זהו פיתגורס במעגל היחידה.

Check the answer on elev

Exercise 8

מעגל היחידה — הנקודה P ברביע השלישי
P-1-0.500.51-1.3-0.8-0.30.20.71.2xy

הנקודה PP על מעגל היחידה נמצאת ברביע השלישי, ושיעור ה-xx שלה הוא −0.6-0.6. PP מתאימה לזווית α\alpha. מהו sin⁡α\sin\alpha?

Show the answer and the solution

Answer: -0.8

Worked solution:

cos⁡α=−0.6\cos\alpha = -0.6

שיעור ה-xx הוא הקוסינוס

sin⁡2α=1−0.36=0.64\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}

פיתגורס במעגל

sin⁡α=−0.8\sin\alpha = -0.8

ברביע השלישי הגובה שלילי

המלכודת: לענות 0.80.8. השורש נותן שני סימנים, והרביע השלישי בוחר את השלילי.

Check the answer on elev

Exercise 9

האם ייתכן שקיימת זווית α\alpha שעבורה sin⁡α=0.8\sin\alpha = 0.8 ו-cos⁡α=0.5\cos\alpha = 0.5?

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

0.82+0.52=0.64+0.25=0.89\begin{aligned}0.8^2 + 0.5^2 &= 0.64 + 0.25 \\ &= 0.89\end{aligned}

בודקים את פיתגורס במעגל

0.89≠10.89 \neq 1

הנקודה (0.5, 0.8)(0.5,\,0.8) אינה על מעגל היחידה

לא ייתכן. כל אחד מהערכים לבד אפשרי, אבל יחד הם חייבים לקיים sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.

Check the answer on elev

Exercise 10

הוכיחו את הזהות היסודית sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, בעזרת מעגל היחידה.

  • נקודה PP על מעגל היחידה, שרדיוסו 11
  • cos⁡x\cos x הוא שיעור ה-xx של PP, ו-sin⁡x\sin x הוא שיעור ה-yy

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Show the answer and the solution
  1. P=(cos⁡x, sin⁡x)P = (\cos x,\ \sin x) — הגדרת הסינוס והקוסינוס על מעגל היחידה
  2. המרחק מהראשית אל PP שווה ל-11 — PP נמצאת על המעגל שרדיוסו 11
  3. (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1\sqrt{(\cos x)^2 + (\sin x)^2} = 1 — נוסחת המרחק בין (0,0)(0,0) ל-PP
  4. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 — העלאת שני האגפים בריבוע
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade