Identities and symmetries

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הנקודה PP של הזווית α\alpha יושבת על מעגל סימטרי לגמרי. משקפים אותה בציר xx, בציר yy או באלכסון y=xy=x — ומקבלים נקודה של זווית אחרת, עם אותם מספרים בדיוק, אולי עם סימן הפוך. כל הזהויות של הפרק הן שיקופים כאלה.

הנקודה P בזווית α, והשיקופים שלה Q ו-R
PQR-1-0.500.51-1-0.50.51xy

בציור QQ היא השיקוף של PP בציר xx. לאיזו זווית QQ מתאימה, ומה אפשר להסיק על sin⁡(−α)\sin(-\alpha)?

Show the answer and the solution

QQ מתאימה לזווית −α-\alpha (סיבוב באותו גודל עם כיוון השעון). השיקוף בציר xx שומר על ה-xx והופך את הגובה, ולכן cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha ו-sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha.

הסימטריות

sin⁡(−α)=−sin⁡αcos⁡(−α)=cos⁡α\begin{aligned}\sin(-\alpha) &= -\sin\alpha \\ \quad \cos(-\alpha) &= \cos\alpha\end{aligned}

שיקוף בציר xx.

sin⁡(180∘−α)=sin⁡αcos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\begin{aligned}\sin(180^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ \quad \cos(180^\circ - \alpha) &= -\cos\alpha\end{aligned}

שיקוף בציר yy — הנקודה RR בציור.

sin⁡(α+360∘)=sin⁡αcos⁡(α+360∘)=cos⁡α\begin{aligned}\sin(\alpha + 360^\circ) &= \sin\alpha \\ \quad \cos(\alpha + 360^\circ) &= \cos\alpha\end{aligned}

סיבוב שלם — מחזוריות.

הזווית המשלימה: cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

במשולש ישר זווית שתי הזוויות החדות משלימות ל-90∘90^\circ, והניצב שמול האחת הוא הניצב שליד השנייה. על המעגל זה שיקוף באלכסון y=xy=x: השיקוף מחליף בין xx ל-yy.

cos⁡(90∘−α)=sin⁡αsin⁡(90∘−α)=cos⁡α\begin{aligned}\cos(90^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ \qquad \sin(90^\circ - \alpha) &= \cos\alpha\end{aligned}

השלימו: cos⁡70∘=sin⁡ ?\cos 70^\circ = \sin\ ?

Show the answer and the solution

cos⁡70∘=sin⁡(90∘−70∘)=sin⁡20∘\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ. בודקים במחשבון: שניהם בערך 0.3420.342.

הטנגנס

tan⁡α=sin⁡αcos⁡αcos⁡α≠0\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ \qquad \cos\alpha \neq 0\end{aligned}

הטנגנס הוא השיפוע של הקרן OPOP. ב-90∘90^\circ וב-270∘270^\circ הקרן אנכית — ואין לה שיפוע.

מסימן המונה והמכנה: הטנגנס חיובי ברביעים I ו-III ושלילי ב-II וב-IV.

ערכים מדויקים מתוך קוסינוס

נתון cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13} ו-α\alpha ברביע השלישי. מצאו את sin⁡α\sin\alpha ואת tan⁡α\tan\alpha.

sin⁡2α=1−25169=144169\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - \tfrac{25}{169} \\ &= \tfrac{144}{169}\end{aligned}

הזהות היסודית

sin⁡α=−1213\sin\alpha = -\tfrac{12}{13}

ברביע השלישי הסינוס שלילי

tan⁡α=−12/13−5/13=125\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-12/13}{-5/13} \\ &= \tfrac{12}{5}\end{aligned}

מינוס חלקי מינוס — הטנגנס חיובי ברביע השלישי

שלוש החלפות שעולות נקודות.

sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha) = \sin\alpha
sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha

הקוסינוס זוגי, הסינוס אי-זוגי. השיקוף בציר xx הופך את הגובה.

tan⁡α=cos⁡αsin⁡α\tan\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

שיפוע הוא yx\frac{y}{x}, והגובה הוא הסינוס.

sin⁡2α=0.64⇒sin⁡α=0.8\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 0.64 \Rightarrow \sin\alpha \\ &= 0.8\end{aligned}
sin⁡α=±0.8\sin\alpha = \pm 0.8

הזהות לא יודעת באיזה רביע אתם — הנתון על הרביע כן.

זהות נכונה לכל זווית, ומוכיחים אותה. משוואה נכונה רק לזוויות מסוימות, ופותרים אותה. «הוכיחו כי» מבקש זהות — אסור להציב זווית אחת ולהכריז שהוכחתם.

Exercises

Exercise 1

נתון cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13} ו-180∘<α<270∘180^\circ < \alpha < 270^\circ. מהו tan⁡α\tan\alpha? (תשובה עשרונית)

Show the answer and the solution

Answer: 2.4

Worked solution:

sin⁡2α=1−25169=144169\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - \tfrac{25}{169} \\ &= \tfrac{144}{169}\end{aligned}

הזהות היסודית

sin⁡α=−1213\sin\alpha = -\tfrac{12}{13}

רביע שלישי

tan⁡α=−12/13−5/13=125=2.4\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-12/13}{-5/13} \\ &= \tfrac{12}{5} \\ &= 2.4\end{aligned}

שני שליליים

המלכודת: −2.4-2.4. ברביע השלישי גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן הטנגנס חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 2

לאיזה ביטוי שווה cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha) לכל זווית α\alpha?

  1. −sin⁡α-\sin\alpha
  2. −cos⁡α-\cos\alpha
  3. sin⁡α\sin\alpha
  4. cos⁡α\cos\alpha
Show the answer and the solution

Answer: B −cos⁡α-\cos\alpha

Worked solution:

180∘−α180^\circ - \alpha

שיקוף של PP בציר yy

(x, y)→(−x, y)(x,\,y) \to (-x,\,y)

ה-xx מתהפך והגובה נשאר

cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha

הקוסינוס הוא ה-xx

התשובה: −cos⁡α-\cos\alpha. «cos⁡α\cos\alpha» מבלבל עם cos⁡(−α)\cos(-\alpha); «sin⁡α\sin\alpha» מבלבל עם cos⁡(90∘−α)\cos(90^\circ - \alpha).

Check the answer on elev

Exercise 3

הביעו באמצעות sin⁡α\sin\alpha את הביטוי cos⁡2α−1\cos^2\alpha - 1.

  1. sin⁡2α\sin^2\alpha
  2. −sin⁡2α-\sin^2\alpha
  3. 1−sin⁡2α1 - \sin^2\alpha
  4. −sin⁡α-\sin\alpha
Show the answer and the solution

Answer: B −sin⁡2α-\sin^2\alpha

Worked solution:

cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha

מהזהות היסודית

cos⁡2α−1=1−sin⁡2α−1\cos^2\alpha - 1 = 1 - \sin^2\alpha - 1

מציבים

=−sin⁡2α= -\sin^2\alpha

מצמצמים

התשובה: −sin⁡2α-\sin^2\alpha. «1−sin⁡2α1 - \sin^2\alpha» הוא cos⁡2α\cos^2\alpha עצמו — שכחו להחסיר את ה-11.

Check the answer on elev

Exercise 4

האם ייתכן ש-tan⁡α=3\tan\alpha = 3, וגם sin⁡α<0\sin\alpha < 0 וגם cos⁡α>0\cos\alpha > 0?

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

sin⁡α<0, cos⁡α>0\sin\alpha < 0,\ \cos\alpha > 0

רביע רביעי

tan⁡α=−+<0\tan\alpha = \frac{-}{+} < 0

ברביע הרביעי הטנגנס שלילי

3>03 > 0

סתירה

לא ייתכן. טנגנס חיובי דורש סינוס וקוסינוס באותו סימן — רביע I או III.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון tan⁡α=2\tan\alpha = 2 ו-α\alpha זווית חדה. מהו cos⁡2α\cos^2\alpha? (תשובה עשרונית)

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

sin⁡α=2cos⁡α\sin\alpha = 2\cos\alpha

מ-tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=2\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2

4cos⁡2α+cos⁡2α=14\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

מציבים בזהות היסודית

cos⁡2α=15=0.2\begin{aligned}\cos^2\alpha &= \tfrac15 \\ &= 0.2\end{aligned}

המלכודת: להציב sin⁡α=2\sin\alpha = 2. הנתון הוא על היחס, לא על הסינוס — ולכן מבטאים את הסינוס באמצעות הקוסינוס.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון cos⁡α=0.28\cos\alpha = 0.28 ו-270∘<α<360∘270^\circ < \alpha < 360^\circ. בחישוב של sin⁡α\sin\alpha שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha
sin⁡2α=1−0.0784=0.9216\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - 0.0784 \\ &= 0.9216\end{aligned}
sin⁡α=0.96\sin\alpha = 0.96
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡α=0.96\sin\alpha = 0.96 → sin⁡α=−0.96\sin\alpha = -0.96

Worked solution:

sin⁡2α=0.9216\sin^2\alpha = 0.9216

עד כאן נכון

sin⁡α=±0.96\sin\alpha = \pm 0.96

לשורש שני סימנים

270∘<α<360∘⇒sin⁡α<0270^\circ<\alpha<360^\circ \Rightarrow \sin\alpha<0

ברביע הרביעי הגובה שלילי

המלכודת: לקחת את השורש החיובי מתוך הרגל. הרביע הרביעי נמצא מתחת לציר xx.

Check the answer on elev

Exercise 7

התאימו לכל ביטוי את הביטוי השווה לו, לכל α\alpha שבו הם מוגדרים.

  • sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha)
  • cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha)
  • sin⁡(−α)\sin(-\alpha)
  • cos⁡(−α)\cos(-\alpha)
  • tan⁡(α+180∘)\tan(\alpha + 180^\circ)
  • −cos⁡α-\cos\alpha
  • −sin⁡α-\sin\alpha
  • cos⁡α\cos\alpha
  • sin⁡α\sin\alpha
  • tan⁡α\tan\alpha
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha) — sin⁡α\sin\alpha · cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha) — −cos⁡α-\cos\alpha · sin⁡(−α)\sin(-\alpha) — −sin⁡α-\sin\alpha · cos⁡(−α)\cos(-\alpha) — cos⁡α\cos\alpha · tan⁡(α+180∘)\tan(\alpha + 180^\circ) — tan⁡α\tan\alpha

Worked solution:

180∘−α180^\circ - \alpha

שיקוף בציר yy: הגובה נשאר, ה-xx מתהפך

−α-\alpha

שיקוף בציר xx: ה-xx נשאר, הגובה מתהפך

α+180∘\alpha + 180^\circ

הנקודה הנגדית: שני הסימנים מתהפכים, והמנה לא משתנה

המלכודת: להחליף בין sin⁡(−α)\sin(-\alpha) ל-sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha). במינוס הגובה מתהפך; ב-180∘180^\circ פחות הוא נשאר.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו כי לכל זווית α\alpha מתקיים (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2.

  • α\alpha זווית כלשהי
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

(sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2

Show the answer and the solution
  1. (sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha — נוסחת הכפל המקוצר לסכום
  2. (sin⁡α−cos⁡α)2=sin⁡2α−2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha — נוסחת הכפל המקוצר להפרש
  3. (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2sin⁡2α+2cos⁡2α(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha — מחברים — האיברים המעורבים מתבטלים
  4. 2sin⁡2α+2cos⁡2α=2(sin⁡2α+cos⁡2α)2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = 2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) — הוצאת גורם משותף
  5. (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2 — הזהות היסודית

Worked solution:

2(sin⁡2α+cos⁡2α)=2⋅1=2\begin{aligned}2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) &= 2 \cdot 1 \\ &= 2\end{aligned}

פותחים, מבטלים, ומציבים את הזהות

המלכודת: להציב α=0∘\alpha = 0^\circ, לקבל 22 ולהכריז שהוכחתם. דוגמה אחת לא מוכיחה זהות — צריך לעבוד עם α\alpha כללית.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון sin⁡20∘≈0.342\sin 20^\circ \approx 0.342. חשבו בלי מחשבון את cos⁡70∘+sin⁡160∘+sin⁡(−20∘)\cos 70^\circ + \sin 160^\circ + \sin(-20^\circ). (שלוש ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.342

Worked solution:

cos⁡70∘=sin⁡20∘\cos 70^\circ = \sin 20^\circ

הזווית המשלימה

sin⁡160∘=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡20∘\begin{aligned}\sin 160^\circ &= \sin(180^\circ - 20^\circ) \\ &= \sin 20^\circ\end{aligned}

שיקוף בציר yy

sin⁡(−20∘)=−sin⁡20∘\sin(-20^\circ) = -\sin 20^\circ

שיקוף בציר xx

sin⁡20∘+sin⁡20∘−sin⁡20∘=sin⁡20∘≈0.342\sin 20^\circ + \sin 20^\circ - \sin 20^\circ = \sin 20^\circ \approx 0.342

המלכודת: sin⁡(−20∘)\sin(-20^\circ) הוא מינוס sin⁡20∘\sin 20^\circ. מי שהתעלם מהמינוס קיבל 1.0261.026.

Check the answer on elev

Exercise 10

פשטו את tan⁡α⋅cos⁡α\tan\alpha \cdot \cos\alpha (עבור cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0).

  1. sin⁡α\sin\alpha
  2. sin⁡2α\sin^2\alpha
  3. 11
  4. cos⁡2αsin⁡α\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}
Show the answer and the solution

Answer: A sin⁡α\sin\alpha

Worked solution:

tan⁡α⋅cos⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡α\tan\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha

מציבים את הגדרת הטנגנס

=sin⁡α= \sin\alpha

מצמצמים את cos⁡α\cos\alpha

התשובה: sin⁡α\sin\alpha. «cos⁡2αsin⁡α\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}» מתקבל ממי שהפך את הטנגנס ל-cos⁡sin⁡\frac{\cos}{\sin}.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade