Trigonometric equations

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

המחשבון נותן לכל משוואה זווית אחת. המעגל מראה שבכל סיבוב יש בדרך כלל שתיים, ושהסיבובים לא נגמרים. זו לא טעות חישוב — זו השאלה מה בדיוק מבקשים למצוא.

מתי יש פתרון בכלל

הסינוס והקוסינוס הם שיעורים של נקודה על מעגל שרדיוסו 11, ולכן הם תמיד בין −1-1 ל-11. הטנגנס, לעומתם, מקבל כל ערך.

sin⁡x=a cos⁡x=a\begin{aligned}\sin x &= a \\ \ \cos x &= a\end{aligned}

יש פתרון רק כאשר −1≤a≤1-1 \le a \le 1.

tan⁡x=a\tan x = a

יש פתרון לכל aa.

למי מהמשוואות יש פתרון: cos⁡x=−0.9\cos x = -0.9, sin⁡x=1.1\sin x = 1.1, tan⁡x=1.1\tan x = 1.1?

Show the answer and the solution

ל-cos⁡x=−0.9\cos x = -0.9 ול-tan⁡x=1.1\tan x = 1.1 יש. ל-sin⁡x=1.1\sin x = 1.1 אין — הישר בגובה 1.11.1 עובר מעל המעגל.

הפתרון הכללי

אחרי סיבוב שלם חוזרים לאותה נקודה, ולכן לכל פתרון מוסיפים 360∘k360^\circ k, כאשר kk מספר שלם. זה הפתרון הכללי — כל הפתרונות בבת אחת.

sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+360∘k או x=180∘−α+360∘k\begin{aligned}\sin x &= \sin\alpha \iff x \\ &= \alpha + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 180^\circ - \alpha + 360^\circ k\end{aligned}

שתי נקודות באותו גובה, סימטריות לציר yy.

cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=±α+360∘k\begin{aligned}\cos x &= \cos\alpha \iff x \\ &= \pm\alpha + 360^\circ k\end{aligned}

שתי נקודות באותו רוחב, סימטריות לציר xx.

tan⁡x=tan⁡α  ⟺  x=α+180∘k\begin{aligned}\tan x &= \tan\alpha \iff x \\ &= \alpha + 180^\circ k\end{aligned}

הטנגנס חוזר על עצמו כל חצי סיבוב.

פתרון כללי ופתרונות בתחום

פתרו sin⁡x=−12\sin x = -\frac12: פתרון כללי, ופתרונות בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ.

α=−30∘\alpha = -30^\circ

זווית שהסינוס שלה −12-\frac12 (המחשבון נותן אותה)

x=−30∘+360∘k או x=210∘+360∘k\begin{aligned}x &= -30^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 210^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

180∘−(−30∘)=210∘180^\circ - (-30^\circ) = 210^\circ

k=1: x=330∘k=0: x=210∘\begin{aligned}k &= 1:\ x \\ &= 330^\circ \qquad k \\ &= 0:\ x \\ &= 210^\circ\end{aligned}

בוחרים kk כך שהפתרון ייכנס לתחום

x=210∘ 330∘\begin{aligned}x &= 210^\circ \\ \ 330^\circ\end{aligned}

שני פתרונות, שניהם בחצי התחתון של המעגל

פתרו cos⁡x=12\cos x = \frac12 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ.

Show the answer and the solution

x=±60∘+360∘kx = \pm 60^\circ + 360^\circ k. מ-+60∘+60^\circ עם k=0k=0 מקבלים 60∘60^\circ, ומ-−60∘-60^\circ עם k=1k=1 מקבלים 300∘300^\circ. שימו לב: הכלל של הקוסינוס הוא ±\pm, לא 180∘180^\circ פחות.

התחום קובע כמה פתרונות רושמים

0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ

סיבוב אחד — לרוב שני פתרונות.

0∘≤x≤90∘0^\circ \le x \le 90^\circ

לפעמים רק אחד נכנס.

x כלשהוx \ \text{כלשהו}

אינסוף פתרונות — כותבים את הפתרון הכללי.

שלוש הטעויות של המשוואות.

sin⁡x=12⇒x=30∘\begin{aligned}\sin x &= \tfrac12 \Rightarrow x \\ &= 30^\circ\end{aligned}
x=30∘+360∘k או x=150∘+360∘k\begin{aligned}x &= 30^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 150^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

הפתרון השני אינו בונוס. בלעדיו הסעיף חלקי.

cos⁡x=a⇒x=180∘−α\begin{aligned}\cos x &= a \Rightarrow x \\ &= 180^\circ - \alpha\end{aligned}
cos⁡x=a⇒x=±α+360∘k\begin{aligned}\cos x &= a \Rightarrow x \\ &= \pm\alpha + 360^\circ k\end{aligned}

ערבוב בין שני הכללים: 180∘180^\circ פחות שייך לסינוס.

tan⁡x=a⇒x=α+360∘k\begin{aligned}\tan x &= a \Rightarrow x \\ &= \alpha + 360^\circ k\end{aligned}
x=α+180∘kx = \alpha + 180^\circ k

מחזור הטנגנס הוא 180∘180^\circ — עם 360∘360^\circ מאבדים חצי מהפתרונות.

Exercises

Exercise 1

פתרו sin⁡x=0.5\sin x = 0.5 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 150

Worked solution:

x1=30°x_1 = 30°

המחשבון

180−30=150°180 - 30 = 150°

והכלל

שתי תשובות: 30°30° ו-150°150°.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו cos⁡x=0.5\cos x = 0.5 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 300

Worked solution:

x1=60°x_1 = 60°
360−60=300°360 - 60 = 300°

כלל הקוסינוס

360360 פחות, לא 180180 פחות. זה ההבדל בין שני הכללים.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה פתרונות יש ל-sin⁡x=1\sin x = 1 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

∣a∣=1|a| = 1

הישר משיק למעגל

x=90°x = 90°

נקודה אחת בלבד

המקרה היחיד עם פתרון אחד. בכל ערך אחר בתחום יש שניים.

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה פתרונות יש ל-sin⁡x=2\sin x = 2?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

∣2∣>1|2| > 1

מחוץ לתחום הסינוס

הישר עובר מחוץ למעגל. הסינוס לעולם אינו עולה על 1.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון sin⁡x1=a\sin x_1 = a ו-x1x_1 פתרון. מהו הפתרון השני?

  1. 180°−x1180° - x_1
  2. −x1-x_1
  3. x1+180°x_1 + 180°
  4. 360°−x1360° - x_1
Show the answer and the solution

Answer: A 180°−x1180° - x_1

Worked solution:

sin⁡(180∘−x1)=sin⁡x1\sin(180^\circ - x_1) = \sin x_1

הסינוס חיובי ברביעים I ו-II

360°−x1360° - x_1 הוא כלל הקוסינוס, ו-x1+180°x_1 + 180° כלל הטנגנס.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו sin⁡x=−0.5\sin x = -0.5 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הקטן?

Show the answer and the solution

Answer: 210

Worked solution:

sin⁡x<0\sin x < 0

הסינוס שלילי ברביעים III ו-IV

x=210°  330°\begin{aligned}x &= 210° \ \\ \ 330°\end{aligned}

ערך שלילי מזיז את שני הפתרונות למחצית התחתונה של המעגל.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו tan⁡x=1\tan x = 1 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 225

Worked solution:

x1=45°x_1 = 45°
45+180=225°45 + 180 = 225°

מחזור הטנגנס

הטנגנס חוזר כל 180°180°, ולכן ההפרש בין הפתרונות הוא 180180 ולא 360360.

Check the answer on elev

Exercise 8

כמה פתרונות יש ל-sin⁡x=0.5\sin x = 0.5 בתחום 0°≤x<180°0° \leq x < 180°?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

30° ו-150°30° \ \text{ו-} 150°

שניהם קטנים מ-180°180°

כאן שניהם נכנסים. בתחום 0°0° עד 90°90° היה נכנס רק אחד — התחום קובע.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו הפתרון הכללי של המשוואה cos⁡x=−22\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}?

  1. x=±45∘+360∘kx = \pm 45^\circ + 360^\circ k
  2. x=135∘+360∘kx = 135^\circ + 360^\circ k או x=45∘+360∘kx = 45^\circ + 360^\circ k
  3. x=135∘+180∘kx = 135^\circ + 180^\circ k
  4. x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k
Show the answer and the solution

Answer: D x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k

Worked solution:

cos⁡135∘=−22\cos 135^\circ = -\tfrac{\sqrt2}{2}

זווית אחת: רביע שני, נשען על 45∘45^\circ

x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס

k=1: −135∘+360∘=225∘\begin{aligned}k &= 1:\ -135^\circ + 360^\circ \\ &= 225^\circ\end{aligned}

בדיקה: 225∘225^\circ ברביע השלישי, גם שם הקוסינוס שלילי

התשובה: x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k. «135∘135^\circ או 45∘45^\circ» הוא כלל הסינוס (180∘180^\circ פחות), ו-±45∘\pm 45^\circ שוכח את המינוס של aa.

Check the answer on elev

Exercise 10

מיינו: לאילו משוואות יש פתרון?

  • יש פתרון
  • אין פתרון
  • cos⁡x=−1\cos x = -1
  • cos⁡x=3\cos x = \sqrt3
  • cos⁡x=1.5\cos x = 1.5
  • sin⁡x=−1.2\sin x = -1.2
  • sin⁡x=0.99\sin x = 0.99
  • tan⁡x=50\tan x = 50
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡x=0.99\sin x = 0.99 — יש פתרון · cos⁡x=−1\cos x = -1 — יש פתרון · tan⁡x=50\tan x = 50 — יש פתרון · sin⁡x=−1.2\sin x = -1.2 — אין פתרון · cos⁡x=3\cos x = \sqrt3 — אין פתרון · cos⁡x=1.5\cos x = 1.5 — אין פתרון

Worked solution:

−1≤sin⁡x≤1,  −1≤cos⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1,\ \ -1 \le \cos x \le 1

סינוס וקוסינוס כלואים

3≈1.73>1\sqrt3 \approx 1.73 > 1

מחוץ לתחום

tan⁡x∈R\tan x \in \mathbb{R}

לטנגנס אין הגבלה

המלכודת: tan⁡x=50\tan x = 50. המספר גדול, אבל לטנגנס יש פתרון לכל ערך — רק סינוס וקוסינוס מוגבלים ל-[−1, 1][-1,\,1].

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade