The angle bisector

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

פגשנו את חוצה הזווית בקצרה. עכשיו ניתן לו יחידה משלו — כי ממנו נובעות שתי טענות יפות, ושתיהן מוכחות בשורה אחת של חשבון.

ההגדרה

חוצה זווית הוא קרן שיוצאת מהקודקוד ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות

שתי מילים חשובות: קרן — היא יוצאת מהקודקוד, לא חותכת אותו מהצד; ושוות — לא «בערך באמצע», אלא שווה בדיוק.

80:2=4080 : 2 = 40

מהזווית אל החלק — מחלקים ב-2.

40⋅2=8040 \cdot 2 = 80

ומהחלק אל הזווית — כופלים ב-2.

הכיוון השני הוא זה שמפספסים: כששואלים «חוצה זווית יוצר זווית של 24°24° — מהי הזווית כולה?», התשובה היא 48°48°, ולא 12°12°.

ואפשר לייצר חוצה זווית בלי שום כלי: מקפלים את הדף כך ששוק אחת תיפול בדיוק על השנייה. קו הקיפול הוא החוצה — והוא מדויק, כי הקיפול מבטיח חפיפה.

טענה 1: חוצי זוויות צמודות מאונכים זה לזה

ניקח שתי זוויות צמודות — שתיים שיושבות יחד על ישר, ולכן סכומן 180°180°. נעביר חוצה זווית לכל אחת. מסתבר ששני החוצים תמיד מאונכים, בלי קשר לזוויות עצמן.

נסו עם זוג אחר: 160°160° ו-20°20°. מה יצא בין החוצים?

Show the answer and the solution

90°90° שוב: 80+10=9080 + 10 = 90. וזה לא צירוף מקרים — זה מה שהחשבון למעלה הוכיח לכל זוג אפשרי.

טענה 2: חוצה אחת מהזוויות הקודקודיות חוצה גם את השנייה

שני ישרים נחתכים ויוצרים שני זוגות של זוויות קודקודיות. נעביר חוצה זווית לאחת מהן, ונאריך אותו מעבר לקודקוד. הטענה: ההמשך הזה חוצה בדיוק גם את הזווית שמולה.

וחוצה של זווית שטוחה

מקרה אחרון, והוא בעצם הגדרה נוספת לניצבות: זווית שטוחה היא 180°180°, ולכן חוצה שלה יוצר שתי זוויות של 90°90° — כלומר הוא מאונך לשתי הקרניים.

180:2=90°180 : 2 = 90°

חוצה זווית יוצר זווית של 24°24°. מהי הזווית כולה?

Show the answer and the solution

48°48°. כופלים ב-2, לא מחלקים. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק — המילה «חוצה» מושכת לחלק, גם כשהנתון הוא כבר החצי.

שלוש הטעויות של חוצה הזווית.

24:2=1224 : 2 = 12
24⋅2=4824 \cdot 2 = 48

כשנתון החלק ומבקשים את הזווית — כופלים. לקרוא תמיד מה בדיוק נתון.

חוצה≈באמצע\text{חוצה} \approx \text{באמצע}
חוצה=שווה בדיוק\text{חוצה} = \text{שווה בדיוק}

«בערך באמצע» אינו חוצה. שתי הזוויות חייבות להיות שוות בדיוק.

חוצה חוצה גם את הצלע\text{חוצה חוצה גם את הצלע}
חוצה חוצה את הזווית\text{חוצה חוצה את הזווית}

חוצה זווית מחלק זווית, לא קטע. קטע שחוצה צלע הוא דבר אחר לגמרי, ויילמד בכיתה ח.

עכשיו נתרגל — ובעיקר נשים לב מה נתון ומה מבקשים.

Exercises

Exercise 1

??80°

חוצה זווית מחלק זווית של 80°80°. כמה מעלות בכל חלק?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

80:2=4080 : 2 = 40

שני חלקים שווים

נתונה הזווית, מבקשים את החלק — ולכן מחלקים.

Check the answer on elev

Exercise 2

24°?

חוצה זווית יוצר זווית של 24°24°. כמה מעלות בזווית כולה?

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

24⋅2=4824 \cdot 2 = 48

הזווית היא פעמיים החלק

הכיוון ההפוך של השאלה הקודמת — וזו בדיוק המלכודת של הפרק.

Check the answer on elev

Exercise 3

השלימו

חוצה של זווית בת 120°120° יוצר שתי זוויות של ____ מעלות. ואם חוצה זווית יוצר זווית של 35°35°, הזווית כולה היא ____ מעלות

Show the answer and the solution

Answer: חוצה של זווית בת 120°120° יוצר שתי זוויות של 60 מעלות. ואם חוצה זווית יוצר זווית של 35°35°, הזווית כולה היא 70 מעלות

Worked solution:

120:2=60120 : 2 = 60

מהזווית אל החלק — מחלקים

35⋅2=7035 \cdot 2 = 70

מהחלק אל הזווית — כופלים

שני הכיוונים באותה שאלה. בחלק השני המלכודת היא לחלק שוב ולקבל 17.517.5.

Check the answer on elev

Exercise 4

?50°130°

שתי זוויות צמודות, 130°130° ו-50°50°. כמה מעלות בזווית שבין שני חוצי הזוויות?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

130:2=65130 : 2 = 65

מחצית הראשונה

50:2=2550 : 2 = 25

מחצית השנייה

65+25=9065 + 25 = 90

יחד

והתשובה 90°90° אינה תלויה בזוויות עצמן — כל זוג צמודות ייתן אותו דבר.

Check the answer on elev

Exercise 5

שתי זוויות צמודות, 160°160° ו-20°20°. כמה מעלות בין החוצים?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

80+10=9080 + 10 = 90

שתי המחציות

שוב 90 — כי α+β2=1802\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180}{2}, תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 6

?80°100°

שתי זוויות צמודות הן 100°100° ו-80°80°. מה גודל הזווית שבין שני חוצי הזוויות?

  1. 50°50°
  2. 90°90°
  3. 180°180°
  4. 40°40°
Show the answer and the solution

Answer: B 90°90°

Worked solution:

100:2=50100 : 2 = 50

מחצית הראשונה

80:2=4080 : 2 = 40

מחצית השנייה

50+40=9050 + 40 = 90

יחד

50°50° ו-40°40° הם רק החצאים. הזווית שבין החוצים בנויה משניהם יחד, ולכן היא תמיד 90°90°.

Check the answer on elev

Exercise 7

חוצי שתי זוויות צמודות מאונכים זה לזה, לכל זוג זוויות צמודות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

α2+β2=α+β2\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}

מוציאים חצי

=1802=90= \frac{180}{2} = 90

והתוצאה קבועה

ה-α\alpha נעלם מהחישוב — ולכן זו טענה כללית, לא מקרה פרטי.

Check the answer on elev

Exercise 8

??

כמה מעלות יוצר חוצה של זווית שטוחה עם כל אחת מקרניה?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

180:2=90180 : 2 = 90

מחצית הזווית השטוחה

ולכן חוצה של זווית שטוחה הוא בדיוק אנך לקרניים.

Check the answer on elev

Exercise 9

ישר שחוצה אחת משתי זוויות קודקודיות חוצה גם את השנייה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

α2\frac{\alpha}{2}

כל מחצית

α2 קודקודית לה\frac{\alpha}{2} \ \text{קודקודית לה}

ומקבלת קודקודית שווה מעבר לקודקוד

שתי המחציות של הזווית שמולה יוצאות שוות — וזו בדיוק ההגדרה של חוצה.

Check the answer on elev

Exercise 10

?150°

זווית של 150°150°. חוצה הזווית שלה יוצר עם הקרן שמעליה זווית. כמה מעלות בה?

Show the answer and the solution

Answer: 75

Worked solution:

150:2=75150 : 2 = 75

מחצית

החוצה יוצר את אותה זווית עם שתי הקרניים — זה מה ש«שווה» אומר.

Check the answer on elev

Exercise 11

64°?

זווית צמודה לזווית של 64°64°. חוצה הזווית של הצמודה יוצר עם הישר זווית. כמה מעלות בה?

Show the answer and the solution

Answer: 58

Worked solution:

180−64=116180 - 64 = 116

קודם הזווית הצמודה

116:2=58116 : 2 = 58

ואז מחציתה

שני שלבים, ובסדר הזה. מי שחצה קודם את ה-64 ענה על שאלה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 12

מהו חוצה זווית?

  1. ישר שחוצה את הצלע שמול הזווית
  2. קרן מהקודקוד שמחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות
  3. קטע שמחבר שני קודקודים
  4. קו שעובר בערך באמצע הזווית
Show the answer and the solution

Answer: B קרן מהקודקוד שמחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות

Worked solution:

α:2 , α:2\alpha : 2 \ , \ \alpha : 2

שני חלקים שווים בדיוק

שלוש מילים קובעות: קרן, מהקודקוד, ושוות בדיוק.

Check the answer on elev

Exercise 13

חוצה זווית חילק זווית לשני חלקים. אחד מהם 37°37°. מהו השני?

Show the answer and the solution

Answer: 37

Worked solution:

3737

שני החלקים שווים

אין כאן חישוב — יש הגדרה. אם שני החלקים לא שווים, זה לא חוצה זווית.

Check the answer on elev

Exercise 14

חוצה זווית יוצר זווית של 30°30°. שורה אחת שגויה

הזווית כולה=60°\text{הזווית כולה} = 60°
החלק השני=30°\text{החלק השני} = 30°
הזווית כולה=15°\text{הזווית כולה} = 15°
Show the answer and the solution

Answer: הזווית כולה=15°\text{הזווית כולה} = 15° → הזווית כולה=60°\text{הזווית כולה} = 60°

Worked solution:

30⋅2=6030 \cdot 2 = 60

נתון החלק — ולכן כופלים

30:2=1530 : 2 = 15

והחציה הנוספת היא השורה השגויה

נתון החלק, ולכן כופלים. מי שחילק שוב קיבל רבע מהזווית האמיתית.

Check the answer on elev

Exercise 15

130°?ACOBD

הנקודות AA, OO ו-CC על ישר אחד. הקרן OBOB יוצאת מ-OO כך ש-∠AOB=130°\angle AOB = 130°, והקרן ODOD חוצה את ∠BOC\angle BOC. מה גודל ∠AOD\angle AOD, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 155

Worked solution:

∠BOC=180−130=50\begin{aligned}\angle BOC &= 180 - 130 \\ &= 50\end{aligned}

צמודה ל-∠AOB\angle AOB

∠BOD=50:2=25\begin{aligned}\angle BOD &= 50 : 2 \\ &= 25\end{aligned}

ODOD חוצה אותה

∠AOD=130+25=155\begin{aligned}\angle AOD &= 130 + 25 \\ &= 155\end{aligned}

חיבור זוויות מאותו קודקוד

שלושה כללים בשרשרת: צמודות, חוצה, חיבור. הטעות הנפוצה היא לחצות את 130°130° במקום את ∠BOC\angle BOC — לקרוא בדיוק איזו זווית נחצית.

Check the answer on elev

Exercise 16

2x+103x-15OABC

הקרן OBOB חוצה את ∠AOC\angle AOC. נתון ∠AOB=2x+10\angle AOB = 2x + 10 ו-∠BOC=3x−15\angle BOC = 3x - 15 (במעלות). מה גודל ∠AOC\angle AOC, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 120

Worked solution:

2x+10=3x−152x + 10 = 3x - 15

חוצה — שני החלקים שווים

x=25x = 25
2⋅25+10=602 \cdot 25 + 10 = 60

כל חלק

∠AOC=2⋅60=120\begin{aligned}\angle AOC &= 2 \cdot 60 \\ &= 120\end{aligned}

הזווית כולה

שלוש עצירות אפשריות, ורק האחרונה היא התשובה: x=25x = 25, חלק אחד 60°60°, והזווית כולה 120°120°.

Check the answer on elev

Exercise 17

70°?ACBDEO

הישרים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה OO, ו-∠AOB=70°\angle AOB = 70°. הקרן OEOE חוצה את ∠AOB\angle AOB. מה גודל ∠EOC\angle EOC, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 145

Worked solution:

∠EOB=70:2=35\begin{aligned}\angle EOB &= 70 : 2 \\ &= 35\end{aligned}

OEOE חוצה את ∠AOB\angle AOB

∠BOC=180−70=110\begin{aligned}\angle BOC &= 180 - 70 \\ &= 110\end{aligned}

צמודה ל-∠AOB\angle AOB

∠EOC=35+110=145\begin{aligned}\angle EOC &= 35 + 110 \\ &= 145\end{aligned}

אפשר גם בצעד אחד: ∠AOC\angle AOC שטוחה, ולכן ∠EOC=180−35=145\angle EOC = 180 - 35 = 145. מי שמקבל 110110 שכח את החצי של 70°70° שבין OEOE ל-OBOB.

Check the answer on elev

Exercise 18

מה נכון לכל חוצה זווית, ומה לא?

  • נכון תמיד
  • לא נכון
  • הוא יוצא מקודקוד הזווית
  • חוצה של זווית שטוחה מאונך לישר
  • חוצי שתי זוויות צמודות יוצרים זווית של 180°180°
  • כל חלק גדול פי 2 מהזווית כולה
  • שתי הזוויות שהוא יוצר שוות
Show the answer and the solution

Answer: הוא יוצא מקודקוד הזווית — נכון תמיד · שתי הזוויות שהוא יוצר שוות — נכון תמיד · חוצה של זווית שטוחה מאונך לישר — נכון תמיד · כל חלק גדול פי 2 מהזווית כולה — לא נכון · חוצי שתי זוויות צמודות יוצרים זווית של 180°180° — לא נכון

Worked solution:

α:2\alpha : 2

כל חלק הוא חצי מהזווית, לא פי 2

1802=90\frac{180}{2} = 90

וחוצי צמודות יוצרים 90°90°, לא 180°180°

שתי הטעויות הן הכיוון ההפוך של «חוצה»: לכפול במקום לחלק, ולשכוח לחלק את ה-180180.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade