זוגות, שלישיות, והאם הסדר חשוב · ספירה וצירופים · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

שישה ילדים נפגשים, וכל שניים לוחצים ידיים פעם אחת. כמה לחיצות?

כל ילד לוחץ $5$ ידיים, ו- $6 \times 5 = 30$ . אבל כך כל לחיצה נספרת פעמיים: פעם אצל דנה ופעם אצל גיל.

\frac{n \times (n - 1)}{2}

מספר הזוגות שאפשר ליצור מתוך $n$

בליגת כדורגל בית-ספרית $8$ קבוצות, וכל שתי קבוצות נפגשות פעם אחת. כמה משחקים יהיו?

להציג את התשובה והפתרון

$28$ . $\frac{8 \times 7}{2} = 28$ — כל קבוצה משחקת $7$ משחקים, וכל משחק שייך לשתי קבוצות.

כשהסדר חשוב — ומתי לא

בגמר ריצה $8$ רצים, ומחלקים זהב, כסף וארד: $8 \times 7 \times 6 = 336$ פודיומים.

כאן הסדר חשוב: דנה בזהב ורון בכסף — זה לא רון בזהב ודנה בכסף.

אבל בכוס גלידה עם $3$ טעמים מתוך $8$ אין ״ראשון״ ו״שלישי״.

כמה פעמים נספרה הכוס ״וניל, שוקולד, תות״ בתוך $336$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$6$ פעמים — פעם בכל סדר: $3 \times 2 \times 1 = 6$ . בנו את כולם למטה.

שני תפקידים, או שני נציגים?

על מעגל מסומנות $6$ נקודות. כמה משולשים אפשר לצייר שכל קודקודיהם מהנקודות האלה?

להציג את התשובה והפתרון

$20$ . $6 \times 5 \times 4 = 120$ סדרות של שלושה קודקודים, וכל משולש נספר $6$ פעמים: $120 : 6 = 20$ .

הטעויות של הזוגות והשלישיות.

6 \times 5 = 30

\frac{6 \times 5}{2} = 15

לחיצות ידיים של $6$ ילדים: הלחיצה של דנה וגיל היא אותה לחיצה כמו של גיל ודנה.

8 \times 7 \times 6 = 336

\frac{336}{6} = 56

$3$ טעמים לכוס: בכוס אין ראשון ושלישי.

\frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56

8 \times 7 \times 6 = 336

פודיום של זהב, כסף וארד: כאן הסדר כן חשוב, ולא מחלקים.

השאלה שמכריעה: אם אחליף את הסדר — האם קיבלתי אפשרות אחרת? אם כן, הסדר חשוב וכופלים. אם זו אותה אפשרות, מחלקים במספר הסדרים: ב- $2$ לזוג, ב- $6$ לשלישייה.

תרגילים

תרגיל 1

לקראת ראש השנה כל אחד מ- $7$ חברי החוג שולח ברכה לכל אחד מהאחרים. כמה ברכות נשלחות בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 42

הפתרון:

7 \times 6 = 42

כל אחד שולח $6$ ברכות

התשובה: $42$ . כאן לא מחלקים ב- $2$ : הברכה של שירה לעומר והברכה של עומר לשירה הן שתי ברכות. $21$ היה נכון ללחיצות ידיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

על ישר מסומנות $6$ נקודות. כמה קטעים יש ששני קצותיהם הם מהנקודות האלה?

$15$
$5$
$30$
$6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $15$

הפתרון:

6 \times 5 = 30

כל נקודה עם כל אחת מחמש האחרות

30 : 2 = 15

הקטע $AB$ הוא הקטע $BA$

התשובה: $15$ . $5$ סופר רק קטעים בין שכנות, כמו $AB$ ו- $BC$ ; $30$ סופר כל קטע פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בוחרים ועד כיתה של שלושה — יושב-ראש, סגן וגזבר — מתוך $6$ מועמדים. כמה ועדים שונים אפשר לבחור?

$120$
$20$
$18$
$216$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $120$

הפתרון:

6 \times 5 \times 4 = 120

לכל תפקיד — מי שעוד לא נבחר

התשובה: $120$ . לתפקידים יש שמות, ולכן הסדר חשוב. $20$ מחלק ב- $6$ כאילו שלושתם שווים; $216$ מרשה לאותו ילד שני תפקידים; $18$ מחבר $6 + 6 + 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בליגה $10$ קבוצות. כל שתי קבוצות נפגשות פעמיים — פעם במגרש של האחת ופעם במגרש של השנייה. כמה משחקים יש בעונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

\frac{10 \times 9}{2} = 45

זוגות של קבוצות

45 \times 2 = 90

לכל זוג שני משחקים

התשובה: $90$ . ואפשר גם ישר: כל קבוצה מארחת $9$ קבוצות, $10 \times 9 = 90$ . $45$ שוכח את משחק הגומלין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

התאימו כל שאלה למספר האפשרויות שלה.

לחיצות ידיים בין $5$ חברים
מכתבים בין $4$ חברים — כל אחד לכל אחד
זהב, כסף וארד בין $5$ רצים
שני נציגים מתוך $7$ מועמדים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לחיצות ידיים בין $5$ חברים — 10 · מכתבים בין $4$ חברים — כל אחד לכל אחד — 12 · זהב, כסף וארד בין $5$ רצים — 60 · שני נציגים מתוך $7$ מועמדים — 21

הפתרון:

\frac{5 \times 4}{2} = 10

לחיצה של שניים — בלי סדר

4 \times 3 = 12

מכתב יש לו כותב ונמען — עם סדר

5 \times 4 \times 3 = 60

מדליות שונות — עם סדר

\frac{7 \times 6}{2} = 21

נציגים שווים — בלי סדר

בכל שאלה שואלים: אם אחליף את הסדר — האם קיבלתי אפשרות אחרת? מכתב של דנה לגיל אינו מכתב של גיל לדנה; לחיצת היד שלהם — אותה לחיצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בטורניר כל שתי קבוצות נפגשו פעם אחת. טענה: ייתכן שהיו בטורניר בדיוק $20$ משחקים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\frac{6 \times 5}{2} = 15

$6$ קבוצות

\frac{7 \times 6}{2} = 21

$7$ קבוצות

15 < 20 < 21

אין מספר קבוצות שנותן $20$

הטענה שגויה. מספר המשחקים קופץ מ- $15$ ישר ל- $21$ . מי שמחפש ״ $n \times (n - 1) = 20$ ״ מוצא $5$ — ושוכח לחלק ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בכל קבוצה, כל שניים לוחצים ידיים פעם אחת, וכל אחד גם שולח מכתב לכל אחד אחר. השלימו.

מספר החברים	לחיצות ידיים	מכתבים
3	____	____
4	____	____
5	____	____
7	____	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3: 3, 6 · 4: 6, 12 · 5: 10, 20 · 7: 21, 42

הפתרון:

n \times (n - 1)

מכתבים: לכל אחד $n - 1$ נמענים, והסדר חשוב

\frac{n \times (n - 1)}{2}

לחיצות: אותו מספר, וכל לחיצה נספרה פעמיים

בכל שורה יש פי $2$ מכתבים מלחיצות ידיים. הפיתוי בשורה של $7$ : לכתוב $7 \times 7 = 49$ , כאילו כל אחד שולח מכתב גם לעצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרו את השאלות לפי מספר האפשרויות, מהקטן לגדול.

יושב-ראש וסגן מתוך $5$ מועמדים
כוסות של $3$ טעמים שונים מתוך $7$
לחיצות ידיים בין $6$ ילדים
משחקים בליגה של $10$ קבוצות, כל שתיים פעם אחת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לחיצות ידיים בין $6$ ילדים · יושב-ראש וסגן מתוך $5$ מועמדים · כוסות של $3$ טעמים שונים מתוך $7$ · משחקים בליגה של $10$ קבוצות, כל שתיים פעם אחת

הפתרון:

\frac{6 \times 5}{2} = 15

5 \times 4 = 20

כאן הסדר חשוב — לא מחלקים

\frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35

שלושה בלי סדר — מחלקים ב- $6$

\frac{10 \times 9}{2} = 45

$15 < 20 < 35 < 45$ . מי שלא מחלק את הכוסות ב- $6$ מקבל $210$ , ושם אותן בסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מתוך $6$ ילדים בוחרים נבחרת של $3$ (בלי תפקידים). בכמה מהנבחרות האפשריות דנה נמצאת?

$20$
$60$
$10$
$15$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $10$

הפתרון:

5

דנה כבר בנבחרת; נשארו $5$ ילדים

\frac{5 \times 4}{2} = 10

בוחרים לה שני שותפים — בלי סדר

התשובה: $10$ . $20$ הן כל הנבחרות — בחצי מהן דנה נמצאת; $60$ שוכח שאין תפקידים; $15$ בוחר שניים מתוך $6$ , כולל דנה עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

השלימו.

על מעגל מסומנות $7$ נקודות. יש ____ קטעים ששני קצותיהם מהנקודות האלה, ו-____ משולשים שכל קודקודיהם מהנקודות האלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: על מעגל מסומנות $7$ נקודות. יש 21 קטעים ששני קצותיהם מהנקודות האלה, ו-35 משולשים שכל קודקודיהם מהנקודות האלה.

הפתרון:

\frac{7 \times 6}{2} = 21

קטע — זוג נקודות, בלי סדר

\frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35

משולש — שלישייה, וכל שלישייה נספרה $6$ פעמים

הפיתוי במשולשים: לחלק ב- $3$ במקום ב- $6$ . לשלוש נקודות יש $3 \times 2 \times 1 = 6$ סדרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

כשהסדר חשוב — ומתי לא

שני תפקידים, או שני נציגים?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev