היקף ושטח של מלבן וריבוע · גיאומטריה — ריבוע, מלבן ומשולש · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

שני מספרים, שני דברים שונים: היקף — אורך המסגרת, ושטח — כמה משבצות בפנים. המבחן אוהב לשאול על שניהם באותה שאלה.

P = 2(a + b)

היקף מלבן

S = a \times b

שטח מלבן

P = 4a

היקף ריבוע

S = a \times a

שטח ריבוע

אותו היקף — שטחים שונים

ליעל 12 גפרורים, וכל גפרור הוא צלע של משבצת. איזה מלבן יכיל הכי הרבה משבצות?

מ-12 גפרורים בנו ריבוע, ומ-12 אחרים — מלבן שאינו ריבוע. מה נכון בוודאות?

להציג את התשובה והפתרון

שטח הריבוע גדול יותר. הריבוע: $3 \times 3 = 9$ . שאר המלבנים: 8 ו-5. (שאלה מהמבחן לדוגמה.)

אותו שטח — היקפים שונים

ריבוע ומלבן שאינו ריבוע, ולשניהם שטח 36 סמ״ר. למי היקף גדול יותר?

להציג את התשובה והפתרון

למלבן. לריבוע היקף 24 ס״מ. כל מלבן אחר צר וארוך יותר: $9 \times 4$ נותן 26, $12 \times 3$ נותן 30.

ככל שהמלבן קרוב לריבוע — השטח גדל (כשההיקף קבוע), וההיקף קטן (כשהשטח קבוע). מלבן ארוך וצר הוא בזבזני.

מגדילים צלעות — מה קורה לשטח?

צלע אחת פי 2 — השטח פי 2. שתי הצלעות פי 2 — השטח פי 4. נסו בעצמכם:

ומה קרה להיקף? האם הוא גדל תמיד?

להציג את התשובה והפתרון

לא בהכרח. מלבן $4 \times 6$ הופך ל- $2 \times 18$ , וההיקף עולה מ-20 ל-40. אבל מלבן $10 \times 1$ הופך ל- $5 \times 3$ , וההיקף יורד מ-22 ל-16. בלי המידות — אי אפשר לדעת.

מדרגות: ההיקף של המלבן העוטף

צורת מדרגות: רוחבה 9 ס״מ, גובהה 5 ס״מ, ואת המדרגות לא מדדו. מה ההיקף שלה?

להציג את התשובה והפתרון

28 ס״מ. $2 \times (9 + 5) = 28$ — בלי לדעת אף מדרגה. 45 הוא השטח של המלבן העוטף, ו-14 הוא רק חצי מהמסגרת.

שתי טעויות שהמבחן מחכה להן.

\begin{aligned}3 \times 2 &= 6 \ \rightarrow\ 6 \times 4 \\ &= 12\end{aligned}

6 \times 4 = 24

כשמכפילים את שתי הצלעות פי 2, השטח גדל פי 4.

28 - 4 = 24

28

פינה שנחתכת במדרגה מקטינה את השטח — לא את ההיקף.

מהשטח אל הצלע

מלבן שהיקפו 30 ס״מ, ואורכו כפול מרוחבו. מה שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

50 סמ״ר. חצי מההיקף הוא 15: רוחב ועוד אורך, כלומר שלושה רוחבים. רוחב 5, אורך 10, שטח $5 \times 10 = 50$ .

תרגילים

תרגיל 1

הריבוע

המלבן

בעזרת 16 גפרורים זהים בנה עומר ריבוע, ובעזרת 16 גפרורים אחרים בנה מלבן שאינו ריבוע. כל גפרור הוא צלע של משבצת. סמנו את המשפט הנכון:

שטח הריבוע קטן משטח המלבן
שטח הריבוע גדול משטח המלבן
לא ניתן לדעת בוודאות למי שטח גדול יותר
שטח הריבוע שווה לשטח המלבן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שטח הריבוע גדול משטח המלבן

הפתרון:

4 \times 4 = 16

הריבוע: צלע 4

\begin{aligned}7 \times 1 &= 7 \\ \ 6 \times 2 &= 12 \\ \ 5 \times 3 &= 15\end{aligned}

כל המלבנים האחרים שהיקפם 16

16 > 15

גם המלבן הכי «ריבועי» קטן מהריבוע

התשובה: שטח הריבוע גדול יותר. «לא ניתן לדעת» נראה זהיר, אבל כאן בדקנו את כל המלבנים האפשריים — וכולם קטנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הריבוע

המלבן

לריבוע ולמלבן אותו היקף: 24 ס״מ. רוחב המלבן 4 ס״מ. בכמה סמ״ר שטח הריבוע גדול משטח המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}24 : 4 &= 6 \\ \ 6 \times 6 &= 36\end{aligned}

הריבוע: צלע 6, שטח 36

\begin{aligned}24 : 2 &= 12 \\ \ 12 - 4 &= 8\end{aligned}

חצי היקף המלבן הוא 12, ולכן האורך 8

\begin{aligned}8 \times 4 &= 32 \\ \ 36 - 32 &= 4\end{aligned}

ההפרש

התשובה: 4 סמ״ר. מי שמחסר מ-24 את 4 בשביל האורך (ולא מ-12) מקבל אורך 20 — מלבן שהיקפו 48.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לפני

אחרי

אם מגדילים פי 3 גם את האורך וגם את הרוחב של מלבן, השטח שלו גדל פי 9.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2 \times 1 = 2

מלבן לדוגמה

\begin{aligned}6 \times 3 &= 18 \\ &= 2 \times 9\end{aligned}

אחרי ההגדלה

הטענה נכונה. כל צלע מכפילה את השטח פי 3, ושתיהן יחד — פי $3 \times 3 = 9$ . מי שעונה «פי 3» או «פי 6» חושב על ההיקף, לא על השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מה היקף צורת המדרגות שבשרטוט? רוחבה 10 ס״מ וגובהה 7 ס״מ.

34 ס״מ
לא ניתן לדעת בלי מידות המדרגות
70 ס״מ
17 ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 34 ס״מ

הפתרון:

10 + 7 = 17

כל הקטעים האופקיים יחד: 10. כל האנכיים יחד: 7

2 \times (10 + 7) = 34

היקף המלבן העוטף

התשובה: 34 ס״מ. 70 הוא שטח המלבן העוטף, 17 הוא חצי מהמסגרת, ו«לא ניתן לדעת» היא המלכודת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מלבן 10 על 4 ס״מ, שחסרה לו פינה, כמו בשרטוט. את מידות הפינה החסרה לא מדדו. מה נכון?

השטח קטן מ-40 סמ״ר, וההיקף קטן מ-28 ס״מ
השטח קטן מ-40 סמ״ר, וההיקף שווה ל-28 ס״מ
לא ניתן לדעת דבר בלי מידות הפינה
השטח שווה ל-40 סמ״ר, וההיקף קטן מ-28 ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב השטח קטן מ-40 סמ״ר, וההיקף שווה ל-28 ס״מ

הפתרון:

2 \times (10 + 4) = 28

היקף המלבן השלם

28

בפינה החסרה שני קטעים רק זזו פנימה — האורך שלהם לא השתנה

S < 10 \times 4 = 40

חלק מהשטח נגזר

התשובה: השטח קטן מ-40, וההיקף שווה ל-28. «לא ניתן לדעת» היא המלכודת: את השטח המדויק אי אפשר לדעת, אבל את ההשוואה — כן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שטח 36

המלבן

שטח הריבוע 36 סמ״ר. אורך המלבן כפול מצלע הריבוע, ורוחבו חצי מצלע הריבוע. מה היקף המלבן, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

6 \times 6 = 36

צלע הריבוע: 6 ס״מ

\begin{aligned}6 \times 2 &= 12 \\ \ \ 6 : 2 &= 3\end{aligned}

האורך והרוחב של המלבן

2 \times (12 + 3) = 30

30 ס״מ. לשתי הצורות אותו שטח, 36 — אבל המלבן ארוך וצר, ולכן ההיקף שלו גדול מ-24 של הריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מיינו כל שינוי לפי מה שהוא עושה להיקף.

ההיקף לא משתנה
ההיקף משתנה

גוזרים חריץ מאמצע צלע של מלבן
גוזרים ריבוע קטן מפינה של מלבן
חותכים מלבן לשני מלבנים, ומחברים את שני ההיקפים
מדביקים ריבוע לאמצע צלע של מלבן
ממלאים את הפינה החסרה של צורת L, והיא נהיית מלבן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גוזרים ריבוע קטן מפינה של מלבן — ההיקף לא משתנה · גוזרים חריץ מאמצע צלע של מלבן — ההיקף משתנה · ממלאים את הפינה החסרה של צורת L, והיא נהיית מלבן — ההיקף לא משתנה · מדביקים ריבוע לאמצע צלע של מלבן — ההיקף משתנה · חותכים מלבן לשני מלבנים, ומחברים את שני ההיקפים — ההיקף משתנה

הפתרון:

P \rightarrow P

פינה שנגזרת או מתמלאת: שני קטעים רק זזים

P \rightarrow P + 2 \times \text{עומק}

חריץ באמצע צלע: שתי דפנות חדשות

פינה שנגזרת או מתמלאת: שני קטעים רק זזים, וההיקף לא משתנה. חריץ, ריבוע מודבק או חיתוך — מוסיפים קטעים חדשים, וההיקף גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

היקף 18

מלבנים שהיקפם 18 ס״מ, והצלעות שלהם מספרים שלמים. השלימו את הטבלה.

הרוחב (ס״מ)	האורך (ס״מ)	השטח (סמ״ר)
1	____	____
2	____	____
3	____	____
4	____	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1: 8, 8 · 2: 7, 14 · 3: 6, 18 · 4: 5, 20

הפתרון:

18 : 2 = 9

רוחב ועוד אורך: חצי מההיקף

4 \times 5 = 20

הכי קרוב לריבוע — השטח הגדול ביותר

ככל שהרוחב והאורך קרובים זה לזה, השטח גדל: 8, 14, 18, 20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

24 סמ״ר

לשני מלבנים אותו שטח. האורך הוא הצלע הארוכה של כל מלבן. מה נכון בהכרח?

למלבן שאורכו גדול יותר יש היקף גדול יותר
לא ניתן לדעת דבר על ההיקפים בלי המידות
למלבן שאורכו גדול יותר יש היקף קטן יותר
לשני המלבנים אותו היקף

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א למלבן שאורכו גדול יותר יש היקף גדול יותר

הפתרון:

2 \times (6 + 4) = 20

מלבן אחד

2 \times (8 + 3) = 22

הארוך יותר: היקף גדול יותר

התשובה: לארוך יותר היקף גדול יותר. כשהשטח קבוע, ככל שהמלבן ארוך וצר יותר — המסגרת ארוכה יותר. הריבוע הוא הקצר מכולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המלבן

הריבוע

לחוט יש אורך של היקף מלבן 9 על 5 ס״מ. מכופפים אותו לריבוע. מה שטח הריבוע, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 49

הפתרון:

2 \times (9 + 5) = 28

אורך החוט

28 : 4 = 7

צלע הריבוע

7 \times 7 = 49

49 סמ״ר — יותר מ-45 של המלבן. אותו חוט, והריבוע מכיל הכי הרבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

אותו היקף — שטחים שונים

אותו שטח — היקפים שונים

מגדילים צלעות — מה קורה לשטח?

מדרגות: ההיקף של המלבן העוטף

מהשטח אל הצלע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev