ספירה בלי לרשום הכול

במבחן לא מבקשים לרשום את כל האפשרויות — מבקשים לדעת כמה הן. רשימה מלאה לוקחת דקות ונוטה לשכוח מקרה. חמישה כלים פותרים כמעט כל שאלת ספירה, וכדאי לזהות מיד איזה מהם השאלה מבקשת.

כשבוחרים כמה דברים בזה אחר זה, וכל בחירה אפשרית עם כל בחירה אחרת, מכפילים את מספר האפשרויות בכל שלב. אם הבחירה בשלב מסוים מגבילה את הבאים (למשל ״ספרות שונות״), מתחילים מהשלב המוגבל ביותר.

$n$ אנשים, וכל שניים לוחצים ידיים פעם אחת. כל אחד לוחץ $n-1$ ידיים, אבל כך כל לחיצה נספרת פעמיים — פעם אצל כל אחד משני הלוחצים. לכן מחלקים ב-$2$. אותו חשבון סופר משחקים בליגה שבה כל זוג קבוצות נפגש פעם אחת, וקטעים בין נקודות.

מ-$1$ עד $100$ יש $33$ כפולות של $3$ ו-$20$ כפולות של $5$. אבל $15, 30, \ldots, 90$ נספרו בשתי הרשימות — אלה $6$ הכפולות של $15$. מחברים ומחסרים את מה שנספר פעמיים: $33 + 20 - 6 = 47$.

מסלול בשבכה: הולכים רק מזרחה או צפונה. בכל צומת רושמים בכמה דרכים מגיעים אליו — זה סכום המספרים בצומת שממערב לו ובצומת שמדרום לו. כך $3$ צעדים מזרחה ו-$2$ צפונה נותנים $10$ מסלולים, בלי לצייר אף אחד. ספרות בעמודים: סופרים לפי קבוצות — $9$ עמודים חד-ספרתיים, $90$ דו-ספרתיים, ואחריהם תלת-ספרתיים.