זוגיות, התחלקות ושאריות

הרבה שאלות במבחן נשמעות כמו חישוב ענק — ״מה ספרת האחדות של $7^{10}$״, ״האם הסכום זוגי״ — אבל אינן דורשות לחשב דבר. מספיק לעקוב אחרי תכונה אחת של המספר: הזוגיות שלו, השארית שלו, או הספרה האחרונה.

בסכום של הרבה מספרים, רק מספר המחוברים האי-זוגיים קובע: אם הוא זוגי — הסכום זוגי. במכפלה מספיק גורם זוגי אחד כדי שהכול יהיה זוגי.

״איזה ביטוי זוגי בהכרח״ — כלומר לכל $n$ שלם. כדי לפסול תשובה מספיקה דוגמה אחת שבה היא נכשלת. כדי לאשר צריך נימוק: $n^{2} + n = n(n+1)$ הוא מכפלה של שני מספרים עוקבים, ואחד מהם זוגי תמיד. באותו אופן, בשלושה מספרים עוקבים יש תמיד כפולה של $2$ וכפולה של $3$, ולכן $n(n+1)(n+2)$ מתחלק תמיד ב-$6$.

ספרת האחדות של מכפלה תלויה רק בספרות האחדות של הגורמים. לכן בחזקות הספרה האחרונה חוזרת במחזור: ב-$7$ היא $7, 9, 3, 1$ ושוב $7$ — מחזור של $4$.

המחלקים של מספר באים בזוגות: $36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6$. לכן מספר המחלקים זוגי — חוץ מאשר בריבועים, שבהם $6$ מתאים לעצמו. ל-$36$ יש $9$ מחלקים.